Équivalent d'une série de fonctions par comparaison intégrale

Résolution.

1. Domaine de définition. Pour tout $x \geqslant 0$ fixé, posons $u_n(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$. Si $x = 0$, $u_n(0) = 0$ pour tout $n$, donc $f(0) = 0$. Si $x > 0$, au voisinage de $n \to +\infty$, on a :
   $$u_n(x) \sim \frac{x}{n^2}$$
   Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente, par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_n(x)$ converge.
   $$\boxed{ \text{La fonction } f \text{ est définie sur } [0, +\infty[ }$$

2. Recherche de l'équivalent en $+\infty$. Soit $x > 0$. Considérons la fonction $\varphi_x : t \mapsto \ln\left(1 + \frac{x}{t^2}\right)$ définie sur $[1, +\infty[$. La fonction $\varphi_x$ est continue, positive et strictement décroissante sur $[1, +\infty[$ (sa dérivée est $t \mapsto \frac{-2x}{t(t^2+x)} < 0$). Par comparaison série-intégrale, nous avons l'encadrement classique :
   $$\int_1^{+\infty} \varphi_x(t)   dt \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \varphi_x(n) \leqslant \varphi_x(1) + \int_1^{+\infty} \varphi_x(t)   dt$$
   Calculons l'intégrale $I(x) = \int_1^{+\infty} \ln\left(1 + \frac{x}{t^2}\right)   dt$. Effectuons une intégration par parties sur un segment $[1, A]$ avant de faire tendre $A$ vers $+\infty$ :
   $$\int_1^{A} \ln\left(1 + \frac{x}{t^2}\right)   dt = \left[ t \ln\left(1 + \frac{x}{t^2}\right) \right]_1^{A} - \int_1^{A} t \cdot \frac{-2x/t^3}{1 + x/t^2}   dt$$
   Analysons les termes : - En $t=A$, $A \ln(1 + x/A^2) \sim A \cdot \frac{x}{A^2} = \frac{x}{A} \xrightarrow[A \to +\infty]{} 0$. - En $t=1$, on obtient $-\ln(1+x)$. - L'intégrale restante devient :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{2x}{t^2+x}   dt = 2x \left[ \frac{1}{\sqrt{x}} \arctan\left(\frac{t}{\sqrt{x}}\right) \right]_1^{+\infty}$$
   On en déduit :
   $$I(x) = -\ln(1+x) + 2\sqrt{x} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \right)$$
   En développant, on trouve :
   $$I(x) = \pi\sqrt{x} - \ln(1+x) - 2\sqrt{x}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
   Étudions le comportement de $I(x)$ quand $x \to +\infty$ : - $\ln(1+x) = o(\sqrt{x})$ - $2\sqrt{x}\arctan(1/\sqrt{x}) \sim 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 = o(\sqrt{x})$ Par conséquent :
   $$I(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \pi\sqrt{x}$$
   Revenons à l'encadrement de $f(x)$ :
   $$I(x) \leqslant f(x) \leqslant \ln(1+x) + I(x)$$
   Comme $\ln(1+x) = o(I(x))$, les deux bornes sont équivalentes à $\pi\sqrt{x}$.
   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \pi\sqrt{x} }$$