Agrégation chimie externe 2025, épreuve 2Sujet et rapport du jury

AGRÉGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : CHIMIE

COMPOSITION DE PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Autour des matériaux piézoélectriques

I Une application du quartz fondu

Figure 1 - Une sphère « parfaite », réalisée en quartz fondu pour l'expérience Gravity Probe 2, placée dans l'air devant une photographie d'Albert Einstein. La sphère est posée sur un tube en verre. Source : NASA.

• -la raison pour laquelle il est possible d'utiliser un schéma dans un plan en coupe pour représenter la marche d'un rayon de lumière à travers le système optique;
• -la raison pour laquelle le rayon de lumière issu de A et passant par S n'est pas dévié par le système optique.

II Une utilisation domestique de l'effet piézoélectrique

Document 1 - Fonctionnement d'un allume-gaz

Capture d'écran n° 2.

Capture d'écran n° 3.

Capture d'écran n° 4.

• Q6.(★) Sur la figure b du document-réponse, identifier les zones où le butane se trouve à l'état liquide, à l'état de gaz et à l'état d'équilibre liquide-gaz. Nommer la courbe 𝒞 tracée en pointillés. Nommer l'état dans lequel se trouve le butane lorsque sa température est supérieure à 151, 85^∘C.

• Q7.(★) Énoncer les hypothèses du modèle du gaz parfait et citer l'équation d'état des gaz parfaits. Sur la figure b du document-réponse, localiser la portion de l'isotherme à 515 K où le butane est assimilable à un gaz parfait en justifiant votre réponse à l'aide de l'équation d'état.

• Q8.Sur la figure b du document-réponse, positionner le point, noté A, représentant l'état du butane dans le réservoir. En déduire la pression dans le réservoir ainsi que la masse de butane présente dans le réservoir.

• Q9.Sur la figure b du document-réponse, indiquer comment se déplace le point représentant l'état du butane lorsque la température extérieure augmente, au moyen d'une flèche correctement positionnée et orientée. Préciser l'évolution de la composition du mélange liquide-gaz lors de cette augmentation de température.

• Q10.En mettant en œuvre une démarche de type résolution de problème, estimer la valeur de la constante de raideur du ressort utilisé dans l'allume-gaz présenté dans la vidéo.

III Effet piézoélectrique et ultrasons

III. 1 Équation d'onde

III. 2 Propagation en régime libre

Figure 2 - Évolution spatiale du champ de surpression initial p_1(x, 0) à utiliser pour compléter la figure c du document-réponse.

III. 3 Propagation en régime sinusoïdal forcé

Figure 3 - Montage utilisant un émetteur et deux récepteurs permettant de mesurer la célérité du ultrasons dans l'air.

Figure 4 - Le récepteur A est à la graduation 0 mm. L'abscisse du récepteur B est mesurable sur la photo ci-dessus. Les deux tensions visualisées sur les voies 2 et 3 sont en phase.

Figure 5 - Le récepteur A est toujours à la graduation 0 mm. Le récepteur B a été déplacé et sa nouvelle abscisse est mesurable sur la photo ci-dessus. Les deux tensions visualisées sur les voies 2 et 3 sont en phase. Entre la position du récepteur B de la figure 4 et celle-ci, il a été observé dix fois successivement que les courbes des voies 2 et 3 étaient en phase.

• Q22.(★) En déduire une mesure de la célérité c des ultrasons dans l'air ainsi que l'incertitude-type u(c) associée. Conclure quantitativement sur la compatibilité entre cette mesure et la valeur de la célérité obtenue par le modèle du gaz parfait à la question Q18. On utilisera le critère de l'écart normalisé.

import numpy as np
from numpy.random import uniform
from matplotlib import pyplot as plt
入 = 0.77 # m

f = 440 # Hz
u_f = 2 # Hz
N = 10000 # Nombre de tirages aléatoires à réaliser
λ_MC = uniform(λ - np.sqrt(3) * u_λ, λ + np.sqrt(3) * u_λ, N) # Simulation des valeurs de 
f_MC = uniform(f - np.sqrt(3) * u_f, f + np.sqrt(3) * u_f, N) # Simulation des valeurs de f
c_MC = # À compléter
# Analyse statistique des résultats de la simulation de Monte-Carlo
c_avg = np.average(c_MC) # Valeur moyenne de c
c_std = np.std(c_MC, ddof = 1) # Écart-type de c
# Affichage de la simulation
plt.hist(c_MC, bins = 'rice')
plt.xlabel('Nombre de réalisations')
plt.ylabel('c (m/s)')
plt.title('{:3.3f}'.format(c_avg) + 'm/s ; ' + '{:3.3f}'.format(c_std) + 'm/s')
plt.show()

338.736m/s; 13.266m/s

• Q23.(★) Compléter la ligne 14 du listing 1. Décrire la méthode utilisée pour calculer les valeurs de c et de son incertitude-type u(c). Écrire le résultat du mesurage de c.

