Approximation polynomiale uniforme de la racine carrée

Résolution.

1. Soit $x \in [0, 1]$. Montrons par récurrence sur $n$ que $0 \leq P_n(x) \leq \sqrt{x}$. Pour $n=0$, $P_0(x) = 0$, donc $0 \leq 0 \leq \sqrt{x}$ est vrai. Supposons $0 \leq P_n(x) \leq \sqrt{x}$. Alors :
   $$P_{n+1}(x) - P_n(x) = \frac{1}{2}(x - P_n(x)^2) \geq \frac{1}{2}(x - x) = 0$$
   donc la suite est croissante. De plus :
   $$\sqrt{x} - P_{n+1}(x) = \sqrt{x} - P_n(x) - \frac{1}{2}(\sqrt{x} - P_n(x))(\sqrt{x} + P_n(x))$$
   $$\sqrt{x} - P_{n+1}(x) = (\sqrt{x} - P_n(x)) \left( 1 - \frac{\sqrt{x} + P_n(x)}{2} \right)$$
   Comme $0 \leq P_n(x) \leq \sqrt{x} \leq 1$, on a $0 \leq \frac{\sqrt{x} + P_n(x)}{2} \leq 1$, d'où $1 - \frac{\sqrt{x} + P_n(x)}{2} \geq 0$. Par produit de termes positifs, $\sqrt{x} - P_{n+1}(x) \geq 0$. L'hérédité est vérifiée.
2. Pour chaque $x \in [0, 1]$, la suite $(P_n(x))$ est croissante et majorée par $\sqrt{x}$. Elle converge donc vers une limite $\ell(x) \in [0, \sqrt{x}]$. En passant à la limite dans la relation de récurrence : $\ell(x) = \ell(x) + \frac{1}{2}(x - \ell(x)^2)$, ce qui impose $\ell(x)^2 = x$. Comme $\ell(x) \geq 0$, on en déduit $\ell(x) = \sqrt{x}$. La suite converge simplement vers la fonction racine carrée.
3. Première méthode :
   1. Nous avons vu que $\sqrt{x} - P_{n+1}(x) = (\sqrt{x} - P_n(x)) \left( 1 - \frac{\sqrt{x} + P_n(x)}{2} \right)$. Puisque $P_n(x) \geq 0$, on a $1 - \frac{\sqrt{x} + P_n(x)}{2} \leq 1 - \frac{\sqrt{x}}{2}$. Par récurrence, sachant $\sqrt{x} - P_0(x) = \sqrt{x}$, il vient :
      $$\boxed{\sqrt{x} - P_n(x) \leq \sqrt{x} \left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{2} \right)^n}$$
   2. Soit $g_n(t) = t(1 - t/2)^n$ pour $t \in [0, 1]$. La fonction est dérivable et $g_n'(t) = (1 - t/2)^n - \frac{nt}{2}(1 - t/2)^{n-1} = (1 - t/2)^{n-1} \left( 1 - \frac{t(n+2)}{2} \right)$. Le maximum est atteint en $t_n = \frac{2}{n+2}$. Alors :
      $$\| f - P_n \|_{\infty} \leq g_n(t_n) = \frac{2}{n+2} \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)^n \leq \frac{2}{n+2}$$
      Comme $\frac{2}{n+2} \to 0$, la convergence est uniforme.

4. Seconde méthode :
   1. L'inégalité est vraie pour $n=0$ ($0 \leq \sqrt{x} \leq \sqrt{x}$). Supposons-la vraie au rang $n$. D'après la relation établie en question 1 :
      $$\sqrt{x} - P_{n+1}(x) \leq \frac{2\sqrt{x}}{2+n\sqrt{x}} \left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{2} \right)$$
      On veut montrer $\frac{2\sqrt{x}}{2+n\sqrt{x}} \left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \leq \frac{2\sqrt{x}}{2+(n+1)\sqrt{x}}$, ce qui équivaut à :
      $$\left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{2} \right) (2 + (n+1)\sqrt{x}) \leq 2 + n\sqrt{x}$$
      $$2 + (n+1)\sqrt{x} - \sqrt{x} - \frac{n+1}{2}x \leq 2 + n\sqrt{x}$$
      $$2 + n\sqrt{x} - \frac{n+1}{2}x \leq 2 + n\sqrt{x}$$
      Cette dernière inégalité est vraie car $x \geq 0$ et $n \geq 0$. L'hérédité est prouvée.
   2. On a donc $\sqrt{x} - P_n(x) \leq \frac{2\sqrt{x}}{2+n\sqrt{x}}$. En posant $u = \sqrt{x} \in [0, 1]$, on cherche le maximum de $h(u) = \frac{2u}{2+nu}$. Puisque $h$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$, son maximum sur $[0, 1]$ est $h(1) = \frac{2}{n+2}$.
      $$\boxed{\| f - P_n \|_{\infty} \leq \frac{2}{n+2}}$$
      La convergence est uniforme vers la fonction racine carrée.

5. Théorème de Dini : La suite $(P_n)$ est une suite de fonctions continues sur le segment $[0, 1]$. Elle converge simplement vers la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ qui est continue sur $[0, 1]$. De plus, la suite est monotone (croissante) en chaque point. D'après le premier théorème de Dini, la convergence est uniforme sur le compact $[0, 1]$.

6. Posons $Q_n(x) = P_n(x^2)$. Comme $P_n$ est un polynôme, $Q_n$ l'est aussi. Pour tout $x \in [-1, 1]$, $x^2 \in [0, 1]$. On a :
   $$\sup_{x \in [-1, 1]} | Q_n(x) - |x| | = \sup_{x \in [-1, 1]} | P_n(x^2) - \sqrt{x^2} | = \sup_{t \in [0, 1]} | P_n(t) - \sqrt{t} |$$
   La limite de ce sup est $0$ par convergence uniforme de $(P_n)$ vers la racine.
   $$\boxed{\text{La suite } (Q_n) \text{ converge uniformément vers } x \mapsto |x| \text{ sur } [-1, 1].}$$

7. Toute fonction affine par morceaux sur $[a, b]$ est combinaison linéaire de la fonction constante $1$, de la fonction $x \mapsto x$ et de fonctions de la forme $x \mapsto |x - c|$ où $c \in [a, b]$. Puisque la valeur absolue est limite uniforme de polynômes sur tout segment, par translation et dilatation, $x \mapsto |x-c|$ l'est aussi. L'espace des fonctions qui sont limites uniformes de polynômes étant un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$, toute fonction affine par morceaux est limite uniforme de polynômes.