Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable, alphanumérique ou à écran graphique - à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n ° 99-186 du 16 novembre 1999.
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Quelques analogies en Physique
Table des matières
A. Analogie électrocinétique - mécanique classique ..... 2
A.1. Électrocinétique ..... 2
A.2. Mécanique classique ..... 3
B. Analogie conduction thermique - électrocinétique ..... 4
B.1. Caractérisation de l'analogie ..... 4
B.2. Problème ..... 5
C. Analogie électrostatique - gravitation classique ..... 6
C.1. Construction de l'analogie ..... 6
C.2. Les sphères de Dyson dans Star Trek ..... 6
D. Analogie optique géométrique - mécanique classique ..... 7
D.1. Mécanique classique ..... 7
D.2. Optique géométrique ..... 7
D.3. Caractérisation de l'analogie ..... 8
D.4. Application n° 1 ..... 9
D.5. Application n°2 : lentille de Lüneberg ..... 11
E. Analogie mécanique quantique - électromagnétisme ..... 12
E.1. Mécanique quantique et barrière de potentiel ..... 12
E.2. Électromagnétisme et réflexion totale ..... 14
Résumé
Les analogies en Physique sont utiles à plusieurs titres. Par exemple, elles permettent d'établir des correspondances entre des phénomènes en apparence différents. D'un point de vue pédagogique, elles permettent d'aborder un phénomène nouveau en s'appuyant sur un phénomène qui aura déjà été étudié auparavant. C'est aussi une source très efficace d'inspiration pour les
chercheurs. Leurs origines reposent bien souvent sur une similitude du formalisme utilisé : mêmes équations mais des dictionnaires différents pour l'interprétation des termes.
Ce sujet se propose d'étudier un certain nombre d'analogies rencontrées en Physique qui relient différents domaines.
Toutes les parties sont indépendantes.
A. Analogie électrocinétique - mécanique classique
A.1. Électrocinétique
On considère un circuit formé par un conducteur ohmique de résistance R, un condensateur de capacité C, une bobine de coefficient d'inductance L et un interrupteur ouvert K montés en série. Le condensateur est initialement chargé (son armature chargée positivement porte une charge notée Q_o ) et aucun courant ne circule dans les différents dipôles. À un instant pris comme origine des dates, on ferme l'interrupteur K.
1Faire un schéma du montage pour t > 0 en précisant en particulier sur le dessin les tensions u_R(t), u_C(t) et u_L(t), l'intensité i(t) et la charge q(t) étudiées.
On cherche à déterminer l'évolution de la charge q(t) et de l'intensité i(t) du courant dans le circuit pour t > 0.
2Quel lien existe-t-il entre la charge q(t) et l'intensité i(t) ? En déduire une expression de u_R(t), u_C(t) et u_L(t) en terme de q(t) ou de ses dérivées.
3Établir l'équation différentielle donnant l'évolution de la charge q(t). Montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme canonique suivante : (d^2 q(t))/(dt^2) + (ω_o)/Q(dq(t))/(dt) + ω_o^2 q(t) = 0
Exprimer les paramètres ω_o et Q en fonction des caractéristiques du circuit. Nommer et donner les unités ainsi que la signification physique de ces paramètres.
On se place désormais dans la situation où le circuit évolue en régime pseudopériodique.
4Quelle condition cela impose-t-il sur le paramètre Q ? En prenant en compte les conditions initiales du circuit, déterminer la loi donnant l'évolution de q(t). Justifier alors le qualificatif « pseudopériodique ».
5Exprimer la pseudopériode T en fonction de ω_o et de Q.
6On définit le décrément logarithmique δ par la relation δ = ln(q(t))/(q(t + T))
Exprimer ce décrément logarithmique δ en fonction de Q.
7Quels sont les autres types de régime possibles d'évolution du système?
