Agrégation chimie externe 2024, épreuve 2Sujet et rapport du jury

AGRÉGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : CHIMIE

COMPOSITION DE PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

L'acoustique : de la Terre vers Mars

Table des matières

Fig. 1

• 1.Effectuer un bilan des forces qui s'exercent sur la colonne infinitésimale d'épaisseur dz, et établir l'équation différentielle qui relie, à l'équilibre, les pressions P(z), P(z + dz), la masse volumique ρ(z), le champ de pesanteur g_0 et les altitudes z, z + dz.
• 2.En déduire l'équation différentielle reliant P(z), M, g_0, la constante des gaz parfaits R et T_0.

3. Résoudre cette équation différentielle. On note P_0 la pression en z = 0.

• 4.Exprimer cette épaisseur H dans ce modèle puis la calculer. Commenter l'ordre de grandeur trouvé.

• 5.Calculer la pression moyenne P_0 au niveau de référence z = 0 et la comparer à la valeur mesurée de 636 Pa. Conclure. Déduire, dans le cadre du modèle considéré, la valeur ρ_0 de la masse volumique de l'atmosphère de Mars en z = 0.

• 6.À partir de l'expression de la force exercée entre deux particules ponctuelles, expliciter l'analogie entre champs électrostatique et gravitationnel.
• 7.Examiner de façon exhaustive les propriétés de symétrie et d'invariance de cette distribution de masse, et montrer que le champ de gravitation est de nature radiale.
• 8.Énoncer le théorème de Gauss électrostatique puis son analogue gravitationnel qui lie g⃗ à la constante universelle de gravitation G et à la masse M_(int) emprisonnée dans la surface de Gauss.
• 9.Établir l'expression de g⃗ à l'extérieur de Mars en fonction de G, M_M et de la coordonnée radiale r, puis montrer que son module peut se réécrire en fonction de g_0 et d'un rapport de longueurs.
• 10.Montrer que la réécriture de l'équation différentielle obtenue à la question 2 dans la nouvelle situation d'un champ gravitationnel variable conduit à l'expression d/(dr)(lnP) = Ad/(dr)(1/r). Préciser l'expression littérale de A fonction de M, g_0, R_M, R et T_0.
• 11.Montrer que la solution de cette équation différentielle se met sous la forme P(H) = P_0 exp(− (R_M)/(R_M + H)) à la hauteur H précédemment définie. Calculer cette pression en utilisant la valeur de P_0 calculée à la question 5.
• 12.Définir la deuxième vitesse cosmique v_1, dite d 'échappement, puis établir son expression à l'aide de considérations énergétiques.
• 13.Calculer sa valeur pour la Terre, puis pour Mars.

• 14.Montrer que l'équation différentielle qui caractérise l'équilibre hydrostatique peut se mettre sous la forme : d/(dz)(lnP) = Bd/(dz)(ln(T_0 − az)). Exprimer la constante B.

• 15.Résoudre cette équation différentielle et montrer que le profil de pression peut s'écrire P(z) = P_0(1 − B^′ z)^B; expliciter la constante B^′.

• 16.Établir la relation qui donne la vitesse quadratique moyenne de la particule v_(qm) dans un cadre classique en fonction de la constante des gaz parfaits R, de T et de M_i. La calculer au niveau du sol pour le constituant le plus abondant dans le cas terrestre puis dans le cas martien.
• 17.Apprécier ces dernières valeurs à l'aulne d'autres vitesses calculées précédemment et expliciter quelles informations peuvent être déduites concernant les atmosphères de ces deux planètes.

2^(ème) partie : à propos des ondes sonores

Fig. 2

• 18.Définir ce qu'est un fluide et le comparer à la phase solide.
• 19.Définir ce qu'est une onde progressive. Indiquer à quel type appartient celle considérée cidessus (mécanique, électromagnétique, gravitationnelle ...).
• 20.Rappeler la gamme des fréquences audibles par l'oreille humaine et nommer les domaines inaudibles.

• 21.Préciser le caractère longitudinal ou transversal de l'onde considérée.
• 22.Exprimer la masse infinitésimale dm de la tranche de fluide au repos.
• 23.En se référant à la figure 2, exprimer le volume de l'élément de fluide lors du passage de l'onde et en déduire qu'elle peut s'écrire dm = S_f(ρ_0 + ρ_1(x, t))(1 + (∂ζ)/(∂x))dx.
• 24.Écrire l'équation de conservation de la masse.
• 25.En déduire une relation entre ρ_0, ρ_1 et une dérivée première de ζ.

