Voir de plus en plus petit : optique de l'oeil, microscope optique, microscope électronique et microscope à effet tunnel
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Cette composition de physique de l'option chimie de l'agrégation retrace plusieurs techniques de microscopie. Elle part de l'optique géométrique de l'oeil humain et de sa limite de résolution par diffraction, étudie le microscope optique à deux lentilles, puis le microscope électronique à balayage avec sa lentille magnétique, et termine par le principe quantique de l'effet tunnel à la base du microscope à effet tunnel.
11. Préliminaires : l'oeil humain et son pouvoir de résolutionModélisation de l'oeil par une lentille mince et étude de la limite de résolution imposée par la diffraction sur la pupille.
22. Microscopie photoniqueÉtude du microscope optique à deux lentilles convergentes, de son grossissement, de sa puissance et de son pouvoir de résolution.
33. Microscope électroniqueAccélération des électrons dans le canon à électrons puis focalisation du faisceau par une lentille magnétique.
44. Microscopie à effet tunnelÉtude quantique de l'effet tunnel à travers une barrière de potentiel et principe du microscope à effet tunnel.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en chimie, session 2026.
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INFORMATION AUX CANDIDATS
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Données
Constantes fondamentales
Charge élémentaire
Masse de l'électron
Constante de Planck
Constante de Planck réduite
Constante de Boltzmann
Nombre d'Avogadro
Constante des gaz parfaits
Permittivité diélectrique du vide
Perméabilité magnétique du vide
Notations :
La notation 1' désigne 1 minute d'angle : 1^′ = 1/60^o = 2, 9 × 10^(− 4)rad. i est le nombre complexe de partie réelle positive tel que i^2 = − 1. sinh(x) et cosh(x) désignent respectivement le sinus et le cosinus hyperboliques de x.
Relation de conjugaison et expression du grandissement pour une lentille mince de centre optique O :
où A est un point objet sur l'axe optique et A^′ est son image par la lentille, f^′ désigne la distance focale de la lentille et γ le grandissement. Les grandeurs OA^– et OA^′^– sont algébriques et comptées positivement dans le sens de propagation de la lumière, qui correspond à l'orientation de l'axe optique sur les schémas de l'énoncé.
Formulaire d'analyse vectorielle en coordonnées cartésiennes :
Ce problème se compose de quatre parties. La partie 1 mobilise les bases de l'optique géométrique et le modèle optique de l'œil humain. La partie 2 aborde les principaux aspects du microscope optique et son pouvoir de résolution. La partie 3 examine le principe du microscope électronique à balayage. La partie 4 propose d'étudier un exemple de microscope à champ proche pour « voir » les atomes.
Ces quatre parties sont très largement indépendantes.
Des questions considérées comme relevant d'un socle fondamental de connaissances et de compétences en physique sont repérées par une étoile.
Le ou la candidat(e) attachera une grande importance à la clarté, à la précision et à la concision des réponses, qui devront être justifiées avec soin.
Si, au cours de l'épreuve, un ou une candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur ou une imprécision dans l'énoncé, il ou elle le signale sur sa copie et poursuit la composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il ou elle est amené(e) à prendre.
La révolution qui consiste, à la fin du XVI ^e siècle, à regarder non plus directement un objet mais son image agrandie « à la loupe » est à l'origine de la microscopie. L'étymologie (du grec mikros, petit, et skopein, examiner) renvoie à l'examen d'objets ou de détails d'objets à peine perceptibles ou invisibles à l'œil nu. La microscopie s'est ensuite progressivement imposée comme une technique d'observation indispensable pour accéder aux propriétés de la matière, inanimée ou vivante.
En introduisant de nouveaux modes d'observation et grâce à une perception de plus en plus fine, jusqu'à l'échelle atomique, la microscopie a ainsi bouleversé notre culture scientifique.
Le mode de production des images, leurs supports physiques, la nature et le traitement de l'information qu'elles contiennent ont conditionné l'évolution de la microscopie.
La production d'images par les microscopes traditionnels suppose ainsi :
-une source et un dispositif d'éclairage de l'objet,
-un système de transmission assurant la fonction d'agrandissement,
-un détecteur traduisant l'image sur un support (œil, plaque photographique, matrice CCD pour des images numérisées).
1 Préliminaires - L'œil humain et son pouvoir de résolution
Dans cette partie, il s'agit de mettre en place le cadre de l'optique géométrique et les bases de l'utilisation du modèle des lentille minces, ainsi que la modélisation de l'œil humain.
Les candidat(e)s sont encouragé(e)s à appuyer leurs réponses sur des schémas, même lorsque l'énoncé ne l'indique pas.
