Étude d'une série d'arctangentes

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Pour $n$ suffisamment grand tel que $n > |x|$, la fonction $\arctan$ est dérivable sur l'intervalle d'extrémités $n$ et $n+x$. D'après l'inégalité des accroissements finis appliquée à $t \mapsto \arctan(t)$, dont la dérivée est $t \mapsto \frac{1}{1+t^2}$ :
   $$|u_n(x)| = |\arctan(n+x) - \arctan(n)| \leqslant \frac{|x|}{1 + \min(n, n+x)^2}$$
   Pour $n$ assez grand, $\frac{|x|}{1 + \min(n, n+x)^2} \sim \frac{|x|}{n^2}$. La série de terme général $\frac{1}{n^2}$ converge, donc par comparaison, la série $\sum u_n(x)$ converge absolument.
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}.}$$

2. Convergence uniforme : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $u_n$ est croissante sur $\mathbb{R}$. On a :
   $$\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(n)$$
   Ainsi, $\|u_n\|_\infty \geqslant \frac{\pi}{2} - \arctan(n)$. Or, $\frac{\pi}{2} - \arctan(n) = \arctan(1/n) \sim \frac{1}{n}$. Comme le terme général de la série ne tend pas vers $0$ pour la norme infini sur $\mathbb{R}$ (car $\sum \frac{1}{n}$ diverge), la série ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$. En revanche, soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$. Pour $n$ assez grand, la fonction $|u_n|$ est majorée par $M_n = \max(|u_n(a)|, |u_n(b)|)$. D'après l'étude de la convergence simple, $\sum M_n$ converge.
   $$\boxed{\text{La série converge normalement (donc uniformément) sur tout segment de } \mathbb{R}.}$$

3. Régularité $\mathcal{C$^1 :} Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec :
   $$u_n'(x) = \frac{1}{1 + (x+n)^2}$$
   Soit $A > 0$. Pour tout $x \in [-A, A]$ et $n > A$, on a $(n+x)^2 \geqslant (n-A)^2$, donc :
   $$\forall x \in [-A, A],   |u_n'(x)| \leqslant \frac{1}{1 + (n-A)^2}$$
   Le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente. La série $\sum u_n'$ converge donc normalement sur tout segment $[-A, A]$. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions :
   $$\boxed{f \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } \mathbb{R} \text{ et } f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{1+(n+x)^2}.}$$

4. Relation fonctionnelle : Soit $x \in \mathbb{R}$. Fixons $N \in \mathbb{N}$ et calculons la somme partielle : \begin{align*} \sum_{n=0}^N u_n(x+1) &= \sum_{n=0}^N \left( \arctan(x+1+n) - \arctan(n) \right)
   &= \sum_{n=0}^N \arctan(x+1+n) - \sum_{n=0}^N \arctan(n)
   &= \sum_{k=1}^{N+1} \arctan(x+k) - \sum_{n=0}^N \arctan(n)   (\text{en posant } k=n+1)
   &= \sum_{k=0}^N \arctan(x+k) - \arctan(x) + \arctan(x+N+1) - \sum_{n=0}^N \arctan(n)
   &= \sum_{n=0}^N u_n(x) - \arctan(x) + \arctan(x+N+1) \end{align*} En faisant tendre $N$ vers $+\infty$, comme $\lim_{N \to +\infty} \arctan(x+N+1) = \pi/2$, on obtient :
   $$\boxed{f(x+1) = f(x) + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)}$$

5. Comportement asymptotique : Pour $x > 0$, la relation précédente s'écrit $f(x+1) - f(x) = \arctan(1/x)$. On sait que $\arctan(1/x) \sim \frac{1}{x}$ au voisinage de $+\infty$. Par sommation des relations de comparaison (car $\sum 1/n$ diverge), pour $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1) - f(k)) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} \arctan\left(\frac{1}{k}\right)$$
   Comme $\arctan(1/k) \sim 1/k$ et que $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \sim \ln(n)$, on en déduit :
   $$f(n) \underset{n \to +\infty}{\sim} \ln(n)$$
   Soit $x > 0$. Posons $n = \lfloor x \rfloor$. Puisque $u_k'(x) > 0$ pour tout $k$, $f$ est strictement croissante. Ainsi :
   $$f(n) \leqslant f(x) \leqslant f(n+1)$$
   Comme $f(n) \sim \ln(n)$ et $f(n+1) \sim \ln(n+1) \sim \ln(n)$, par encadrement, $f(x) \sim \ln(\lfloor x \rfloor) \sim \ln(x)$.
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \ln(x)}$$
   On en déduit immédiatement que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.