III. 4 Propagation de salves

Figure 7 - Montage utilisant un microcontrôleur Arduino et un module HC-SR04 et permettant de mesurer la distance entre le module et un obstacle.

#define TRIG 8 // Entrée Trig du HC-SR04 sur la broche D8
#define ECHO 7 // Sortie Echo du HC-SR04 sur la broche D7
// Déclaration des variables
long Duree; // Durée mesurée (en μs)
long Distance; // Distance mesurée (en cm)
// Initialisation
void setup(){
    pinMode(TRIG, OUTPUT); // Broche Trig en mode sortie (pour l'arduino)
    pinMode(ECHO, INPUT); // Broche Echo en mode entrée (pour l'arduino)
    Serial.begin(115200); // Initialisation du port série pour l'utilisation du moniteur série
}
// Boucle principale
void loop(){
    // ***Début de la phase de mesure de distance***
    // Pour commencer la mesure, il faut envoyer un signal logique 1 sur l'entrée Trig du HC-SR04
    // pendant 10
    digitalWrite(TRIG, LOW); // On initialise l'état logique de Trig à 0 pendant 2μs par sécurité
    delayMicroseconds(2);
    digitalWrite(TRIG, HIGH); // On passe l'état logique de Trig à 1 pendant 10μs
    delayMicroseconds(10);
    digitalWrite(TRIG, LOW); // On passe l'état logique de Trig à 0
    Duree = pulseIn(ECHO, HIGH); // On mesure la durée pendant laquelle Echo est à l'état logique 1
    // Par construction, cette durée est la durée nécessaire à l'onde pour se propager de l'émetteur
    // vers l'obstacle puis, après réflexion, de l'obstacle vers le récepteur
    // pulseIn renvoie une durée en μs

    // ***Fin de la phase de mesure de distance***
    // On en déduit la distance à laquelle l'obstacle se situe
    Distance = // À compléter
    // Affichage via le port série de la distance mesurée
    Serial.print("Distance mesuree : ");
    Serial.print(Distance);
    Serial.println(" cm");
    // On procède à une nouvelle mesure après une attente de 1000ms
    delay(1000);
}

Figure 8 - Module HC-SR04.

• Q24.L'expérience se déroule à 27 °C. En utilisant le résultat numérique de la question Q18, compléter la ligne 36 du listing 2 afin d'obtenir une mesure de la distance, exprimée en centimètres, entre l'émetteur et l'obstacle.

• Q25.Préciser la valeur de la tension aux bornes du récepteur à partir de laquelle le module HC-SR04 considère qu'il détecte le début de l'écho de la salve émise. Estimer l'erreur qui découle de ce seuil sur la mesure de durée et en déduire une estimation de l'erreur systématique sur la mesure de distance associée à ce seuil.
• Q26.Proposer une interprétation au fait que l'amplitude de la tension aux bornes de l'émetteur est bien plus élevée que celle de la tension aux bornes du récepteur.

Figure 9 - Évolution temporelle des potentiels des broches « Trig » et « Echo » du module HC-SR04 ainsi que des tensions aux bornes de l'émetteur et du récepteur piézoélectrique. La valeur de la tension aux bornes du récepteur est significativement plus petite que les autres grandeurs mesurées. Afin de pouvoir représenter les quatre grandeurs sur un même graphe, on a utilisé deux échelles différentes pour l'axe des ordonnées : l'échelle de droite se rapporte à la tension aux bornes du récepteur et l'échelle de gauche se rapport aux trois autres grandeurs.

IV Oscillateur à quartz

Figure 10 - Schéma d'un oscillateur à quartz.

Figure 11 - Caractéristique de transfert d'un ALI idéal fonctionnant dans la limite de gain infini.

• -la première, appelée amplitude complexe associée à S, notée S_– et définie par S_– = Se^(jφ_s);
• -la seconde, appelée grandeur sinusoïdale complexe associée à s, notée s(t)_– et définie par s(t)_– = Se^(j(ωt + φ_s)) = S_–e^(jωt).

Figure 12 - Dipôle modélisant le comportement électrocinétique d'un quartz.