*□ Q1 - Rappeler la définition et le cadre de validité de l'approximation de l'optique géométrique.
Q2 - Citer deux situations expérimentales, l'une pouvant être décrite dans le cadre de l'optique géométrique, et l'autre ne pouvant pas être décrite dans ce cadre.
La relation de conjugaison et l'expression du grandissement rappelées dans le formulaire sont valables dans l'approximation de Gauss.
*□ Q3 - Rappeler en quoi consiste l'approximation de Gauss.
Pour les questions Q4 et Q5, on accompagnera chaque définition d'un schéma.
*□ Q4 - Définir les notions de stigmatisme rigoureux, de stigmatisme approché et d'aplanétisme.
*□ Q5 - Définir la notion de foyer objet et de foyer image d'un système optique.
La figure 1 ci-dessous schématise l'œil humain.
Figure 1 - Schéma de l'œil humain
L'ensemble {cristallin - pupille} est modélisé par une lentille mince convergente (L_c) de distance focale f^′, de rayon d'ouverture maximal R = D/2 = 1, 5 mm.
La distance entre le cristallin et la rétine est d = 17 mm. La fovea, partie centrale de la rétine, est tapissée de cellules photosensibles, avec une densité moyenne N_c = 160 × 10^3 mm^(− 2).
Un œil est dit emmétrope lorsqu'il est sans défaut visuel. L'accommodation par le cristallin a lieu en modifiant son épaisseur, ce qui modifie la distance focale de la lentille (L_c).
Le plan du Punctum Remotum (PR) est le conjugué de la fovea à travers l'œil quand celui-ci n'accommode pas. Le Punctum Remotum est le point le plus éloigné que l'œil puisse voir net sans accommoder. On le considère comme étant à une distance infinie pour un œil emmétrope. Dans cette situation, la distance focale du cristallin est notée f_r^′.
Le Punctum Proximum (PP) est le point le plus proche que l'on peut voir distinctement. Pour un œil emmétrope, il est situé à une distance de d_(pp) = 25 cm. Dans cette situation, où l'œil accommode, la distance focale du cristallin est notée f_p^′.
*□ Q6 - Déterminer l'expression de la distance focale f_p^′ du cristallin lorsque celui-ci accommode sur le Punctum Proximum, en fonction de d et d_(pp). Calculer la valeur de f_p^′.
Dans la suite de cette partie, on considère deux objets ponctuels A_∞ et B_∞ placés à très grande distance de l'œil et séparés d'un angle α (voir figure 2). On prendra α > 0 jusqu'à la question 9 incluse. On prendra λ_0 = 500 nm pour la longueur d'onde moyenne du rayonnement visible.
Figure 2 - Observation par l'œil de deux objets ponctuels à l'infini. L'œil est modélisé par l'association lentille (L_c) + Fovea.
Q7 - Dans cette question, on ne tient pas compte de la diffraction. Déterminer la valeur minimale de l'angle α, notée α_1, permettant de distinguer les deux objets. On exprimera le résultat en fonction de f_r^′ et de N_c. Calculer la valeur de α_1 et l'exprimer en minutes d'angle.
En raison du phénomène de diffraction par la pupille, l'image d'un objet ponctuel est une tache sur la fovea, appelée tache d'Airy (voir figure 3). Lorsque l'objet ponctuel est situé à l'infini sur l'axe optique, la tache d'Airy est centrée sur F^′ et son rayon, noté ε_d, est donné par la relation :
ε_d ≈ (1, 22λ_0 f^′)/D
Figure 3 - Diffraction par la pupille, modélisée par un diaphragme circulaire de diamètre D associé à la lentille (L_c).I représente l'intensité lumineuse en un point de l'écran, I_0 l'intensité lumineuse en F^′.
Le critère de Rayleigh affirme que l'on peut distinguer deux images de deux points objets si les centres des deux taches d'Airy sont distants d'au moins la demi-largeur des taches (cas 2 et 3 de la figure 4).
Figure 4 - Images, dans le plan focal de la lentille, des taches d'Airy de deux points objets A_∞ et B_∞ situés à l'infini, écartés d'un angle α, pour différentes valeurs de α
Dans le cas 1, on ne peut pas distinguer les deux images A^′ et B^′. Le cas 2 correspond au cas limite où l'on peut distinguer les deux images. Dans le cas 3, on distingue nettement deux images (figure 5).
□ Q8 - Déterminer, en appliquant le critère de Rayleigh, la valeur minimale α_2 de α pour laquelle on peut distinguer les deux points A_∞ et B_∞. On exprimera α_2 en fonction de λ_0 et de D. Calculer la valeur de α_2 et l'exprimer en minutes d'angle. Comparer α_2 à α_1 et commenter.
