Série de fonctions rationnelles alternées

Résolution.

1. Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Cas $|x| < 1$ : On a $|u_n(x)| \sim \frac{|x|^n}{n}$. Puisque $|x| < 1$, la série $\sum u_n(x)$ converge absolument par comparaison avec une série géométrique. Cas $x = 1$ : $u_n(1) = \frac{(-1)^{n-1}}{2n}$. C'est le terme général d'une série alternée dont la valeur absolue décroît vers 0. Par le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série converge. Cas $|x| > 1$ : On écrit :
   $$u_n(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{x^n}{1+x^n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \left( 1 - \frac{1}{1+x^n} \right) = \frac{(-1)^{n-1}}{n} - \frac{(-1)^{n-1}}{n(1+x^n)}$$
   La série $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converge (série harmonique alternée). Pour la seconde partie, posons $v_n(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{n(1+x^n)}$. Comme $|x| > 1$, $|v_n(x)| \leq \frac{1}{|x|^n}$, donc $\sum v_n(x)$ converge absolument. Par somme de séries convergentes, $\sum u_n(x)$ converge.
   $$\boxed{\text{Le domaine de définition de } f \text{ est } \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

2. Soit $x \in D$ tel que $1/x \in D$ (soit $x \notin \{-1, 0, 1\}$). Calculons le terme général :
   $$u_n(x) + u_n(1/x) = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \left( \frac{x^n}{1+x^n} + \frac{(1/x)^n}{1+(1/x)^n} \right)$$
   En multipliant le second terme par $x^n/x^n$ au numérateur et dénominateur :
   $$u_n(x) + u_n(1/x) = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \left( \frac{x^n}{1+x^n} + \frac{1}{x^n+1} \right) = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{x^n+1}{x^n+1} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$$
   En sommant pour $n$ allant de 1 à $+\infty$, on reconnaît la série de $\ln(2)$ :
   $$\boxed{f(x) + f(1/x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2)}$$
   Par prolongement, cette relation est encore vraie en $x=1$ (où $2f(1) = \ln(2)$).

3. Continuité sur $]-1, 1[$ : Soit $a \in [0, 1[$. Pour tout $x \in [-a, a]$, on a $|1+x^n| \geq 1-|x|^n \geq 1-a$. Ainsi, $|u_n(x)| \leq \frac{a^n}{n(1-a)}$. La série $\sum \frac{a^n}{n(1-a)}$ converge, donc la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement, et donc uniformément, sur tout segment de $]-1, 1[$. Chaque $u_n$ étant continue, $f$ est continue sur $]-1, 1[$. Continuité sur $]-\infty, -1[$ et $]1, +\infty[$ : Pour $x \in ]1, +\infty[$, on a $1/x \in ]0, 1[$. D'après la question 2 :
   $$f(x) = \ln(2) - f(1/x)$$
   Par composition d'applications continues ($x \mapsto 1/x$ de $]1, +\infty[$ dans $]0, 1[$ et $f$ continue sur $]0, 1[$), $f$ est continue sur $]1, +\infty[$. Le raisonnement est identique pour $]-\infty, -1[$.

4. Pour la continuité en 1, montrons la convergence uniforme sur $[0, 1]$. Pour $x \in [0, 1]$, la série est alternée : $u_n(x) = (-1)^{n-1} a_n(x)$ avec $a_n(x) = \frac{1}{n} \frac{x^n}{1+x^n}$. Vérifions les hypothèses du CSSA pour $x$ fixé : $a_n(x) \geq 0$ et $a_n(x) \to 0$. Pour la décroissance : $a_n(x) = \frac{1}{n(x^{-n}+1)}$. Comme $n \mapsto n$ et $n \mapsto x^{-n}+1$ (pour $x \in ]0,1]$) sont croissantes, leur produit est croissant, donc son inverse $a_n(x)$ est décroissant. Le reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)$ vérifie alors :
   $$|R_n(x)| \leq a_{n+1}(x) = \frac{1}{n+1} \frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}} \leq \frac{1}{n+1}$$
   On en déduit :
   $$\boxed{\sup_{x \in [0,1]} |R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$
   La série converge uniformément sur $[0, 1]$, donc $f$ est continue à gauche en 1. Comme $f(x) = \ln(2) - f(1/x)$, et que $1/x \to 1^-$ quand $x \to 1^+$, on a par continuité à gauche :
   $$f(x) \xrightarrow[x \to 1^+]{} \ln(2) - f(1) = 2f(1) - f(1) = f(1)$$
   $f$ est donc continue à droite en 1, d'où la continuité en 1.