Croissance des séries de Fourier-Dirichlet

Résolution.

1. Soit $z = x+iy$. Le module du terme général est :
   $$|u_n(z)| = |a_n| |e^{2i\pi n (x+iy)}| \leqslant M n^\rho e^{-2\pi n y}$$
   Si $y > 0$, par croissance comparée, $n^\rho e^{-2\pi n y} = o(1/n^2)$, donc la série converge absolument. Si $y \leqslant 0$, le terme général ne tend pas vers 0 (sauf si la suite $a_n$ est nulle). Le domaine de définition est donc le demi-plan supérieur :
   $$\boxed{ \mathcal{P} = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(z) > 0 \} }$$

2. Soit $K$ un compact de $\mathcal{P}$. La fonction $\text{Im}(z)$ est continue sur $K$, donc elle y atteint son minimum $y_0 > 0$. Pour tout $z \in K$, $|u_n(z)| \leqslant M n^\rho e^{-2\pi n y_0}$. Le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente indépendante de $z$. La série de fonctions converge donc normalement (et donc uniformément) sur $K$.

3. Soit $y > 0$. On a :
   $$|f(z)| \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} M n^\rho e^{-2\pi n y}$$
   La fonction $\phi : t \mapsto t^\rho e^{-2\pi ty}$ est positive sur $[0, +\infty[$. Elle croît puis décroît. On peut majorer la somme par une intégrale (en découpant éventuellement au sommet de $\phi$) ou plus simplement remarquer que :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} n^\rho e^{-2\pi n y} \sim_{y \to 0^+} \int_{0}^{+\infty} t^\rho e^{-2\pi ty}   \text{d}t$$
   Effectuons le changement de variable $u = 2\pi ty$, d'où $t = \frac{u}{2\pi y}$ et $\text{d}t = \frac{\text{d}u}{2\pi y}$ :
   $$\int_{0}^{+\infty} t^\rho e^{-2\pi ty}   \text{d}t = \int_{0}^{+\infty} \left(\frac{u}{2\pi y}\right)^\rho e^{-u} \frac{\text{d}u}{2\pi y}$$
   $$\int_{0}^{+\infty} t^\rho e^{-2\pi ty}   \text{d}t = \frac{1}{(2\pi y)^{1+\rho}} \int_{0}^{+\infty} u^\rho e^{-u}   \text{d}u$$
   L'intégrale $\int_{0}^{+\infty} u^\rho e^{-u}   \text{d}u$ est une constante (notée $\Gamma(1+\rho)$). Pour $y$ borné supérieurement, la comparaison série-intégrale montre qu'il existe $C$ tel que :
   $$\boxed{ |f(z)| \leqslant \frac{C}{y^{1+\rho}} }$$