□ Q9 - En déduire une estimation de la taille a_(min) du plus petit objet observable à l'œil nu emmétrope, compte-tenu de la diffraction. Effectuer l'application numérique. Donner un exemple d'objet de taille de l'ordre de a_(min).
Figure 5 - Illustration du critère de Rayleigh dans le cas 3
2 Microscopie photonique
Le microscope est modélisé figure 6 par un système de deux lentilles minces convergentes :
l'une constituant l'objectif, lentille (L_1) de centre O_1 et de distance focale image f_1^′,
l'autre constituant l'oculaire, lentille (L_2) de centre O_2 et de distance focale image f_2^′.
On note O_1 O_2^– = d_0 > 0.
Figure 6 - Modélisation du microscope optique par deux lentilles convergentes (L_1) et (L_2)
Dans cette partie, les angles sont désormais orientés selon le sens conventionnel indiqué sur la figure 6. On choisit le sens positif de l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière.
Un microscope optique porte sur son objectif l'indication x40 et sur l'oculaire l'indication x10.
La notice constructeur indique une ouverture numérique de l'objectif w_0 = 0, 65 et un intervalle optique Δ = 160 mm. La signification de ces indications sera précisée dans la suite de l'énoncé.
On note F_1^′ le foyer image de (L_1) et F_2 le foyer objet de (L_2). On définit l'intervalle optique par la grandeur algébrique Δ = F_1^′ F_2^–.
□ Q10 - Exprimer Δ en fonction de f_1^′, f_2^′ et d_0.
Un objet réel AB perpendiculaire à l'axe optique est éclairé et placé à une distance h = |O_1 A^–| de ( L_1 ), à sa gauche, de façon à ce que l'observation, par un œil emmétrope placé au contact de l'oculaire, se fasse sans accommodation (voir figure 6).
□ Q11 - Exprimer h en fonction de f_1^′ et Δ.
□ Q12 - L'indication (x 40) portée sur l'objectif est son grandissement (en valeur absolue) |γ_1|. Exprimer le grandissement γ_1 de l'objectif seul en fonction de f_1^′ et Δ. En déduire la valeur numérique de f_1^′.
*□ Q13 - Compléter le schéma, annexé en fin d'énoncé, en traçant soigneusement la marche de deux rayons lumineux issus du point B de l'objet AB, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autre passant par O_1. On fera apparaître l'angle α^′ sous lequel est vue l'image à la sortie du microscope, ainsi que l'image A_1 B_1 de l'objet AB à travers l'objectif. Ce document complété est à rendre avec la copie.
On considère l'oculaire seul. L'indication portée sur l'oculaire (x10) est son grossissement G_2, c'est-à-dire le quotient de l'angle sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet à travers l'oculaire seul par l'angle sous lequel on voit ce même objet à l'œil nu lorsqu'il est situé à la distance minimale de vision distincte d_(pp).
□ Q14 - En vous appuyant sur le schéma de la question 13, exprimer G_2 dans le cadre de l'approximation de Gauss, en fonction de f_2^′ et d_(pp). En déduire la valeur numérique de f_2^′.
Le grossissement commercial du microscope est défini par G = (α^′)/(α_0), où α_0 est l'angle sous lequel on voit l'objet AB à l'œil nu : tan(α_0) = (AB^–)/(d_(pp)).
□ Q15 - Exprimer G dans le cadre de l'approximation de Gauss, en fonction de Δ, d_(pp), f_1^′ et f_2^′, puis en fonction de |γ_1| et G_2. Calculer la valeur de G.
□ Q16 - En choisissant une taille d'objet observé usuellement au microscope optique, évaluer un ordre de grandeur des angles α_0 et α^′. Au regard de ces valeurs, indiquer s'il est justifié de se placer dans l'approximation de Gauss.
La puissance d'un microscope est définie par le rapport entre l'angle sous lequel on voit l'image finale et la taille de l'objet : P = (|α^′|)/(AB). C'est une grandeur positive.
Q17 - Donner l'unité de P. Exprimer P en fonction de |γ_1|, G_2 et d_(pp) puis calculer sa valeur attendue pour le microscope étudié ici.
Afin de mesurer la valeur de P, on met en œuvre le protocole suivant. L'objet AB est constitué d'une lame de verre sur laquelle est gravé un micromètre au 1/(100^e)mm. Il est observé au microscope, qui en donne une image grossie. On observe cette même image à travers une lunette afocale placée au-dessus du microscope (voir figure 7(a)). La lunette a été préalablement étalonnée de telle sorte que la taille angulaire de l'une de ses graduations élémentaires représente un angle θ_e = 0, 0482^∘ ± 0, 0005^∘.