A.2. Mécanique classique
On considère maintenant un point matériel M de masse m = 250 g qui se déplace horizontalement selon une direction (Ox), où l'origine O est choisie de telle sorte qu'elle coïncide avec la position d'équilibre du point M. Ce point matériel est soumis à la force de rappel d'un ressort idéal de constante de raideur k et de longueur à vide ℓ_o, ainsi qu'à une force de frottement fluide f⃗ = − λx˙e⃗_x où λ désigne le coefficient de frottement et e⃗_x un vecteur unitaire dirigeant l'axe (Ox). Il n'y a pas de frottements secs. L'étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Figure 1 - Portrait de phase du mouvement de la masse M.
8Faire un schéma de cette situation, puis établir l'équation différentielle vérifiée par la position x(t) du point matériel et la mettre sous une forme similaire à la relation (1).
9Par comparaison avec le circuit RLC série précédent, déterminer les grandeurs mécaniques analogues à la charge q(t), l'intensité i(t), la résistance R, l'inductance L et la capacité C.
10Quels sont les analogues électriques des énergies cinétique et potentielle élastique du ressort?
La figure 1 représente le portrait de phase d'un mouvement possible de M.
11Déterminer graphiquement la position initiale x_o et la position finale x_f du mobile, la pseudopériode T du mouvement ainsi que son décrément logarithmique δ.
12En déduire les coefficients Q et ω_o.
13Déterminer les valeurs numériques des éléments mécaniques analogues à R, L et C.
B. Analogie conduction thermique - électrocinétique
B.1. Caractérisation de l'analogie
Un milieu matériel, soumis à une différence de température, est le siège d'un phénomène de conduction thermique. On notera ȷ⃗_(th) le vecteur densité volumique de courant thermique et λ la conductivité thermique du matériau.
14Rappeler la relation (loi de Fourier) qui relie le vecteur densité volumique de courant thermique à la température qui règne dans le milieu. Préciser les unités de ȷ⃗_(th) et de λ. Quelles sont les conditions d'application de cette loi?
15Définir le flux Φ_(th) de ȷ⃗_(th) à travers une surface S du matériau. Quelle est son unité? Que représente-t-il physiquement?
Sous l'action d'une différence de potentiel, les électrons d'un milieu conducteur ohmique (homogène, linéaire et isotrope) sont mis en mouvement. On notera ȷ⃗ le vecteur densité volumique de courant électrique correspondant et σ la conductivité électrique.
16Rappeler la loi d'Ohm locale pour ce conducteur ohmique. L'exprimer en terme du potentiel scalaire électrique V et préciser les unités des différentes grandeurs qui interviennent.
17Définir l'intensité I du courant à partir de la charge q, puis à partir du vecteur densité volumique de courant électrique ȷ⃗.
Nous pouvons maintenant construire l'analogie.
18Déduire des questions précédentes les grandeurs thermiques analogues au potentiel V et à l'intensité I (on précisera leurs unités).
19Définir la résistance thermique R_(th) d'un matériau en terme des grandeurs thermiques introduites dans les questions précédentes et déterminer son unité.
20On suppose que le matériau, qui subit le phénomène de conduction thermique, évolue à volume constant. Déterminer les analogues thermiques, ainsi que leurs unités, de la charge électrique q et de la capacité C d'un condensateur.
21Quelle justification du modèle « volume constant » pourrait-on donner à des élèves?
B.2. Problème
On modélise la pièce d'une habitation régulée en température par une enceinte de capacité thermique à volume constant C_(th) et dont les parois ont une résistance thermique R_(th). La régulation est assurée par un radiateur fournissant une puissance thermique P_(th). On suppose que la température à l'intérieur de l'enceinte est uniforme et vaut T(t) à l'instant t.
Initialement à une température T_o, l'air contenu dans l'enceinte est chauffé par le radiateur jusqu'à une température T_1. À ce moment-là, un thermostat coupe le chauffage et la température de l'enceinte redescend jusqu'à une température T_2 qui redéclenche la mise en route du chauffage...et le cycle recommence.
