Étude des modes de convergence

Résolution.

1. Étude de $f_n(x) = \frac{1${n^2+x^2} sur $\mathbb{R}$.}

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $|f_n(x)| \leq \frac{1}{n^2}$. La fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ et atteint son maximum en $x=0$. On en déduit la norme de la convergence uniforme :

   $$\|f_n\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = f_n(0) = \frac{1}{n^2}$$

   La série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente ($2 > 1$). Par définition, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$.

   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge normalement, uniformément et simplement sur } \mathbb{R}.}$$

2. Étude de $f_n(x) = \frac{(-1)^n${n+x^2} sur $\mathbb{R}$.}

   La norme infinie de $f_n$ est donnée par $\|f_n\|_\infty = |f_n(0)| = \frac{1}{n}$. La série $\sum \frac{1}{n}$ étant la série harmonique divergente, il n'y a pas convergence normale sur $\mathbb{R}$.

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$ fixé, la suite $(|f_n(x)|)_{n \geq 1} = \left(\frac{1}{n+x^2}\right)_{n \geq 1}$ est décroissante et tend vers 0. D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum f_n(x)$ converge simplement pour tout $x$. Le reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k(x)$ vérifie alors la majoration classique :

   $$|R_n(x)| \leq |f_{n+1}(x)| = \frac{1}{n+1+x^2} \leq \frac{1}{n+1}$$

   Cette majoration est indépendante de $x$, donc :

   $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R} \text{ mais pas normalement.}}$$

3. Étude de $f_n(x) = \frac{x${\sqrt{n}(1+nx^2)} sur $\mathbb{R}_+$.}

   Cherchons le maximum de $f_n$ sur $\mathbb{R}_+$. La fonction est dérivable et :

   $$f_n'(x) = \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(1+nx^2) - x(2nx)}{(1+nx^2)^2} = \frac{1-nx^2}{\sqrt{n}(1+nx^2)^2}$$

   La dérivée s'annule en $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \in \mathbb{R}_+$. On calcule alors le maximum :

   $$\|f_n\|_\infty = f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{1/\sqrt{n}}{\sqrt{n}(1+1)} = \frac{1}{2n}$$

   La série $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, donc il n'y a pas convergence normale sur $\mathbb{R}_+$.

   Pour la convergence uniforme, étudions le reste $R_n(x)$ par comparaison avec une intégrale. Pour $x > 0$ fixé, la fonction $t \mapsto \frac{x}{\sqrt{t}(1+tx^2)}$ est décroissante sur $[n, +\infty[$. Ainsi :

   $$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k(x) \approx \int_n^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{t}(1+tx^2)}   dt$$

   En posant le changement de variable $u = \sqrt{t}x$ ($dt = \frac{2u}{x^2} du$), on obtient :

   $$\int_n^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{t}(1+tx^2)}   dt = \int_{\sqrt{n}x}^{+\infty} \frac{x}{(u/x)(1+u^2)} \frac{2u}{x^2}   du = \int_{\sqrt{n}x}^{+\infty} \frac{2}{1+u^2}   du = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(\sqrt{n}x) \right)$$

   En choisissant $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$, le reste $R_n(x_n)$ se comporte comme $2(\pi/2 - \pi/4) = \pi/2$, qui ne tend pas vers 0.

   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement mais pas uniformément (ni normalement) sur } \mathbb{R}_+.}$$

4. Étude de $f_n(x) = \frac{x${n^2+x^2} sur $\mathbb{R}_+$.}

   De la même manière, l'étude des variations de $f_n$ montre que le maximum est atteint en $x=n$ :

   $$\|f_n\|_\infty = f_n(n) = \frac{n}{n^2+n^2} = \frac{1}{2n}$$

   La série $\sum \|f_n\|_\infty$ diverge, donc il n'y a pas convergence normale.

   Pour le reste $R_n(x)$, une comparaison série-intégrale donne :

   $$R_n(x) \geq \int_{n+1}^{+\infty} \frac{x}{t^2+x^2}   dt = \left[ \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_{n+1}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{n+1}{x}\right)$$

   Lorsque $x \to +\infty$, cette valeur tend vers $\pi/2$. Par conséquent, $\sup_{x \in \mathbb{R}_+} |R_n(x)| \geq \pi/2$, ce qui interdit la convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$.

   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement mais pas uniformément sur } \mathbb{R}_+.}$$