□ Q18 - En utilisant la figure 7(b), déterminer la valeur de la puissance P du microscope ainsi que l'incertitude sur la mesure. La comparer quantitativement à la valeur attendue, obtenue à la question précédente. Cette question n'est pas guidée et nécessite de prendre des initiatives. On fera apparaître clairement les étapes du raisonnement.
Figure 7 - (a) Montage associant le microscope à une lunette afocale pour la mesure de la puissance P. (b) Image obtenue en sortie de la lunette. Les plus petites graduations, appelées graduations élémentaires dans l'énoncé, correspondent à celles de la lunette afocale. Les graduations de taille intermédiaire ne sont pas à prendre en compte. Source : www.optique-ingenieur.org
On s'intéresse maintenant au pouvoir de résolution latéral du microscope optique, c'est-à-dire sa capacité à séparer deux objets ponctuels situés dans un plan perpendiculaire à l'axe optique. Ce pouvoir de résolution, comme pour l'œil, est limité par la diffraction par l'objectif, d'ouverture numérique w_0.
En utilisant le critère de Rayleigh, on montre que deux objets ponctuels sont discernables par le microscope s'ils sont séparés d'une distance supérieure à :
a_(min)^′ = (0, 61λ_0)/(w_0)
□ Q19 - Calculer a_(min)^′ pour le microscope étudié ici. Indiquer si ce microscope photonique permet de voir des détails de globules rouges.
□ Q20 - Proposer un moyen d'améliorer le pouvoir de résolution.
3 Microscope électronique
Dans un microscope électronique à balayage (MEB), on remplace les photons par des électrons.
Figure 8 - Schéma du microscope électronique à balayage (Source Encyclopaedia Universalis)
Le principe de fonctionnement d'un microscope électronique à balayage est similaire à celui d'un microscope optique. Il est constitué de trois parties principales : un « canon à électrons », des lentilles électromagnétiques entre lesquelles est placé l'échantillon, et la chambre d'observation (voir figure 8). Le canon
produit et accélère les électrons (dits électrons primaires), les lentilles convergentes (condenseurs) focalisent le faisceau d'électrons, l'amenant vers l'échantillon dans des conditions déterminées. Ces électrons sont les vecteurs d'information sur l'objet étudié, tout comme les photons le sont dans le cas du microscope optique. Le détecteur permet ensuite de reconstituer l'image de l'échantillon en analysant les propriétés des électrons (dits secondaires) émis lors de l'interaction entre l'objet et les électrons primaires. Le tout est plongé dans un vide poussé (pression inférieure à 10^(− 3) Pa ).
Dans cette partie, on étudie certains aspects de ce microscope : la méthode d'accélération des électrons primaires dans le canon à électrons, puis les propriétés du faisceau d'électrons avec l'étude du principe de lentille magnétique. On laissera de côté l'étude des interactions entre les électrons primaires et l'échantillon, ainsi que les techniques d'obtention d'images contrastées.
3.1 Génération du faisceau d'électrons et pouvoir de résolution
Q21 - Rappeler la relation de Louis de Broglie reliant la longueur d'onde λ_(dB) de l'onde de matière associée à une particule de quantité de mouvement p⃗, de norme p.
On modélise la partie « canon à électrons » par un système de deux plaques métalliques planes, parallèles, de dimensions très grandes devant leur distance mutuelle. La cathode est portée à un potentiel nul et l'anode à un potentiel V_a. La cathode émet des électrons par effet thermoïonique : les électrons de conduction quittent la surface du métal chauffée, lorsque l'agitation thermique est suffisante pour les en arracher.
*□ Q22 - Exprimer la force de Lorentz F⃗_L exercée sur une charge ponctuelle q, de vitesse v⃗ dans le référentiel d'étude, placée dans un champ électromagnétique (E⃗, B⃗).
Q23 - Définir le potentiel scalaire V de l'électrostatique. En déduire l'expression de l'énergie potentielle électrostatique E_(pe) d'une charge ponctuelle q plongée dans un champ électrostatique E⃗.
Indiquer, en le justifiant, le signe de V_a pour que la vitesse des électrons augmente. On pourra accompagner le raisonnement d'un schéma.
□ Q24 - En faisant l'hypothèse que les électrons primaires ne sont pas relativistes, exprimer la norme v_f de la vitesse acquise par les électrons lorsqu'ils atteignent l'anode, en supposant qu'ils sont émis par la cathode à vitesse négligeable devant v_f. On exprimera v_f en fonction de V_a et des constantes fondamentales.
