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Convergence uniforme et inégalités logarithmiques

convergence uniformeTaylor-LagrangedécoupageexponentielleTaylor-LagrangeDécoupage de domaine

Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on définit la fonction gng_n sur [0,+∞[[0, +\infty[ par :

gn(x)=(1+xn)ne−2xg_{n}(x) = \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n} e^{-2 x}

Démontrer que la suite de fonctions (gn)n∈N∗(g_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge uniformément sur [0,+∞[[0, +\infty[ vers la fonction f:x⟼e−xf : x \longmapsto e^{-x}.

1.

Utiliser une inégalité de Taylor-Lagrange ou un développement limité pour encadrer ln⁡(1+u)−u\ln(1+u) - u pour u≥0u \ge 0.

2.

Établir que 0≤f(x)−gn(x)≤e−x(1−e−x22n)0 \le f(x) - g_n(x) \le e^{-x} (1 - e^{-\frac{x^2}{2n}}).

3.

Pour prouver la convergence uniforme, utiliser un découpage du domaine [0,+∞[[0, +\infty[ en [0,xn][0, x_n] et [xn,+∞[[x_n, +\infty[ avec un choix judicieux de xnx_n (par exemple xn=n1/3x_n = n^{1/3}).

Idées clés

•

Inégalité de Taylor-Lagrange pour le logarithme.

•

Méthode de découpage du domaine pour la convergence uniforme.

•

Majoration uniforme par morceaux.

Résolution.

Soit x≥0x \ge 0. On cherche à estimer f(x)−gn(x)=e−x−(1+x/n)ne−2xf(x) - g_n(x) = e^{-x} - (1+x/n)^n e^{-2x}. On peut factoriser par e−xe^{-x} :

f(x)−gn(x)=e−x(1−exp⁡(nln⁡(1+xn)−x))f(x) - g_n(x) = e^{-x} \left( 1 - \exp\left( n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) - x \right) \right)

Étape 1 : Inégalité sur le logarithme. D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à u↦ln⁡(1+u)u \mapsto \ln(1+u) à l'ordre 2 sur [0,u][0, u], il existe c∈]0,u[c \in ]0, u[ tel que :

ln⁡(1+u)=u−u22(1+c)2\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2(1+c)^2}

Comme c>0c > 0, on a 0<1(1+c)2<10 < \frac{1}{(1+c)^2} < 1, d'où :

u−u22≤ln⁡(1+u)≤uu - \frac{u^2}{2} \le \ln(1+u) \le u

En posant u=x/nu = x/n, on multiplie par nn :

x−x22n≤nln⁡(1+xn)≤xx - \frac{x^2}{2n} \le n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) \le x

Il en résulte que −x22n≤nln⁡(1+xn)−x≤0- \frac{x^2}{2n} \le n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) - x \le 0. En passant à l'exponentielle (croissante) et en multipliant par −1-1 :

0≤1−exp⁡(nln⁡(1+xn)−x)≤1−e−x22n0 \le 1 - \exp\left( n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) - x \right) \le 1 - e^{-\frac{x^2}{2n}}

D'où la majoration fondamentale :

∀x≥0,0≤f(x)−gn(x)≤e−x(1−e−x22n)\boxed{ \forall x \ge 0,   0 \le f(x) - g_n(x) \le e^{-x} \left( 1 - e^{-\frac{x^2}{2n}} \right) }

Étape 2 : Convergence uniforme par découpage. Soit ε>0\varepsilon > 0. Puisque lim⁡x→+∞e−x=0\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0, il existe A>0A > 0 tel que pour tout x≥Ax \ge A, e−x≤εe^{-x} \le \varepsilon. Comme 0≤gn(x)≤f(x)0 \le g_n(x) \le f(x) d'après l'inégalité précédente, on a pour tout x∈[A,+∞[x \in [A, +\infty[ :

∣f(x)−gn(x)∣≤f(x)=e−x≤ε|f(x) - g_n(x)| \le f(x) = e^{-x} \le \varepsilon

Sur l'intervalle compact [0,A][0, A], la fonction x↦1−e−x22nx \mapsto 1 - e^{-\frac{x^2}{2n}} est croissante. Son maximum est atteint en AA et vaut 1−e−A22n1 - e^{-\frac{A^2}{2n}}. Ainsi, pour tout x∈[0,A]x \in [0, A] :

∣f(x)−gn(x)∣≤e0(1−e−A22n)=1−e−A22n|f(x) - g_n(x)| \le e^0 \left( 1 - e^{-\frac{A^2}{2n}} \right) = 1 - e^{-\frac{A^2}{2n}}

Comme lim⁡n→+∞(1−e−A22n)=0\lim_{n \to +\infty} \left( 1 - e^{-\frac{A^2}{2n}} \right) = 0, il existe N∈NN \in \mathbb{N} tel que pour tout n≥Nn \ge N, 1−e−A22n≤ε1 - e^{-\frac{A^2}{2n}} \le \varepsilon. Finalement, pour n≥Nn \ge N :

sup⁡x∈[0,+∞[∣f(x)−gn(x)∣≤ε\sup_{x \in [0, +\infty[} |f(x) - g_n(x)| \le \varepsilon

Ceci démontre que la convergence est uniforme.

sup⁡x∈[0,+∞[∣gn(x)−f(x)∣→n→+∞0\boxed{ \sup_{x \in [0, +\infty[} |g_n(x) - f(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 }

Confondre convergence simple et convergence uniforme sur un intervalle non borné.

Technique du découpage [0, A] et [A, +inf[ pour la convergence uniforme.