Approximation uniforme par des exponentielles

On considère l'espace des fonctions continues sur $\mathbb{R}_+$ à valeurs réelles, noté $\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}_{+}, \mathbb{R})$ .

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur une fonction $f \in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}_{+}, \mathbb{R})$ pour qu'elle soit la limite uniforme sur $\mathbb{R}_+$ d'une suite de fonctions $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de la forme :

x \longmapsto \sum_{k=0}^{n} \lambda_{k} e^{-k x}

où

n \in \mathbb{N}

et

(\lambda_{0}, \dots, \lambda_{n}) \in \mathbb{R}^{n+1}

.

1.

Pour la condition nécessaire, étudier le comportement de $f$ au voisinage de $+\infty$ en exploitant la convergence uniforme.

2.

Pour la condition suffisante, effectuer un changement de variable $t = e^{-x}$ pour se ramener à un intervalle compact de $\mathbb{R}$ .

3.

Utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass sur l'intervalle $[0, 1]$ .

Idées clés

•

Lien entre convergence uniforme et existence de limites.

•

Changement de variable pour compacter le domaine d'étude.

•

Théorème de Weierstrass (densité des polynômes dans les fonctions continues sur un segment).

Résolution.

Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des fonctions de la forme $x \mapsto \sum_{k=0}^{n} \lambda_{k} e^{-kx}$ . On cherche les fonctions $f$ appartenant à l'adhérence de $\mathcal{A}$ pour la norme de la convergence uniforme $\| \cdot \|_\infty$ sur $\mathbb{R}_+$ .

1. Condition Nécessaire.

Supposons qu'il existe une suite $(g_n)$ d'éléments de $\mathcal{A}$ telle que $\|f - g_n\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .

Chaque fonction $g_n$ est de la forme $g_n(x) = \lambda_{0,n} + \lambda_{1,n} e^{-x} + \dots + \lambda_{n,n} e^{-nx}$ . On remarque que chaque $g_n$ admet une limite finie en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} g_n(x) = \lambda_{0,n}

D'après le théorème de la double limite (ou par propriété de la convergence uniforme), si une suite de fonctions converge uniformément sur un intervalle et que chaque fonction admet une limite en un point (ici $+\infty$ ), alors la fonction limite admet également une limite en ce point.

Par conséquent, $f$ doit posséder une limite finie en $+\infty$ .

\boxed{ f \text{ est continue sur } \mathbb{R}_+ \text{ et admet une limite finie en } +\infty }

2. Condition Suffisante.

Supposons que $f \in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}_{+}, \mathbb{R})$ et que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ .

Considérons le changement de variable $t = e^{-x}$ . Lorsque $x$ parcourt $[0, +\infty[$ , $t$ parcourt $]0, 1]$ . Posons la fonction $h$ définie sur $[0, 1]$ par :

h(t) = \begin{cases} f(-\ln(t)) & \text{si } t \in ]0, 1] \ell & \text{si } t = 0 \end{cases}

Par composition de fonctions continues, $h$ est continue sur $]0, 1]$ . De plus, $\lim_{t \to 0^+} h(t) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell = h(0)$ . Ainsi, $h$ est continue sur le segment $[0, 1]$ .

D'après le théorème d'approximation de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ telle que :

\sup_{t \in [0, 1]} |h(t) - P_n(t)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

En posant $t = e^{-x}$ , nous obtenons :

\sup_{x \in [0, +\infty[} |h(e^{-x}) - P_n(e^{-x})| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Or, par construction, $h(e^{-x}) = f(x)$ . De plus, si $P_n(t) = \sum_{k=0}^{d_n} a_{k,n} t^k$ , alors :

P_n(e^{-x}) = \sum_{k=0}^{d_n} a_{k,n} e^{-kx}

Cette fonction appartient bien à $\mathcal{A}$ . La condition est donc suffisante.

Conclusion. La condition nécessaire et suffisante est que :

\boxed{ f \text{ est continue sur } [0, +\infty[ \text{ et possède une limite finie en } +\infty }

Oublier la nécessité d'une limite finie à l'infini due à la non-compacité du domaine.

Utiliser un changement de variable pour ramener l'étude d'une approximation sur un intervalle infini à un segment compact.