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Cas limite de la règle de Raabe-Duhamel

Raabe-DuhamelBertranddéveloppement asymptotiquedivergenceComparaison de rapportsSéries de BertrandDéveloppement limité

Soit (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels strictement positifs.

On suppose que, lorsque nn tend vers +∞+\infty, le rapport entre deux termes consécutifs vérifie le développement suivant :

an+1an=1−1n+o(1nln⁡n)\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right)

Démontrer que la série ∑an\sum a_n est divergente.

1.

On pourra introduire une suite de référence dont la série associée est une série de Bertrand divergente.

2.

Utiliser la comparaison des rapports de deux séries à termes positifs : si an+1an⩾vn+1vn\frac{a_{n+1}}{a_n} \geqslant \frac{v_{n+1}}{v_n} à partir d'un certain rang et si ∑vn\sum v_n diverge, alors ∑an\sum a_n diverge.

3.

Effectuer un développement asymptotique de ln⁡(vn+1vn)\ln\left(\frac{v_{n+1}}{v_n}\right) pour vn=1nln⁡nv_n = \frac{1}{n \ln n}.

Idées clés

•

Critère de comparaison des rapports pour les séries à termes positifs.

•

Utilisation des séries de Bertrand comme échelle de comparaison.

•

Développement asymptotique du logarithme pour comparer finement les vitesses de décroissance.

Résolution.

Considérons la suite de référence (vn)n≥2(v_n)_{n \ge 2} définie par :

vn=1nln⁡nv_n = \frac{1}{n \ln n}

D'après le cours sur les séries de Bertrand, la série ∑vn\sum v_n est divergente (cas α=1\alpha=1 et β=1\beta=1).

Cherchons à comparer le rapport vn+1vn\frac{v_{n+1}}{v_n} avec celui de l'énoncé. On a :

vn+1vn=nln⁡n(n+1)ln⁡(n+1)=(1+1n)−1ln⁡nln⁡(n)+ln⁡(1+1/n)\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{n \ln n}{(n+1) \ln(n+1)} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-1} \frac{\ln n}{\ln(n) + \ln(1 + 1/n)}

En effectuant un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de +∞+\infty :

(1+1n)−1=1−1n+o(1n)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-1} = 1 - \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)

De plus, pour le terme logarithmique :

ln⁡nln⁡n+ln⁡(1+1/n)=ln⁡nln⁡n+1n+o(1n)=11+1nln⁡n+o(1nln⁡n)\frac{\ln n}{\ln n + \ln(1+1/n)} = \frac{\ln n}{\ln n + \frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n \ln n} + o(\frac{1}{n \ln n})}

En utilisant le développement (1+u)−1=1−u+o(u)(1+u)^{-1} = 1 - u + o(u) :

ln⁡nln⁡n+ln⁡(1+1/n)=1−1nln⁡n+o(1nln⁡n)\frac{\ln n}{\ln n + \ln(1+1/n)} = 1 - \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right)

En multipliant les deux développements, nous obtenons :

vn+1vn=(1−1n+o(1n))(1−1nln⁡n+o(1nln⁡n))\frac{v_{n+1}}{v_n} = \left( 1 - \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \left( 1 - \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \right)

D'où :

vn+1vn=1−1n−1nln⁡n+o(1nln⁡n)\frac{v_{n+1}}{v_n} = 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right)

Comparons maintenant avec le rapport de la suite (an)(a_n) donné par l'énoncé :

an+1an−vn+1vn=(1−1n+o(1nln⁡n))−(1−1n−1nln⁡n+o(1nln⁡n))\frac{a_{n+1}}{a_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} = \left( 1 - \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \right) - \left( 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \right)

Ce qui se simplifie en :

an+1an−vn+1vn=1nln⁡n+o(1nln⁡n)\frac{a_{n+1}}{a_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right)

Puisque 1nln⁡n>0\frac{1}{n \ln n} > 0, il existe un rang NN à partir duquel, pour tout n≥Nn \ge N :

an+1an≥vn+1vn\boxed{\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge \frac{v_{n+1}}{v_n}}

Par récurrence immédiate, on en déduit que pour tout n≥Nn \ge N :

an≥aNvNvna_n \ge \frac{a_N}{v_N} v_n

Comme la série ∑vn\sum v_n diverge et que an>0a_n > 0, par théorème de comparaison des séries à termes positifs :

La seˊrie ∑an diverge.\boxed{\text{La série } \sum a_n \text{ diverge.}}

Conclure prématurément sur l'équivalence en 1/n sans traiter le terme d'erreur.

Utiliser la comparaison de rapports pour affiner la convergence dans les cas limites de D'Alembert.