Série exponentielle et intégrales de logarithmes

Résolution.

1. Existence et calcul de $I_{p, q$.} La fonction $f : t \mapsto t^p (\ln t)^q$ est continue sur $]0, 1]$. En $0$, par croissances comparées, $\lim_{t \to 0} t^p (\ln t)^q = 0$ si $p > 0$. Si $p=0$, on a $t^{1/2} (\ln t)^q \to 0$, donc $f(t) = o(t^{-1/2})$, ce qui assure l'intégrabilité. Pour $q \geq 1$, effectuons une IPP en posant $u(t) = (\ln t)^q$ et $v'(t) = t^p$. Les fonctions sont $C^1$ sur $]0, 1]$ et le crochet s'annule en $0$ et $1$ :
   $$I_{p, q} = \left[ \frac{t^{p+1}}{p+1} (\ln t)^q \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{p+1}}{p+1} \frac{q (\ln t)^{q-1}}{t}   \mathrm{d}t$$
   On obtient la relation : $I_{p, q} = -\frac{q}{p+1} I_{p, q-1}$. Sachant que $I_{p, 0} = \int_0^1 t^p   \mathrm{d}t = \frac{1}{p+1}$, on en déduit par récurrence :
   $$\boxed{ I_{p, q} = \frac{(-1)^q q!}{(p+1)^{q+1}} }$$

2. Convergence de l'intégrale. On a $x^{-ax} = e^{-ax \ln x}$. La fonction $h : x \mapsto -ax \ln x$ est continue sur $]0, 1]$ et se prolonge par continuité en $0$ (limite nulle). L'exponentielle étant continue sur $\mathbb{C}$, la fonction $x \mapsto x^{-ax}$ est prolongeable par continuité en $0$. L'intégrale est donc celle d'une fonction continue sur un segment, elle converge.

3. Interversion somme-intégrale. Utilisons le développement de l'exponentielle : $x^{-ax} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-ax \ln x)^k}{k!}$. Posons $u_k(x) = \frac{(-a)^k}{k!} x^k (\ln x)^k$. Chaque $u_k$ est intégrable sur $]0, 1]$. Calculons l'intégrale du module :
   $$\int_0^1 |u_k(x)|   \mathrm{d}x = \frac{|a|^k}{k!} \int_0^1 x^k |\ln x|^k   \mathrm{d}x$$
   Puisque $\ln x \leq 0$ sur $]0, 1]$, on a $|\ln x|^k = (-1)^k (\ln x)^k$. On reconnaît $I_{k, k}$ :
   $$\int_0^1 |u_k(x)|   \mathrm{d}x = \frac{|a|^k}{k!} (-1)^k I_{k, k} = \frac{|a|^k}{k!} (-1)^k \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}} = \frac{|a|^k}{(k+1)^{k+1}}$$
   La série $\sum \frac{|a|^k}{(k+1)^{k+1}}$ converge pour tout $a \in \mathbb{C}$ (par exemple par le critère de d'Alembert ou en observant que $\frac{|a|^k}{(k+1)^{k+1}} = o(1/k^2)$). D'après le théorème d'intégration terme à terme, l'interversion est licite pour tout $a \in \mathbb{C}$. En posant $n = k+1$ :
   $$\int_0^1 x^{-ax}   \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-a)^k}{k!} I_{k, k} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a^k}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^{n-1}}{n^n}$$
   L'égalité est donc vraie pour tout :
   $$\boxed{ a \in \mathbb{C} }$$