• Q34.(★) À l'aide de la figure d, déterminer graphiquement les valeurs numériques de ω_0, |H_0| et Q. On annotera soigneusement la figure et on explicitera la démarche suivie. Commenter la valeur de Q.
• Q35.En partant de l'expression de la fonction de transfert harmonique H_D_–, obtenir une équation différentielle vérifiée par la fonction t ↦ v_D(t) et faisant intervenir u_D, H_0, ω_0 et Q.

• Q36.Expliciter la condition sur K et H_0 pour laquelle il est possible de faire naître des oscillations de v_D lorsque l'ALI A fonctionne en régime linéaire. Justifier l'utilisation d'un potentiomètre dans le montage.

• Q37.(★) À l'aide de la figure e du document-réponse, mesurer la valeur de V_(sat) ainsi que la fréquence des oscillations.
• Q38.Annoter la figure e du document-réponse en mettant en évidence les régimes de fonctionnement de l'ALI A. Discuter alors du terme « oscillation quasi sinusoïdales » utilisé pour qualifier l'évolution temporelle de la tension v_D (on pourra s'appuyer sur les équations différentielles vérifiées par v_D ).

V Relations électro-mécaniques d'un matériau piézoélectrique

V. 1 Étude d'un condensateur plan

Figure 13 - Schématisation, dans un plan en coupe, de la distribution D_(σ_0) constituée par un plan Π_0 uniformément chargé.

• Q42.En exploitant la relation précédente traduisant le caractère polaire du champ électrostatique, montrer que la fonction x_M ↦ E_(D_(σ_0))(x_M) est une fonction impaire de x_M. On pourra s'intéresser à la symétrie de plan Π_0.

Figure 14 - Schématisation, dans un plan en coupe, du condensateur plan constitué par deux armatures planes assimilées aux plans Π_0 et Π_A.

• Q44.(★) Justifier la possibilité d'utiliser le principe de superposition dans le cadre du modèle utilisé. Représenter, au sein d'un même système d'axes, les évolutions de E_0, E_A et E en fonction de x_M.

• Q45.(★) Citer la définition du potentiel électrostatique V. Citer la loi de Kirchhoff qui découle du fait que le champ électrostatique est à circulation conservative. Indiquer comment cette loi est modifiée en régime variable en présence d'un champ magnétique.
• Q46.(★) Exprimer la circulation de E⃗ le long d'un segment C allant du point O au point A, orienté de O vers A. En déduire la différence de potentiel v = V_A − V_O entre le potentiel VA de l'armature Π_A et le potentiel V_0 de l'armature Π_0.
• Q47.(★) Définir la capacité C du condensateur. Établir son expression en fonction de S, L_x et ε_0.

• Q48.(★) Déterminer alors l'expression de l'énergie électrique ε_e stockée dans le condensateur en fonction de C et de v.

Figure 15 - Schéma du circuit mettant en œuvre le condensateur de capacité C.

V. 2 Polarisation d'un milieu piézoélectrique

Figure 16 - Évolution de l'énergie potentielle E_(ion) d'interaction entre deux ions, de charges de signes opposés, en fonction de la distance ℓ qui les sépare.

• Q54.(★) Justifier qu'il est possible de modéliser l'interaction entre deux ions, de charges de signes opposés, par une force de type « force de rappel d'un ressort » lorsque la distance ℓ qui les sépare est voisine de ℓ_0. Préciser les expressions de la longueur à vide du ressort et de sa constante de raideur en fonction de ℓ_0, de E_0 et/ou des dérivées de E_(ion) évaluées en ℓ_0.

Figure 17 - Schéma d'une maille au repos : les barycentres G_+et G_−sont confondus.

Figure 18 - Schéma d'une maille déformée : les barycentres G_+et G_−ne sont plus confondus.

Figure 19 - Échantillon macroscopique de matériau piézoélectrique modélisé par N_x mailles cubiques (au repos) d'arête a.

• -le point G_(⊕ i) est lié à A_(i − 1) par un ressort de raideur k_a et de longueur à vide a/2;
• -le point G_(⊕ i) est lié à A_i par un ressort de raideur k_b et de longueur à vide a/2;
• -le point G_(⊖i) est lié à A_(i − 1) par un ressort de raideur k_b et de longueur à vide a/2;
• -le point G_(⊖i) est lié à A_i par un ressort de raideur k_a et de longueur à vide a/2.

Figure 20 - Modélisation des interactions entre les points G_(⊕ i), G_(⊖i), A_(i − 1) et A_i : maille au repos et abscisses au repos. Afin de rendre la figure lisible, les points G_(⊕ i) et G_(⊖i) ont été décalés verticalement. En réalité, les quatre points G_(⊕ i), G_(⊖i), A_(i − 1) et A_i sont alignés horizontalement.