□ Q25 - Calculer la vitesse des électrons pour les cas |V_a| = 10kV (cas 1) et |V_a| = 10^3 kV (cas 2). Commenter la validité de l'hypothèse faite à la question précédente.
□ Q26 - On prend |V_a| = 10kV. Calculer la valeur de λ_(dB). En admettant que l'on puisse utiliser la même expression que celle vue pour le microscope photonique (relation (1) avec w_0 = 0, 65 ), au moins en ordre de grandeur, calculer la distance minimale entre deux objets ponctuels distinguables par un MEB. Indiquer si l'étude de la matière à l'échelle atomique est possible avec un MEB dans cette hypothèse.
En réalité, le calcul du pouvoir de résolution ne peut pas être fait à partir de la relation (1).
3.2 Lentille magnétique
Dans cette partie, on étudie d'abord le principe de la déflexion par champ magnétique, avant de voir comment cette déflexion est utilisée pour élaborer une lentille magnétique.
3.2.1 Déflexion magnétique
Le rôle d'un déflecteur magnétique est de dévier le faisceau d'électrons provenant du générateur d'électrons primaires (voir figure 8).
*□ Q27 - Donner l'ordre de grandeur du champ magnétique terrestre et indiquer son origine physique.
*□ Q28 - Montrer que la vitesse d'un électron dans la zone du déflecteur magnétique garde une norme constante.
On suppose qu'un électron de masse m_e, de vitesse v⃗_0 arrive dans une zone où règne un champ magnétique uniforme B⃗ = Bu⃗_z (voir figure 9). Le vecteur vitesse initiale de l'électron est situé dans le plan (yOz) et v⃗_0 fait un angle β avec B⃗ (on prendra β ∈ [0; π/2] ). On représente l'électron par un point matériel M de coordonnées cartésiennes (x, y, z), de vitesse (v_x, v_y, v_z) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Figure 9 - Conditions initiales de l'électron
*□ Q29 - Écrire les équations du mouvement de l'électron en coordonnées cartésiennes, sous forme de trois équations différentielles d'ordre 1 portant sur v_x(t), v_y(t) et v_z(t). Indiquer la condition sur β pour que la trajectoire soit rectiligne.
*□ Q30 - On pose ω_c = (eB)/(m_e). Montrer que ω_c est homogène à une pulsation. Indiquer le nom donné à cette pulsation.
Q31 - Résoudre l'équation différentielle en v_z(t), puis donner l'expression de z(t), en supposant que l'électron entre dans la zone de champ magnétique au point O origine des coordonnées.
Pour résoudre les équations du mouvement selon les axes (Ox) et (Oy), on pose Z = v_x + iv_y.
Q32 - Montrer que Z obéit à l'équation différentielle :
(dZ(t))/(dt) = iω_c Z(t)
Expliciter complètement v_x(t) et v_y(t), en utilisant ω_c.
*□ Q33 - En déduire les expressions de x(t) et y(t), coordonnées de l'électron à un instant t pour un angle β quelconque.
Q34 - Dans le cas où β = π/2, décrire la trajectoire de l'électron et la tracer sur un schéma, en faisant clairement apparaître les vecteurs v_0^(→−), B⃗ et le sens de parcours de l'électron sur sa trajectoire. On exprimera en particulier le rayon de la trajectoire r_C de l'électron en fonction de m_e, e, B et v_0.
3.2.2 Lentille magnétique
Une lentille magnétique sert à assurer la focalisation du faisceau d'électrons primaires dans le microscope (voir figure 8). Le champ magnétique est créé par un bobinage de N spires circulaires, parcouru par un courant stationnaire d'intensité I (voir figure 10(a)). On modélise ce bobinage par une seule spire circulaire de rayon a = (R_1 + R_2)/2, parcourue par un courant d'intensité NI. La figure 10(b) représente l'allure des lignes de champ magnétique.
Figure 10 - (a) Bobinage des N spires - (b) Modélisation par une spire unique et allure des lignes de champ
La position de l'électron est repérée par le point M de coordonnées cylindriques ( r, θ, z ), l'axe Oz étant l'axe de symétrie de la bobine centrée en O.
*□ Q35 - Montrer que la norme B(M) du champ magnétique en M ne dépend pas de la coordonnée θ du point M.
*□ Q36 - Montrer que le champ magnétique en M n'a pas de composante orthoradiale (B_θ = 0) et s'écrit donc :
B⃗(M) = B_r(r, z)u⃗_r + B_z(r, z)u⃗_z
Q37 - Montrer que, pour un point P situé sur l'axe Oz, B⃗(P) est de la forme B⃗(P) = B_a(z)u⃗_z.
