Étude d'une série de fonctions exponentielles

Résolution.

1. Domaine de définition. Si $x = 0$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n(0) = 0$, donc la série converge et $S(0) = 0$. Si $x \neq 0$, alors $x^2 > 0$, donc $0 < e^{-x^2} < 1$. Le terme général $u_n(x) = x \cdot n (e^{-x^2})^n$ est, à une constante près, le terme général d'une série géométrique dérivée de raison $q = e^{-x^2} \in ]0, 1[$. Cette série converge absolument. Ainsi, la série de fonctions converge simplement sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{\mathcal{D}_S = \mathbb{R}}$$

2. Expression de la somme. Pour $x \neq 0$, posons $q = e^{-x^2}$. On a :
   $$S(x) = x \sum_{n=0}^{+\infty} n q^n = x \sum_{n=1}^{+\infty} n q^n$$
   On rappelle que pour $|q| < 1$, $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$. En dérivant terme à terme (ce qui est licite à l'intérieur du disque de convergence), on obtient :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2} \implies \sum_{n=1}^{+\infty} n q^n = \frac{q}{(1-q)^2}$$
   En remplaçant $q$ par $e^{-x^2}$, on trouve :
   $$\boxed{ S(x) = \frac{x e^{-x^2}}{(1 - e^{-x^2})^2} }$$

3. Étude de la convergence sur $\mathbb{R$.}
   1. Convergence normale : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $u_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
      $$u_n'(x) = n e^{-nx^2} + nx(-2nx) e^{-nx^2} = n e^{-nx^2} (1 - 2nx^2)$$
      La dérivée s'annule en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}} > 0$. On en déduit que :
      $$\|u_n\|_{\infty, \mathbb{R}} \geq u_n(x_n) = n \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2} = \sqrt{\frac{n}{2e}}$$
      Comme $\lim_{n \to +\infty} \|u_n\|_{\infty, \mathbb{R}} = +\infty$, la condition nécessaire de convergence uniforme ($\|u_n\|_\infty \to 0$) n'est pas vérifiée. A fortiori, \boxed{\text{la série ne converge pas normalement sur } \mathbb{R} \text{ ni sur } [0, +\infty[.}

   2. Convergence uniforme : Analysons la continuité de $S$ en 0. Au voisinage de 0 :
      $$e^{-x^2} = 1 - x^2 + o(x^2) \implies 1 - e^{-x^2} \sim x^2$$
      Ainsi, $S(x) \sim \frac{x \cdot 1}{(x^2)^2} = \frac{1}{x^3}$ quand $x \to 0^+$. On a donc $\lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty$. Or $S(0) = 0$. La fonction somme $S$ n'est pas continue en 0. Comme chaque $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$, si la convergence était uniforme sur $\mathbb{R}$, $S$ serait continue sur $\mathbb{R}$. Par contraposée, \boxed{\text{la série ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}.}

4. Convergence sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$. Pour $n$ tel que $\frac{1}{\sqrt{2n}} < a$ (soit $n > \frac{1}{2a^2}$), la fonction $u_n$ est décroissante sur $[a, +\infty[$. Alors, pour de tels $n$ :
   $$\sup_{x \in [a, +\infty[} |u_n(x)| = u_n(a) = n a e^{-na^2}$$
   Or, par croissance comparée, $u_n(a) = o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ car $a^2 > 0$. La série numérique $\sum n a e^{-na^2}$ converge. Par conséquent, \boxed{\text{la série } \sum u_n \text{ converge normalement sur } [a, +\infty[.}