• 26.Écrire la définition de la compressibilité χs qui traduit la variation du volume V du fluide lorsque sa pression P est modifiée à entropie S constante, sachant qu'elle est homogène à l'inverse d'une pression.
• 27.Montrer alors que cette compressibilité peut s'écrire χ_S = 1/(ρ_0)(ρ_1(x, t))/(p_1(x, t)) en la reliant non plus aux volumes avant et après passage de l'onde, mais aux masses volumiques ρ_0 et ρ_1. Discuter du signe de ρ_1.
• 28.Par application de la relation fondamentale de la dynamique à la tranche de fluide, relier ρ_0 aux dérivées temporelles et / ou spatiales de ζ(x, t) et p_1(x, t) et montrer que l'on aboutit à ρ_0(∂^2 ζ(x, t)))/(∂t^2) = − (∂p_1(x, t))/(∂x).
• 29.Montrer qu'une simple opération de dérivation permet d'établir l'équation en p_1(x, t) de propagation d'une onde acoustique; préciser l'expression littérale de sa célérité v en fonction de ρ_0 et de χ_S.
• 30.Expliciter les différences et les similarités entre la célérité et la vitesse.
• 31.Énoncer les lois de Laplace pour une transformation isentropique d'un gaz parfait.
• 32.Dans le cas d'une transformation isentropique pour un gaz parfait, montrer que l'on aboutit à la relation différentielle (dP)/P = γ(dρ)/ρ, avec l'indice adiabatique du fluide γ = (C_p)/(C_v).
• 33.En déduire l'expression de la célérité v de l'onde pour un gaz parfait en fonction de γ, R, de la température T_0 de la tranche supposée uniforme ainsi que de la masse molaire moyenne M du fluide.
• 34.Calculer la célérité v de l'onde dans l'atmosphère terrienne puis martienne.

• 35.Parmi les deux équations locales de l'acoustique, fournies en annexes, indiquer laquelle correspond à la conservation de la masse et laquelle est celle de Navier-Stokes. Justifier. Proposer, pour chacune d'entre elles, une analogie tirée d'autres domaines de la physique (mécanique, électromagnétisme ...).
• 36.Simplifier puis linéariser, en vous arrêtant à l'ordre 1, ces deux équations ainsi que celle démontrée à la question 27 ; on aura préalablement négligé le poids de la particule fluide et introduit la grandeur v^2 de la question 29.
• 37.Montrer que l'équation différentielle de propagation de l'onde acoustique pour la grandeur p_1 peut s'écrire : Δp_1 − 1/(v^2)(∂^2 p_1)/(∂t^2) + τ(∂(Δp_1))/(∂t) = 0. Exprimer la grandeur τ en fonction des quantités μ, ρ_0 et v et donner son unité.
• 38.Indiquer en quoi cette équation différentielle diffère du cas non dissipatif. Indiquer la condition sur μ pour être dans le cas non dissipatif.

• 39.Faire l'analogie en électrocinétique avec un circuit RLC série, en précisant la transposition des différentes grandeurs mises en jeu.
• 40.À l'aide des diverses données fournies dans les annexes, évaluer la valeur de τ pour la Terre τ_(Terre) et pour Mars τ_(Mars.) Conclure.

• 41.Définir la notion de relation de dispersion.
• 42.L'expliciter ici pour les solutions harmoniques p_–_1(x, t) proposées. Commenter sa forme en l'absence de dissipation.

• 43.Résolution de problème. Proposer une explication à cette observation expérimentale concernant Mars.

3^(ème) partie : de la conception d'un microphone à électret à ses usages sur Mars

Fig. 3 extraite de la thèse de doctorat de B. Chide p. 56 (2020)

Fig.4a et 4b

• 44.Rappeler ce que signifie un plan infini mais tout de même doté d'une surface S finie.
• 45.Expliciter précisément les arguments de symétrie et d'invariance pour trouver l'orientation du champ électrique dans la base proposée ainsi que la dépendance de ce champ en fonction des variables spatiales.
• 46.Indiquer, en le justifiant, quelle relation existe entre E⃗(x) et E⃗(− x) pour un point M quelconque de l'axe Ox.
• 47.En utilisant le théorème de Gauss, montrer que le champ électrique E⃗(M) en tout point M(x, y, z) de la région II vaut E⃗(M) = σ/(2ε_0)e⃗_x.

• 48.Déterminer le champ résultant E⃗_(tot)(M) dans les trois domaines d'espace susmentionnés. Tracer l'allure de son module ‖E⃗_(tot)(x)‖ et commenter qualitativement l'existence d'éventuelles discontinuités.
• 49.Calculer le potentiel électrostatique en tout point M de l'espace ; on choisira un potentiel nul en x = 0.

• 50.Donner les définitions des lignes de champ et des équipotentielles, puis les tracer dans le cas du condensateur plan ci-dessus.
• 51.En négligeant les effets de bord, définir la capacité C_d du condensateur plan puis l'exprimer en fonction de la permittivité du vide ε_0, de S et de d.
• 52.En déduire la capacité par unité de surface C_(ds).