Les électrons parviennent dans le champ magnétique de la bobine en formant un faisceau quasi-parallèle à l'axe Oz, de faible étendue radiale (diamètre du faisceau petit devant le rayon a de la bobine).
Figure 11 - Modélisation de la zone d'espace contenant la trajectoire de l'électron
□ Q38 - Décrire, sans calcul, la trajectoire d'un électron de vitesse initiale v⃗_0 rigoureusement parallèle à Oz, et arrivant en A tel que z_A < − ℓ.
Pour simplifier, dans la question suivante, on suppose que la largeur de la zone d'influence du bobinage est de l'ordre de l'épaisseur de celui-ci : les électrons ne subissent le champ magnétique que lorsque z ∈ [ − ℓ; ℓ] (voir figure 11).
Un électron part du point A sur l'axe Oz, avec une vitesse v⃗_0 faisant un angle β faible avec Oz et se dirige vers la bobine. On appelle A^′ le point d'intersection avec l'axe Oz de la trajectoire de l'électron à la sortie de la bobine. On appelle H (respectivement H^′ ) les points d'entrée (respectivement de sortie) de l'électron de la zone de champ magnétique.
*□ Q39 - Indiquer à quoi correspondraient, en optique géométrique, les hypothèses de faible étendue radiale du faisceau et d'angle β faible.
On donne l'expression du champ magnétique créé par une spire circulaire de centre O, d'axe (Oz), de rayon a, parcourue par un courant d'intensité NI, en un point P d'abscisse z, situé sur l'axe Oz :
B_a(z) = (B_0)/((1 + (z^2)/(a^2))^(3/2)) où B_0 = (μ_0 NI)/(2a) et z = OP^–
□ Q40 - Tracer l'allure de la courbe B_a(z) pour z ∈ ℝ. Déterminer, en fonction de a, la distance à O pour laquelle le champ B_a vaut la moitié de sa valeur maximale B_0. Cette distance sera celle choisie pour définir ℓ dans la modélisation à une seule spire.
□ Q41 - On prend I = 4, 0 A, a = 4, 0 cm et N = 600 spires. Calculer B_0 et le comparer au champ magnétique terrestre. Conclure.
□ Q42 - Montrer que le poids de l'électron est négligeable dans ces conditions. On prendra v_0 = 6 × 10^7 m ⋅ s^(− 1).
Dans les questions suivantes, on cherche l'équation du mouvement d'un électron, sous la forme d'une relation entre ses coordonnées r et z, lorsqu'il traverse la zone de champ magnétique B_a(z) créé par la bobine. Il part
de A avec la vitesse v⃗_0 faisant un angle β non nul avec Oz et se dirige vers la bobine. On adopte les hypothèses suivantes :
-hypothèse (H1) : l'électron n'est pas relativiste ;
-hypothèse (H2) : l'angle β est faible ;
-hypothèse (H3) : la vitesse initiale v⃗_0 appartient au plan méridien θ = 0;
-hypothèse (H4) : la trajectoire de l'électron reste dans un domaine r≪a;
-hypothèse (H5) : on néglige l'effet de la pesanteur et du champ magnétique terrestre.
Le principe fondamental de la dynamique donne les équations du mouvement de l'électron. Une intégration partielle de ces équations conduit, compte-tenu des hypothèses (H1) à (H5), à l'équation différentielle suivante :
(d^2 r)/(dz^2) = − (e^2)/(4m_e^2 v_0^2)rB_a^2(z)
Le script Python ci-après permet de résoudre l'équation différentielle (4) et de tracer l'allure de la trajectoire r(z) entre les points H et H^′ pour plusieurs valeurs de β. Le tracé de ces trajectoires est donné ci-dessous, figure 12.
Figure 12 - Trajectoires de l'électron dans la zone de champ magnétique, pour différentes valeurs β allant de 1^o à 5^o
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
" " "
DOCUMENTATION :
odeint(f,YO,z) résout l'équation différentielle dY/dz=f(Y,z) où YO est la condition
initiale et z un tableau contenant les valeurs de la variable z choisies pour la ré
solution.
