Étude d'une série de fonctions exponentielles

Soit la fonction $f$ définie par la série de fonctions suivante :

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{x} e^{-n x}

Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$ et étudier ses variations sur cet ensemble.
Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
Déterminer un équivalent de $f(x)$ lorsque $x \to 0^+$ et lorsque $x \to +\infty$ .

1.

Pour le domaine de définition, utiliser la règle $n^2 u_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ pour $x > 0$ .

2.

Pour les variations, dériver le terme général après avoir vérifié la convergence normale de la série des dérivées.

3.

Pour l'équivalent en $+\infty$ , isoler le premier terme de la série qui est prépondérant.

4.

Pour l'équivalent en $0^+$ , comparer la somme à une intégrale ou effectuer un changement de variable dans une intégrale de comparaison.

Idées clés

•

Convergence des séries à termes positifs via comparaison.

•

Théorème de dérivation terme à terme (convergence normale).

•

Comparaison série-intégrale pour l'étude asymptotique.

1. Domaine de définition et variations.

Soit $u_n(x) = n^x e^{-nx} = \exp(x(\ln n - n))$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ .

Si $x > 0$ , alors $x(\ln n - n) \sim -nx$ . Par croissance comparée, $n^2 u_n(x) = \exp(2\ln n + x\ln n - nx) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ . Ainsi, $u_n(x) = o(1/n^2)$ , donc la série converge.

Si $x \leq 0$ , alors $x(\ln n - n) \geq 0$ car $\ln n - n \leq 0$ pour tout $n \geq 1$ . Le terme général $u_n(x)$ ne tend pas vers $0$ , donc la série diverge grossièrement.

\boxed{ \mathcal{D}_f = ]0, +\infty[ }

Pour les variations, les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ . On a $u_n'(x) = (\ln n - n) e^{x(\ln n - n)}$ . Comme $n \geq 1 > e$ , on a $\ln n < n$ , donc $u_n'(x) < 0$ pour tout $n \geq 1$ .

Pour tout $a > 0$ , sur $[a, +\infty[$ , $|u_n'(x)| \leq (n - \ln n) e^{a(\ln n - n)}$ . Cette série converge (même argument que pour $u_n$ ). Il y a convergence normale, donc $f$ est $\mathcal{C}^1$ et décroissante.

\boxed{ f \text{ est strictement décroissante sur } ]0, +\infty[ }

2. Limite et équivalent en $+\infty$ .

Pour $x \in [1, +\infty[$ , on a $u_n(x) \leq u_n(1) = n e^{-n}$ . La série $\sum n e^{-n}$ converge, donc il y a convergence normale sur $[1, +\infty[$ . On peut appliquer le théorème de la limite terme à terme :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x \to +\infty} u_n(x) = 0

Pour l'équivalent, on écrit $f(x) = e^{-x} + \sum_{n=2}^\infty e^{x(\ln n - n)}$ . Alors $f(x) = e^{-x} \left( 1 + \sum_{n=2}^\infty e^{x(\ln n - n + 1)} \right)$ . Pour $n \geq 2$ , la fonction $h(t) = \ln t - t + 1$ est strictement négative car son maximum est en $t=1$ ( $h(1)=0$ ). Ainsi, chaque terme de la somme tend vers $0$ et la somme converge normalement.

\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} e^{-x} }

3. Limite et équivalent en $0^+$ .

Quand $x \to 0^+$ , $u_n(x) \to 1$ pour tout $n$ . Par le théorème de convergence monotone (ou comparaison série-intégrale), $f(x) \to +\infty$ .

Pour l'équivalent, soit $g_x(t) = t^x e^{-tx}$ . Sur $[1, +\infty[$ , $g_x'(t) = x(\frac{1}{t}-1)g_x(t) \leq 0$ . La fonction $g_x$ est décroissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale :

\int_1^\infty g_x(t) dt \leq \sum_{n=1}^\infty g_x(n) \leq g_x(1) + \int_1^\infty g_x(t) dt

Calculons $I(x) = \int_1^\infty t^x e^{-tx} dt$ . On pose $u = tx$ , d'où $dt = \frac{du}{x}$ :

I(x) = \int_x^\infty \left(\frac{u}{x}\right)^x e^{-u} \frac{du}{x} = \frac{1}{x^{x+1}} \int_x^\infty u^x e^{-u} du

Comme $x \ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$ , on a $x^x = e^{x \ln x} \to 1$ . De plus, $\int_x^\infty u^x e^{-u} du \xrightarrow[x \to 0^+]{} \int_0^\infty u^0 e^{-u} du = \Gamma(1) = 1$ . Ainsi, $I(x) \sim \frac{1}{x}$ .

\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x} }

Ne pas oublier de vérifier la convergence normale locale pour justifier la dérivation ou la limite terme à terme.

Pour trouver un équivalent d'une somme lorsque le paramètre tend vers une borne de divergence, la comparaison avec une intégrale est l'outil privilégié.