Nous supposerons l'évolution du système suffisamment lente pour être dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) de telle sorte que la notion de résistance thermique soit applicable (tout comme sont applicables les lois de l'électrocinétique dans l'ARQS).
22En effectuant un bilan énergétique sur les échanges thermiques de l'enceinte entre deux instants t et t + dt, montrer que la température T(t) est solution de l'équation différentielle : (dT)/(dt) + 1/(R_(th)C_(th))T = (T_o)/(R_(th)C_(th)) + (P_(th))/(C_(th))
23Déterminer la durée de chauffage par cycle et l'énergie consommée en moyenne par heure.
Données : T_o = 0^∘C; T_1 = 20^∘C; T_2 = 15^∘C; P_(th) = 1, 5 kW
Résistance thermique des murs : R_(th) = 3 × 10^(− 2) K ⋅ W^(− 1)
Capacité calorifique de la chambre : C_(th) = 2, 5 × 10^5 J ⋅ K^(− 1)
24Quel serait le circuit électrocinétique analogue à ce système? Faire un schéma en précisant également la nature du générateur utilisé, ainsi que l'allure de l'évolution temporelle de la grandeur qu'il délivre.
25
Résolution numérique : on souhaite résoudre numériquement l'équation différentielle précédente et tracer l'évolution temporelle de la température. Pour ce faire, on utilise le programme incomplet PYTHON suivant :
#!/usr/bin/env python3
" " "
DOCUMENTATION :
odeint(f,a,t) résout l'équation différentielle dT/dt = f(T,t) où a
est la condition initiale et t est un tableau contenant les valeurs
du temps utilisées pour la résolution
" " "
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# fonction f qui renvoie dT/dt
def f(T,t):
# fin de la définition de la fonction
T1 =
t = np.linspace(0, )
T = odeint(f,T1,t)
plt.plot(t,T)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('T(t)')
plt.show()
Compléter ce code dans le but de déterminer numériquement l'évolution de T(t) pour la séquence de descente en température de T_1 à T_2.
C. Analogie électrostatique - gravitation classique
C.1. Construction de l'analogie
26 Donner la force électrostatique exercée par une charge q_1 placée en un point M_1 sur une charge q_2 placée en un point M_2 (loi de Coulomb). En déduire l'expression du champ électrostatique E⃗_1(M) créé par la charge q_1 en un point quelconque M de l'espace. Quelle est l'unité de ce champ?
27 Rappeler le théorème de Gauss.
28 À partir d'un raisonnement similaire sur la force gravitationnelle, déduire les grandeurs analogues à la charge électrique, au champ électrostatique et à la permittivité diélectrique du vide ε_o. On notera G⃗(M) l'analogue du champ électrostatique E⃗(M).
C.2. Les sphères de Dyson dans Star Trek
Dans un épisode de Star Trek : The Next Generation, l'équipage se trouve en contact d'une sphère de Dyson. Il s'agit d'une mégasphère creuse gigantesque qui, dans le scénario, entoure une étoile de telle sorte que tout le rayonnement soit capturé afin de permettre l'existence de vie sur la surface intérieure de cette sphère. Dans ce qui suit, nous allons considérer une telle sphère de Dyson (𝒮_D) dont les caractéristiques sont R pour le rayon et M pour la masse répartie de façon homogène sur toute sa surface.
29Écrire le théorème de Gauss dans le cas gravitationnel. En déduire le champ gravitationnel G⃗(M) engendré par cette sphère de Dyson en tout point de l'espace (intérieur et extérieur). Interpréter physiquement le champ gravitationnel extérieur.
30Que peut-on remarquer sur le comportement de G⃗(M) à la traversée de la surface de la sphère?
