Densité des polynômes rationnels

Soit $I$ un segment non vide de $\mathbb{R}$ . On considère l'espace vectoriel $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ des fonctions continues sur $I$ à valeurs réelles, muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Démontrer que l'ensemble $\mathbb{Q}[X]$ des fonctions polynomiales à coefficients rationnels est dense dans $(\mathcal{C}(I, \mathbb{R}), \|\cdot\|_{\infty})$ .

1.

Utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass pour approcher une fonction continue par un polynôme à coefficients réels.

2.

Utiliser la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ pour approcher les coefficients de ce polynôme par des rationnels.

3.

Veiller à contrôler l'erreur sur le segment $I$ en majorant les puissances de la variable.

Idées clés

•

Théorème de Weierstrass (densité de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ ).

•

Propriété d'Archimède : densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ .

•

Inégalité triangulaire pour la norme uniforme.

Résolution.

Soit $f \in \mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ et soit $\epsilon > 0$ . Nous cherchons un polynôme $Q \in \mathbb{Q}[X]$ tel que :

\|f - Q\|_{\infty} \leq \epsilon

1. Approximation par un polynôme réel

D'après le théorème d'approximation de Weierstrass, l'ensemble des polynômes à coefficients réels $\mathbb{R}[X]$ est dense dans $(\mathcal{C}(I, \mathbb{R}), \|\cdot\|_{\infty})$ .

Il existe donc un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que :

\|f - P\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2}

2. Approximation du polynôme réel par un polynôme rationnel

Notons $n = \deg(P)$ . Le polynôme $P$ s'écrit sous la forme :

P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k   \text{avec } (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}

Comme le segment $I$ est borné, il existe une constante $M \geq 1$ telle que :

\forall x \in I,   |x| \leq M

Pour tout $x \in I$ , on a alors l'inégalité sur les puissances : $|x|^k \leq M^n$ pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ .

Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ , pour chaque coefficient $a_k$ , il existe un rationnel $q_k \in \mathbb{Q}$ tel que :

|a_k - q_k| \leq \frac{\epsilon}{2(n+1)M^n}

Définissons alors le polynôme $Q \in \mathbb{Q}[X]$ par :

Q(X) = \sum_{k=0}^n q_k X^k

3. Estimation de l'erreur totale

Pour tout $x \in I$ , évaluons l'écart entre $P(x)$ et $Q(x)$ :

|P(x) - Q(x)| = \left| \sum_{k=0}^n (a_k - q_k) x^k \right| \leq \sum_{k=0}^n |a_k - q_k| |x|^k

En utilisant nos majorations précédentes :

|P(x) - Q(x)| \leq \sum_{k=0}^n \frac{\epsilon}{2(n+1)M^n} \cdot M^n = (n+1) \cdot \frac{\epsilon}{2(n+1)} = \frac{\epsilon}{2}

On en déduit la majoration uniforme suivante :

\boxed{ \|P - Q\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2} }

4. Conclusion

Par l'inégalité triangulaire, nous obtenons :

\|f - Q\|_{\infty} \leq \|f - P\|_{\infty} + \|P - Q\|_{\infty}

En injectant les deux résultats obtenus :

\|f - Q\|_{\infty} \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon

Finalement, pour toute fonction $f$ et tout $\epsilon > 0$ , il existe $Q \in \mathbb{Q}[X]$ tel que :

\boxed{ \|f - Q\|_{\infty} \leq \epsilon }

Ceci prouve que $\mathbb{Q}[X]$ est dense dans $(\mathcal{C}(I, \mathbb{R}), \|\cdot\|_{\infty})$ .

Dépendance de l'approximation des coefficients par rapport au degré du polynôme.

Transitivité de la densité et approximation par étapes.