• 53.Exprimer Q_(tot) en fonction de σ et S, puis la réexprimer en fonction de la charge Q_d, de la permittivité relative ε_r ainsi que des distances d et h_e.
• 54.En déduire la charge Q_d, la différence de potentiel U_d ainsi que le champ électrostatique permanent E_d qui règne dans la partie évidée, dû à la présence de l'électret, le tout constituant un condensateur à électret.
• 55.Donner les valeurs numériques de ces trois dernières grandeurs relatives au condensateur à électret, et commenter plus particulièrement celle du champ électrostatique.

Fig. 5

• 56.Montrer que 1'on peut réécrire la fonction de transfert T(iω) = (V_(OUT))/(V_(IN)) du dispositif sous la forme : T(iω) = K((iω)/(ω_c))/(1 + (iω)/(ω_c)), avec une constante K et une fréquence ω_c.
• 57.Donner les expressions littérales de K et ω_c en fonction des paramètres du filtre actif et préciser leurs significations physiques. Qualifier, en la justifiant, la nature du filtre passif équivalent.

• 58.Calculer les valeurs numériques de R_(OUT) et de C pour atteindre les spécifications recherchées.
• 59.Donner l'allure du diagramme de Bode du gain, en mettant en évidence les asymptotes à basse et à haute fréquence. On utilisera la variable réduite ω/(ω_c) et on y fera apparaître toutes les valeurs numériques remarquables.

• 60.Reproduire sur votre copie la ligne n^∘11 du code et la compléter pour le rendre compatible avec la problématique des questions 57 et 58 . Préciser l'action de ce code si on l'exécutait.

Fig. 6

• 61.L'onde est supposée sphérique, harmonique et de pulsation ω. Donner en notation complexe le champ de pression p_–_0(M, t) au point M dû à la source centrale uniquement.
• 62.Compte tenu des hypothèses, montrer que le champ de pression p_1_–(M, t) dû à la source située en O_1 s'écrit
  p_–_1(r, t) = A/(r_1)exp(iωt)exp(− ikr_1) ≈ A/rexp(iωt)exp(− ik(r − b/2sin(θ))).
• 63.Exprimer la quantité équivalente p_–_2(M, t) qui correspond à la source située en O_2.
• 64.Exprimer le champ de pression total résultant P_–_θ(r, t) ainsi que la fonction de directivité définie par D(θ) = ((P_–_θ(r, t)))/(P_–_(θ = 0)(r, t))))^2.
• 65.Pour θ ∈ [0, 2π] et dans le cas spécifique où b = λ, indiquer si la fonction de directivité est isotrope.

Fig. 7

• 66.Ecrire la relation intégrale qui lie la durée de propagation Δt à la distance élémentaire parcourue dδ et à la célérité v(z).
• 67.En considérant le profil de température T = T_0 − az et en utilisant la relation donnant la célérité du son dans un gaz parfait obtenue à la question 33, montrer que Δt peut se mettre sous la forme Δt = √(M/(γRT_0))(2DT_0)/(h_(mât)a)(1 − (1 − (h_(mật)a)/(T_0))^β), avec une puissance β à déterminer.
• 68.Après comparaison des quantités h_(mât)a et T_0, montrer que dans le cadre de ce modèle à gradient constant, on peut écrire : a = (4T_0)/(h_(mât))((v_0 Δt)/D − 1), avec v_0 célérité du son au niveau de la surface de Mars, de température T_0.

• 69.Commenter l'adéquation des données préliminaires avec la valeur de a = |∇⃗T| du modèle développé.

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Amplificateur opérationnel ( ALI ) non idéal (gain d'amplification A ) monté en amplificateur inverseur

On peut montrer que la fonction de transfert d'un tel dispositif peut se mettre sous la forme : T(jω) = (V_(OUT)(jω))/(V_(IN)(jω)) = (Z_2)/(− ((Z_1 + Z_2))/A − Z_1). Dans le cas d'un ALI idéal, le paramètre A tend vers l'infini. Gradient de température a = |∇⃗T| (S. Maurice et al ; communication privée) : (a) cadran de gauche ; le premier des 29 tirs laser est déclenché à t = 0, le dernier s'interrompt à 9,333 s et le gradient (en ordonnée) est mesuré pour chaque tir. (b) cadran de droite : les mêmes 29 tirs sont classés par Δt croissant (en abscisse).

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi
def VIN(t):
    return np.cos(2*pi*f * t)
K = -1.4125E3
fc = 250 # (Hz)
def T(f):
    return K * # À COMPLÉTER
def phase(f):
    return np.angle(T(f))
def gain(f):
    return np.abs(T(f))
def VOUT(t, f):
    return gain(f) * np.cos(2*pi*f * t + phase(f))
f = fc / 100
t0 = 0 # (s)
tmax = 1 / f
t = np.linspace(t0, tmax, 100)
plt.plot(t, VOUT(t, f), 'b', label = "VOUT(t) pour f/fc =
0,01")
plt.plot(t, VIN(t), 'r', label = "VIN(t)")
plt.legend()
plt.title("Effet du préamplificateur")
plt.xlabel("Date t (s)")
plt.ylabel("Tensions (V)")
plt.grid(True)
plt.show()