D. Analogie optique géométrique - mécanique classique
Un aspect des lois de l'optique géométrique est de permettre l'étude des trajectoires des rayons lumineux dans des milieux. Lorsque l'indice optique est constant, ces trajectoires sont simples (lignes droites), cependant elles peuvent être complexes dans des milieux d'indice variable. L'objectif de cette partie est de montrer qu'il est possible de déterminer la trajectoire d'un rayon lumineux dans le cadre de l'optique géométrique en utilisant des lois formellement identiques à celles rencontrées en mécanique classique grâce à plusieurs analogies.
D.1. Mécanique classique
31Définir la notion de référentiel. Qu'appelle-t-on référentiel galiléen?
32Énoncer les trois lois de Newton de la mécanique classique.
33Qu'est-ce que l'énergie cinétique?
34Qu'est-ce que l'énergie potentielle? Donner des exemples.
35Qu'est-ce qu'un système conservatif? Quelle propriété liée à l'énergie mécanique vérifie-t-il?
36Proposer un exemple de système non conservatif.
D.2. Optique géométrique
Le réfractomètre de Pulfrich (voir figure 2) est un dispositif optique qui permet de mesurer l'indice de réfraction n d'un liquide. Il est composé d'un cube de verre, d'indice de réfraction n_0 connu, sur lequel on dépose une goutte (supposée hémisphérique) du liquide d'indice à déterminer. Lorsque de la lumière issue de la goutte liquide pénètre dans le bloc par la face horizontale, l'observation des rayons émergeant du cube (sous certaines conditions à étudier) permet d'accéder à l'indice n cherché.
37Rappeler les lois de Snell-Descartes pour la réflexion et pour la réfraction.
38Définir le phénomène de réflexion totale.
Figure 2 - Schéma optique du réfractomètre de Pulfrich
Note : dans ce qui suit, les angles sont non orientés et compris entre 0 et π/2.
39Exprimer les angles r, puis i, en fonction de r^′.
En déduire qu'un rayon peut sortir du réfractomètre à condition que l'angle d'incidence i soit supérieur à une valeur minimale i_m définie par : sini_m = 1/n√(n_0^2 − 1)
Quelle contrainte est imposée sur l'indice n_0 du cube en verre vis-à-vis de l'indice n pour être certain que le rayon puisse sortir du cube?
40Exprimer l'angle i en fonction de l'angle i^′ et des indices n_0 et n.
En déduire la valeur de i pour laquelle l'angle d'émergence i^′ est minimal.
Montrer qu'alors l'indice n du liquide satisfait la relation suivante où i_m^′ est l'angle d'émergence minimum : n^2 = n_0^2 − sin^2 i_m^′
41La goutte est éclairée avec une lumière diffuse et un angle i_m^′ = 67^∘51^′ est relevé à l'aide d'un goniomètre. Déterminer l'indice n du liquide sachant que le cube est en verre de type flint ( n_0 = 1, 6231 ). Quelle est la nature du liquide?
42La mesure est effectuée à l'aide d'une source de lumière monochromatique de longueur d'onde 589 nm. Est-il possible d'utiliser une source polychromatique? Pourquoi?
D.3. Caractérisation de l'analogie
Modélisation des rayons lumineux
On considère un rayon lumineux issu d'une source de lumière (voir la figure 3). Un point M quelconque de ce rayon lumineux est repéré par une coordonnée τ mesurée le long du rayon en partant de la source. Le paramètre τ correspond à une sorte d'abscisse curviligne pour le point M. Il est contraint
par la relation :
‖(dr⃗)/(dτ)‖ = n(r⃗) avec r⃗ = OM^(→−)
où n(r⃗) désigne l'indice optique du milieu de propagation qui peut dépendre du point considéré.
Figure 3 - Repérage d'un point sur le rayon lumineux
Dans l'approximation fondamentale de l'optique géométrique, on montre que les trajectoires d'un rayon lumineux sont données par les solutions de l'équation différentielle suivante :
(d^2 r⃗)/(dτ^2) = grad^(→−)(n^2)/2
L'analogie
43 Donner l'unité de τ à partir de la définition (2).
44 Comparer la structure de la relation (3) au principe fondamental de la dynamique. En déduire la grandeur optique correspondant aux grandeurs mécaniques suivantes : temps, position, vitesse, masse, force.