" " "
# valeurs des coefficients de l'équation différentielle en unités SI
e = 1.6e-19
m = 9.1e-31
v0 = 6e7
a = 4e -2
mu0 = 4*np.pi*1e-7
N = 600
I = 4
B0 = ....... # ligne à compléter
A = (B0*e/(2*m*v0))**2*a
# conditions initiales de la trajectoire
# angle maximal entre la vitesse initiale et l'axe Oz
beta = ....... # ligne à compléter
# valeur initiale de z (point H : zH = - zO)
z0 = 0.8*a
z = np.linspace(-z0,z0,1000)
# Résolution de l'équation différentielle (10) en r(z), pour diverses valeurs de beta
def f(Y,z):
[r,rprime]=Y
return([rprime,.............]) # ligne à compléter
for i in range(5):
rprime0i = np.tan(beta/(i+1))
YOi=[0,rprime0i]
Sol_i=odeint(f,Y0i,z)
# Tracé de la trajectoire en coordonnées réduites r/a en fonction z/a
plt.figure(0)
plt.plot(z/a,Sol_i[:,0]/a)
plt.ylabel(u’$r/a$’, fontsize=10, rotation=90)
plt.xlabel(u'$z/a$', fontsize=10)
plt.show()
□ Q43 - Recopier et compléter les lignes 19 et 35 du script.
□ Q44 - Recopier et compléter également la ligne 25, pour que la plus grande valeur de β (correspondant au tracé de la courbe la plus haute sur la figure 12) soit de 5 °.
□ Q45 - Vérifier que cette résolution numérique satisfait aux conditions des hypothèses (H2) et (H4).
Compte-tenu des résultats précédents et de l'allure des trajectoires observées, le dispositif magnétique décrit ici joue, vis-à-vis des électrons, le même rôle qu'une lentille mince (d'épaisseur 2ℓ ) vis-à-vis de rayons lumineux, dans l'approximation de Gauss (voir figure 13). On note r_0 la valeur de r aux points H et H^′.
Par des considérations géométriques, on montre que :
Figure 13 - Analogie entre la lentille magnétique et une lentille mince optique
□ Q46 - Représenter la situation sur un schéma en faisant apparaitre la trajectoire de l'électron dans cette modélisation, depuis le point A jusqu'au point A^′, en faisant clairement apparaitre la zone z ∈ [ − ℓ; ℓ]. Déduire de l'équation (4) que OA^– et OA^′^– sont reliées par une relation analogue à la relation de conjugaison d'une lentille mince dont on exprimera la distance focale image f^′ en fonction de e, m_e, v_0 et de l'intégrale :
Γ = ∫_(− ℓ)^ℓ B_a^2(z)dz
On ne demande pas de calculer Γ.
On désire focaliser davantage le faisceau, c'est-à-dire rapprocher l'image A^′ de l'objet A.
□ Q47 - Pour une tension accélératrice U donnée, indiquer sur quel(s) paramètre(s) on peut agir pour que A^′ se rapproche de A.
Une valeur approchée de Γ permet d'obtenir l'expression suivante de f^′ :
f^′ = (32)/(3πa)((m_e v_0)/(eB_0))^2
□ Q48 - Calculer la valeur de f^′ et commenter.
On prendra a = 4, 0 cm, B_0 = 40mT et v_0 = 6, 0 × 10^7 m ⋅ s^(− 1).
4 Microscopie à effet tunnel : « voir » les atomes ?
Dans les microscopies traditionnelles décrites dans les parties précédentes, les distances séparant l'objet et le détecteur sont grandes par rapport à la longueur d'onde du rayonnement : on est en régime de propagation ou de champ lointain. Beaucoup plus récente, la microscopie de champ proche s'est rapidement développée à partir des succès du microscope par effet tunnel dans les années 1980. Ici, l'information est saisie à la source même de sa production. La distance objet-détecteur (souvent quelques distances atomiques ou quelques nanomètres) est faible par rapport à la longueur d'onde du rayonnement, ou par rapport à la portée de l'interaction entre détecteur et objet. La propagation n'intervient donc pas, ce qui élimine les problèmes d'optique de transmission et les limitations de performance qu'ils entraînent. L'image possède donc une résolution exceptionnelle fixée par la taille utile du détecteur.
On se propose dans cette dernière partie d'étudier le principe d'un microscope de champ proche particulier, le microscope à effet tunnel. On se reportera au document en fin d'énoncé, qui décrit le principe physique à l'origine de la microscopie par effet tunnel.
4.1 L'effet tunnel
*□ Q49 - Donner une interprétation probabiliste de la fonction d'onde associée à une particule quantique.
On étudie dans toute la suite un électron évoluant dans un potentiel unidimensionnel et indépendant du temps : V(M, t) = V(z).
