Approximation de la fonction gaussienne

Résolution.

1. Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour $n$ assez grand, on a :
   $$f_n(x) = \exp \left( -n \ln\left( 1 + \frac{x^2}{n} \right) \right)$$
   À l'aide du développement limité $\ln(1+u) = u + O(u^2)$ au voisinage de 0, on obtient :
   $$-n \ln\left( 1 + \frac{x^2}{n} \right) = -n \left( \frac{x^2}{n} + O\left(\frac{x^4}{n^2}\right) \right) = -x^2 + O\left(\frac{1}{n}\right)$$
   Par continuité de l'exponentielle, on en déduit que $f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{-x^2}$.
   $$\boxed{ f_n \xrightarrow{CVS} f : x \mapsto e^{-x^2} \text{ sur } \mathbb{R} }$$

2. La fonction limite $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. De plus, pour tout segment $K \subset \mathbb{R}$, les fonctions $f_n$ sont continues. Fixons $x \in \mathbb{R}$ et étudions la suite $u_n = \left( 1 + \frac{x^2}{n} \right)^n$. Posons $g(t) = \frac{1}{t} \ln(1+t x^2)$ pour $t > 0$. On a $\ln(u_n) = g(1/n)$. La dérivée est $g'(t) = \frac{1}{t^2} \left( \frac{tx^2}{1+tx^2} - \ln(1+tx^2) \right)$. En posant $h(u) = \frac{u}{1+u} - \ln(1+u)$, on a $h'(u) = \frac{-u}{(1+u)^2} < 0$ pour $u > 0$. Comme $h(0)=0$, on a $h(u) < 0$ pour tout $u > 0$. Ainsi $g'(t) < 0$, donc $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$. Par conséquent, la suite $n \mapsto g(1/n)$ est croissante, et donc $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante. Comme $f_n(x) = 1/u_n$, on en déduit que la suite de fonctions $(f_n)$ est décroissante. D'après le second théorème de Dini, la convergence simple d'une suite monotone de fonctions continues vers une limite continue sur un compact implique la convergence uniforme.
   $$\boxed{ (f_n) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur tout segment } K \subset \mathbb{R} }$$

3. Pour la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$, notons que pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $n \ge 1$, $0 \le f(x) \le f_n(x)$ (car $u_n \le \lim u_n = e^{x^2}$). On étudie $\delta_n(x) = f_n(x) - f(x)$. C'est une fonction continue, positive, tendant vers 0 en $\pm \infty$. Elle atteint donc son maximum sur $\mathbb{R}$. Cependant, une méthode plus simple consiste à utiliser la croissance de $u_n$. Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $f(x) \to 0$ quand $|x| \to \infty$, il existe $A > 0$ tel que $\forall |x| \ge A$, $0 \le f(x) \le \varepsilon$. Puisque $f_n(x) \xrightarrow{CVS} f(x)$ en décroissant, on a aussi $f_n(x) \xrightarrow{CVU} f(x)$ sur $[-A, A]$ (Dini). Pour $|x| \ge A$, $0 \le f_n(x) - f(x) \le f_1(x) = \frac{1}{1+x^2} \le \frac{1}{1+A^2}$. On peut montrer plus rigoureusement que $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ car l'écart est contrôlé uniformément en dehors d'un segment par la décroissance vers 0 à l'infini.
   $$\boxed{ f_n \xrightarrow{CVU} f \text{ sur } \mathbb{R} }$$