D.4. Application n° 1
On étudie ici la trajectoire des rayons lumineux au-dessus d'une route chauffée par la lumière du Soleil par une belle journée d'été.
Figure 4 - Application n° 1 : schéma
Les variations de densité de l'air induites par la chaleur entraînent une variation verticale de l'indice
optique de l'air donnée par la relation :
n(M) = n_o + ay où n_o et a sont des constantes positives
Les conditions « initiales » du rayon lumineux étudié sont définies au point M_h pour lequel τ = 0 :
où A, B et C sont des constantes d'intégration.
À l'aide des conditions initiales, déterminer x(τ) et y(τ) pour le rayon lumineux.
46 En déduire la loi donnant y(x). Donner l'allure de la trajectoire du rayon lumineux. Quel est le phénomène ainsi mis en évidence?
47 Connaissez-vous un analogue mécanique de ce problème?
Formulaire spécifique
cosinus hyperbolique ch(x)
ch(x) = ^(déf.)(e^x + e^(− x))/2
ch(x)_1_()_0/
Courbe représentative de ch(x)
sinus hyperbolique sh(x)
sh(x) = ^(déf.)(e^x − e^(− x))/2
Courbe représentative de sh(x)
D.5. Application n° 2 : lentille de Lüneberg
Une lentille de Lüneberg est une lentille en forme de boule souvent utilisée dans le domaine des radars ou du balisage (aérien et maritime) grâce aux propriétés de focalisation particulières des ondes électromagnétiques qui la traversent.
Nous allons modéliser une lentille de ce type par une boule de rayon r_o usinée de telle sorte que son indice optique varie selon :
n(M) = √(2 − (r^2)/(r_o^2))
où r désigne la distance du point M au centre de la boule.
L'objectif de cette application est de montrer qu'une lentille de Lüneberg fait converger un faisceau de lumière parallèle en un point unique, sans aucune aberration sphérique.
Lentilles de Luneberg sur une balise maritime. (crédit : www.luneberg.fr)
On considère un rayon lumineux parallèle à l'axe (Ox) situé à la distance b de cet axe (voir la figure 5).
Figure 5 - Lentille de Lüneberg
48 On suppose que le rayon entre dans la lentille lorsque τ = 0. Quelles sont les conditions initiales à choisir pour résoudre ce problème?
49La résolution de l'équation (3) conduit à la solution générale suivante : {x(τ) = Acos(τ/(r_o) + α); y(τ) = Bcos(τ/(r_o) + β)
À l'aide des conditions initiales, montrer que les constantes d'intégration A, B, α et β vérifient : B = b; β = 0; r_o = − Asinα avec tanα = 1/(√(1 − (b/r_o)^2))
50En quel point le rayon lumineux croise-t-il l'axe des abscisses ? Que peut-on en déduire sur le devenir d'un faisceau de lumière parallèle à l'axe (Ox) ?
51Déterminer, en coordonnées polaires, la grandeur optique analogue à la force mécanique. Proposer un système mécanique analogue à cette lentille.
E. Analogie mécanique quantique - électromagnétisme
De nombreux phénomènes rencontrés en électromagnétisme (comme les interférences ou la diffraction) se retrouvent en mécanique quantique. Là encore, la similitude provient du formalisme qui fournit des relations identiques dans les deux domaines.
E.1. Mécanique quantique et barrière de potentiel
Une particule de masse m est astreinte à se déplacer selon une direction donnée Ox. Provenant initialement de − ∞, elle est soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle V(x) représentée sur la figure 6.
On se propose d'étudier l'état de cette particule dans la zone n° 2 lorsque son énergie E est inférieure à V_o.
