Équivalent d'une intégrale de type Laplace

Résolution.

1. Soit $g(x) = \cos(\sin x)$. Sur $[0, 1/2]$, $\sin x \in [0, \sin(1/2)] \subset [0, \pi/2[$. La fonction $\cos$ est strictement décroissante sur $[0, \pi/2[$. Comme $\sin(0)=0$ et $\cos(0)=1$, on a $g(0)=1$ et pour tout $x \in ]0, 1/2]$, $0 \leq g(x) < 1$. Ainsi, $g(x)^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ pour $x > 0$. Par convergence dominée (puisque $|g(x)^n| \leq 1$), on a :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

2. Cherchons le comportement de $g(x)$ près de 0 :
   $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \implies \cos(\sin x) = 1 - \frac{(\sin x)^2}{2} + o(x^2) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$
   On peut donc écrire $g(x)^n = \exp(n \ln(g(x))) \approx \exp\left( -n \frac{x^2}{2} \right)$. Effectuons le changement de variable $t = x\sqrt{n}$ (soit $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$) :
   $$u_n = \int_0^{\sqrt{n}/2} \left( \cos\left(\sin \frac{t}{\sqrt{n}}\right) \right)^n \frac{\text{d}t}{\sqrt{n}}$$
   Posons $h_n(t) = \mathbb{1}_{[0, \sqrt{n}/2]}(t) \left( \cos\left(\sin \frac{t}{\sqrt{n}}\right) \right)^n$. À $t$ fixé, $h_n(t) = \exp\left( n \ln\left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \right) \to e^{-t^2/2}$. La domination est assurée par la concavité de $\ln(g(x))$ ou par l'inégalité $\cos(\sin x) \leq 1 - \frac{x^2}{4}$ sur un petit voisinage. Par le TCD, $\int_0^{\sqrt{n}/2} h_n(t) \text{d}t \to \int_0^{+\infty} e^{-t^2/2} \text{d}t = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$. On en conclut :
   $$\boxed{u_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}}$$