Régularisation par sup-convolution

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et majorée sur $\mathbb{R}$ . On pose $M = \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)$ . Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}} \left\{ f(y) - n|y - x| \right\}

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f_n(x)$ est bien défini et que le supremum est atteint.
1. Comparer $f_n$ et $f$ , puis montrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante.
2. Établir que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , la fonction $f_n$ est $n$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .
Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)_{n \geq 1}$ .
Démontrer que la suite $(f_n)_{n \geq 1}$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $\mathbb{R}$ .
À quelle condition sur $f$ la convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}$ ?

1.

Pour l'existence du sup, montrer que l'expression est très petite (tendant vers $-\infty$ ) lorsque $|y|$ est grand.

2.

Pour la lipschitzianité, utiliser l'inégalité $| |y-x| - |y-z| | \leq |x-z|$ .

3.

Pour la convergence simple, utiliser un point $y_n$ où le sup est atteint et montrer que $y_n \to x$ .

4.

Pour la convergence uniforme sur un segment, penser au théorème de Dini.

Idées clés

•

Compacité et continuité pour l'existence du supremum.

•

Propriétés des fonctions Lipschitziennes.

•

Théorème de Dini pour la convergence uniforme locale.

•

Lien entre continuité uniforme et approximation.

Résolution.

Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. On considère la fonction $g_n : y \mapsto f(y) - n|y - x|$ . Puisque $f$ est majorée par $M$ , on a $g_n(y) \leq M - n|y - x|$ . Il est clair que $\lim_{|y| \to +\infty} g_n(y) = -\infty$ . La fonction $g_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ et tend vers $-\infty$ aux infinis. Par conséquent, $g_n$ atteint son maximum sur $\mathbb{R}$ . $\boxed{f_n(x) \text{ est bien défini et le sup est un max.}}$
1. En choisissant $y=x$ dans le sup, on a immédiatement $f_n(x) \geq f(x) - n|x-x| = f(x)$ . Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , on a $-(n+1)|y-x| \leq -n|y-x|$ . En ajoutant $f(y)$ et en passant au supremum : $\sup_{y \in \mathbb{R}} \{f(y) - (n+1)|y-x|\} \leq \sup_{y \in \mathbb{R}} \{f(y) - n|y-x|\}$ D'où $f_{n+1}(x) \leq f_n(x)$ . $\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ est décroissante et minorée par } f.}$
2. Soient $x, z \in \mathbb{R}$ . Pour tout $y \in \mathbb{R}$ : $f(y) - n|y-x| = f(y) - n|y-z + z-x| \leq f(y) - n|y-z| + n|z-x|$ En passant au supremum sur $y$ à gauche, on obtient $f_n(x) \leq f_n(z) + n|z-x|$ , soit $f_n(x) - f_n(z) \leq n|x-z|$ . Par symétrie des rôles de $x$ et $z$ , on conclut : $\boxed{|f_n(x) - f_n(z)| \leq n|x-z|}$
Soit $x \in \mathbb{R}$ . Comme $(f_n(x))$ est décroissante et minorée par $f(x)$ , elle converge vers une limite $L \geq f(x)$ . Soit $y_n$ un point tel que $f_n(x) = f(y_n) - n|y_n - x|$ . On a : $f(x) \leq f(y_n) - n|y_n - x| \leq M - n|y_n - x|$ On en déduit $0 \leq n|y_n - x| \leq M - f(x)$ , ce qui implique $|y_n - x| \to 0$ quand $n \to +\infty$ . Ainsi, $y_n \to x$ . Par continuité de $f$ en $x$ , $f(y_n) \to f(x)$ . L'encadrement $f(x) \leq f_n(x) \leq f(y_n)$ fournit par le théorème des gendarmes : $\boxed{f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x)}$
Sur un segment $I \subset \mathbb{R}$ : - Chaque $f_n$ est continue (car lipschitzienne). - $f$ est continue. - La suite $(f_n)$ décroit vers $f$ simplement. D'après le premier théorème de Dini sur un segment (compact), la convergence est uniforme. $\boxed{f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{u} f \text{ sur tout compact.}}$
Si $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ , pour tout $\epsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $|y-x| \leq \delta \implies |f(y)-f(x)| \leq \epsilon$ . On a vu que $0 \leq f_n(x) - f(x) \leq f(y_n) - f(x)$ . Comme $n|y_n - x| \leq M - \inf f$ , on a $|y_n - x| \leq \frac{C}{n}$ . Pour $n$ assez grand (indépendant de $x$ ), $|y_n - x| \leq \delta$ , donc $f(y_n) - f(x) \leq \epsilon$ . $\boxed{\text{La convergence est uniforme sur } \mathbb{R} \text{ si et seulement si } f \text{ est uniformément continue.}}$

Ne pas oublier que la convergence uniforme sur R nécessite l'uniforme continuité de f.

L'approximation par sup-convolution permet de construire des suites de fonctions lipschitziennes convergeant vers une fonction continue.