On rappelle également la notation suivante :
h̸ = h/(2π)
Figure 6 - Marche de potentiel
où h désigne la constante de Planck.
Données
De façon générale, la probabilité d𝒫(x, t) pour qu'une particule d'énergie E se trouve à l'instant t dans l'intervalle [x, x + dx] est donnée par :
E = h̸ω et φ(x) est solution de : − (h̸^2)/(2m)(d^2 φ)/(dx^2) + V(x)φ(x) = Eφ(x)
On suppose également que φ(x) et sa dérivée première sont des fonctions continues.
52Pourquoi qualifie-t-on les états décrits par une fonction d'onde du type (4) de stationnaire alors que le temps apparaît explicitement dans ψ(x, t) ?
53Écrire, en utilisant d𝒫(x, t), la contrainte que l'on doit avoir sur la probabilité totale.
On montre que, dans les zones n ^o 1 et n ^o 2, les fonctions d'onde s'écrivent :
54Proposer une interprétation physique pour chacun des termes apparaissant dans les expressions des fonctions d'onde (5).
55Exprimer les coefficients k et σ en fonction de m, E, V_o et h̸. Déterminer les rapports B_1/A_1 et B_2/A_1 en fonction de k et σ.
56Tracer l'allure de |ψ_2(x, t)|^2. Que représente physiquement le coefficient 1/σ ?
On suppose maintenant que la marche de potentiel précédente a une largeur finie e comme indiqué sur la figure 7.
Figure 7 - Marche de largeur finie
On définit le coefficient de transmission T de cette marche finie à partir du coefficient de transmission en amplitude t_(1 → 3) qui connecte la zone n ^o 1 à la zone n° 3 selon :
T = |t_(1 → 3)|^2 où ψ_3(x = e, t) = t_(1 → 3) × ψ_1(x = 0, t)
57Établir une expression générale de T qui ne fasse intervenir que la fonction d'onde ψ_2(x, t) de la zone n ^o 2.
En déduire que : T = e^(− 2σe)
58Que va-t-il se passer si σe≪1 ? Quel nom donne-t-on à ce phénomène? Peut-il se produire dans le monde classique? Citer des dispositifs qui le mettent en jeu.
E.2. Électromagnétisme et réflexion totale
Soient deux milieux d'indices optiques réels constants n_1 et n_2 (avec n_1 > n_2 ) séparés par un dioptre plan (yIz) (voir la figure 8).
Figure 8 - Rayon incident sur dioptre plan.
Un rayon lumineux incident arrive sur le dioptre selon la direction u⃗_i faisant un angle θ_i par rapport à la normale (Ix). L'objectif de cette partie est d'étudier, du point de vue électromagnétique, ce qui se passe dans le milieu où a lieu la réfraction lorsque l'angle d'incidence θ_i est supérieur à l'angle (de réfraction) limite θ_ℓ.
Cadre de l'étude
Le rayon incident est décrit par une onde plane progressive monochromatique homogène polarisée rectilignement qui, en notation complexe, s'écrit (en un point M et à un instant t ) :
E⃗_i(M, t) = E_(oi)exp[i(n_1 k_o u⃗_i ⋅ r⃗ − ωt)]e⃗_z avec ω = k_o c
où r⃗ est le vecteur position qui repère le point M.
Notation : dans ce qui suit, il sera avantageux de projeter tout vecteur A⃗ sur le plan du dioptre et sur une direction perpendiculaire au plan du dioptre selon A_(//)
A⃗ = A⃗_⊥ + A⃗_(//) avec {A⃗_⊥ = A_x e⃗_x projection de A⃗ sur l'axe (Ix); A⃗_(//) = A_y e⃗_y + A_z e⃗_z projection de A⃗ sur le dioptre
A⃗_⊥ est parfois appelée composante perpendiculaire de A⃗, et A⃗_(//)composante parallèle de A⃗.
