Stabilité de la divergence et théorème d'Abel-Dini

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes réels strictement positifs. On suppose que cette série diverge et on note $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ sa somme partielle.

Étude de transformations élémentaires. Déterminer la nature des séries de terme général suivant :
1. $v_{n}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}}$
2. $x_{n}=\frac{u_{n}}{1+n^{2} u_{n}}$
3. $w_{n}=\frac{u_{n}}{1+n u_{n}}$ et $y_{n}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}^{2}}$ (on pourra chercher des contre-exemples).
Théorème d'Abel-Dini. Étudier la nature des séries de terme général :
1. $a_n = \frac{u_n}{S_n}$
2. $b_n = \frac{u_n}{S_n^2}$

1.

Pour $v_n$ , distinguer le cas où $(u_n)$ tend vers 0 ou non.

2.

Pour $x_n$ , chercher une majoration simple par une série de Riemann.

3.

Pour $a_n$ , utiliser un développement limité de $\ln(S_n/S_{n-1})$ ou une minoration par une intégrale.

4.

Pour $b_n$ , remarquer que $b_n \leqslant \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n S_{n-1}}$ et utiliser un argument de télescopage.

Idées clés

•

Comparaison par équivalence pour les séries à termes positifs.

•

Lien suite/série via les sommes télescopiques (logarithme pour Abel-Dini).

•

Construction de contre-exemples par des suites "à pics" pour les cas indéterminés.

Résolution.

Transformations élémentaires :
1. Si $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ , alors on a l'équivalence : $v_n = \frac{u_n}{1+u_n} \sim u_n$ Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum v_n$ diverge.
  Si $u_n$ ne tend pas vers $0$ , alors $v_n = 1 - \frac{1}{1+u_n}$ ne tend pas non plus vers $0$ . La série $\sum v_n$ diverge donc grossièrement. Dans tous les cas :
  $\boxed{\sum \frac{u_n}{1+u_n} \text{ diverge}}$
2. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a la majoration simple : $x_n = \frac{u_n}{1+n^2 u_n} \leqslant \frac{u_n}{n^2 u_n} = \frac{1}{n^2}$ Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par comparaison : $\boxed{\sum \frac{u_n}{1+n^2 u_n} \text{ converge}}$
3. Pour $w_n$ et $y_n$ , la nature dépend de la suite $u_n$ . Cas de divergence : Si $u_n = 1/n$ , alors $w_n \sim 1/(2n)$ et $y_n \sim 1/n$ . Les deux séries divergent. Cas de convergence : On construit une suite avec des "pics" isolés. Soit $u_n = n$ si $n = 2^k$ et $u_n = 1/n^2$ sinon. $\sum u_n$ diverge. Alors pour $n=2^k$ , $w_n = \frac{n}{1+n^2} \sim \frac{1}{2^k}$ . La somme sur ces indices converge. De même pour $y_n \sim 1/2^k$ . $\boxed{\text{Natures de } \sum w_n \text{ et } \sum y_n \text{ indéterminées}}$
Théorème d'Abel-Dini :
1. Supposons $u_n / S_n \to 0$ . Alors : $\ln\left(\frac{S_n}{S_{n-1}}\right) = -\ln\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right) = -\ln\left(1 - \frac{u_n}{S_n}\right)$
  Par développement limité :
  $\ln\left(\frac{S_n}{S_{n-1}}\right) \sim \frac{u_n}{S_n}$ Or, la somme télescopique $\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{S_k}{S_{k-1}}\right) = \ln(S_n) - \ln(S_0)$ diverge vers $+\infty$ car $S_n \to +\infty$ . Si $u_n / S_n \not\to 0$ , la série diverge grossièrement. Conclusion : $\boxed{\sum \frac{u_n}{S_n} \text{ diverge}}$
2. Pour $n \geqslant 1$ , on a : $\frac{u_n}{S_n^2} \leqslant \frac{u_n}{S_n S_{n-1}} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n S_{n-1}} = \frac{1}{S_{n-1}} - \frac{1}{S_n}$
  En sommant cette relation de $1$ à $N$ :
  $\sum_{n=1}^N \frac{u_n}{S_n^2} \leqslant \frac{1}{S_0} - \frac{1}{S_N} \leqslant \frac{1}{S_0}$
  La suite des sommes partielles est croissante et majorée, donc :
  $\boxed{\sum \frac{u_n}{S_n^2} \text{ converge}}$

Vérifier la condition u_n tend vers 0 avant d'utiliser des équivalents.

La série de terme général u_n/S_n diverge toujours si la série de départ diverge.