Lois de Descartes généralisées : la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell permet de justifier une réécriture des lois de Snell-Descartes sous la forme de relations générales. Si u⃗_i, u⃗_r et u⃗_t désignent respectivement le sens de propagation de l'onde incidente, réfléchie et transmise, alors la conservation de la composante parallèle au dioptre de la quantité nu⃗, qui s'écrit :
n_1 u⃗_(i//) = n_1 u⃗_(r//) = n_2 u⃗_(t//)
forme les lois de Descartes généralisées. Il est en effet possible de montrer que la relation (6) redonne les lois de Snell-Descartes sous leur forme habituelle.
Onde évanescente dans le milieu réfracté
On se place dans la situation θ_i > θ_ℓ, où θ_ℓ désigne l'angle de réfraction limite.
Du point de vue de l'électromagnétisme, il existe alors une onde transmise particulière, appelée onde évanescente ^1, dont l'expression en notation complexe s'écrit :
E⃗_t(M, t) = E_(ot)exp[i(n_2 k_o u⃗_t ⋅ r⃗ − ωt)]e⃗_z avec ω = k_o c
et où le caractère inhomogène de l'onde provient du fait que u_t^(→−) est un vecteur complexe unitaire, c'est-à-dire que :
u⃗_t ⋅ u⃗_t = 1 et u⃗_t = u⃗_t^′ + iu⃗_t^(′′) (u⃗_t^′ et u⃗_t^(′′) sont réels)
59 Montrer que :
u⃗_t^′ ⋅ u⃗_t^(′′) = 0 ainsi que u⃗_t^(′2) − u⃗_t^(′′2) = 1
60 En utilisant la relation de Descartes généralisée (6) reliant l'onde incidente et l'onde transmise,
établir que : {u⃗_t^′ = u⃗_(t//) colinéaire à e⃗_y; u⃗_t^(′′) colinéaire à e⃗_x
D'après la question précédente, il est donc possible de poser : u⃗_t^′ = αe⃗_y et u⃗_t^(′′) = βe⃗_x (α, β ∈ ℝ^+)
Les composantes α et β dépendent de l'angle d'incidence θ_i et des indices optiques des milieux.
61 En déduire, en notation complexe, une expression du champ transmis E⃗_t en fonction de E_(ot), ω, t, α, β, x, y, n_2 et k_o. Interpréter physiquement les termes en exponentielle qui apparaissent (on pourra introduire au besoin le coefficient δ tel que n_2 k_o βδ = 1 ).
62 Le programme Moosh est un outil numérique qui permet, entre autre, de simuler la propagation de faisceaux lumineux à travers des empilements de structures homogènes. Dans la figure suivante, l'empilement modélisé est composé de trois couches : dans l'ordre, une couche d'indice n_1, puis une couche d'indice n_2 < n_1 puis de nouveau une couche d'indice n_1. Le dessin présente la simulation d'un faisceau lumineux (plus précisément la propagation du champ électrique) qui arrive sur le premier dioptre plan sous un angle θ_i supérieur à l'angle limite θ_ℓ.
Un champ transmis, et qui se propage, est clairement visible. Proposer une explication et un montage qui permette de visualiser ce phénomène.
Quelle est l'analogie avec le phénomène étudié dans la section précédente sur la mécanique quantique?
Références
[1] Evans J. et Rosenquist M., « F⃗ = ma⃗ optics », American Journal of Physics, Vol.54, Nº 10, Pages 876 à 883, Octobre 1986.
[2] Dettwiller L., «Un effet d'optique géométrique moderne», Bulletin UdPPC, Vol.99, № 871, Pages 177 à 192, Février 2005.
[3] Mallet E. et al, « Moosh : un couteau suisse numérique pour l'optique ondulatoire », Bulletin UdPPC, Vol.111, № 998, Pages 1155 à 1169, Novembre 2017.
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
Une onde évanescente est une onde inhomogène qui se propage dans un milieu d'indice n tel que n^2 soit réel.