On rappelle qu'un état stationnaire, pour une particule dans un potentiel V(z) indépendant du temps, est décrit par une fonction d'onde Ψ_S(z, t) de la forme :
Ψ_S(z, t) = φ(z)e^(− iEt/ℏ) où E ∈ ℝ est une constante
*□ Q50 - Donner, en la justifiant, la dimension de E et expliquer la dénomination d'état stationnaire.
Q51 - En utilisant l'équation de Schrödinger rappelée dans le formulaire, établir l'équation différentielle à laquelle satisfait la partie spatiale φ de la fonction d'onde Ψ_S.
Dans notre étude, on modélise le profil du potentiel auquel est soumis un électron du substrat en interaction avec la pointe par un profil constant par morceaux. Le potentiel auquel est soumis l'électron dans le substrat (échantillon) est choisi comme origine des potentiels ( V = 0 pour un électron dans le substrat). L'allure du profil de potentiel est donnée figure 14(b).
Figure 14 - Modélisation de l'interaction pointe-substrat : (a) géométrie simplifiée du dispositif - (b) profil modélisé du potentiel V(z) dans lequel évolue un électron
La région (I) représente l'intérieur du substrat, la région (II) le vide entre l'échantillon et la pointe et la région (III) le métal de la pointe. W_s est le travail d'extraction du substrat. Dans la suite, on prendra W_s = 4, 5eV.
L'électron arraché au substrat possède une énergie E inférieure à W_s et traverse la barrière de potentiel que constitue le vide de la région (II) par effet tunnel.
*□ Q52 - Écrire l'équation différentielle à laquelle satisfait la partie spatiale de la fonction d'onde dans chacune des trois régions et en donner les solutions générales, que l'on notera φ_1, φ_2 et φ_3. On ne cherchera pas à expliciter les différentes constantes qui apparaîtront dans ces solutions. On exprimera ces solutions en fonction des deux paramètres :
*□ Q53 - Indiquer les conditions aux limites imposées à la fonction d'onde φ et à sa dérivée spatiale (dφ)/(dz) en z = 0 et z = b.
*□ Q54 - Commenter la forme de la fonction d'onde dans la région (II), et nommer ce type d'ondes.
*□ Q55 - Indiquer un autre domaine de la physique où l'on rencontre ce type d'ondes (on donnera un
contexte précis). Donner la dimension et la signification physique de la grandeur 1/q.
On admet que pour un électron représenté par un état stationnaire sous forme d'une onde plane progressive harmonique Ψ(z, t) = Ae^(i(kz − E/ℏt)), le vecteur densité de courant de probabilité s'écrit :
J⃗ = |Ψ|^2(ℏk)/(m_e)u⃗_z
*□ Q56 - Donner l'interprétation probabiliste de J⃗ en utilisant une analogie avec un autre domaine de la physique que l'on explicitera.
On définit le coefficient de transmission T à travers la barrière par la relation :
T = (‖J⃗_(trans)‖)/(‖J⃗_(inc)‖) ∈ [0; 1]
où J⃗_(trans) est le vecteur densité de courant de probabilité pour l'onde transmise dans la région (III) et J⃗_(inc) celui pour l'onde incidente dans la région (I).
□ Q57 - Donner une interprétation probabiliste de T. Justifier alors la dénomination d' « effet tunnel ».
La résolution du système d'équations obtenu à partir de la forme des solutions et des conditions aux limites permet d'exprimer T sous la forme :
T = 1/(1 + γsinh^2(qb)) où γ = (W_s^2)/(4E(W_s − E))
□ Q58 - On se place l'approximation de la barrière épaisse. Définir cette approximation et montrer que l'on obtient alors une expression simplifiée du coefficient T :
T ≈ 16E/(W_s)(1 − E/(W_s))e^(− 2qb) avec, pour rappel, q = (√(2m_e(W_s − E)))/ℏ
4.2 Pouvoir de résolution du microscope à effet tunnel
□ Q59 - En prenant un électron d'énergie E telle que W_s − E = 1eV, évaluer la valeur T_1 du coefficient de transmission pour une barrière de largeur b_1 = 0, 5 nm, puis sa valeur T_2 pour b_2 = 0, 6 nm. Commenter.
□ Q60 - En se référant au document en fin d'énoncé, calculer la valeur du paramètre k_0 pour W_s = 4, 5eV et évaluer la résolution verticale Δz_(min) d'un tel microscope à la distance z = 0, 1 nm du substrat, si on admet que la sensibilité sur l'intensité du courant tunnel est de 2 %.
□ Q61 - Un modèle théorique, adapté à un certain nombre de situations, montre que la résolution latérale du microscope à effet tunnel est de l'ordre de Δx_(min) = √((2z^′)/(k_0)) où z^′ est la distance entre la surface de l'échantillon et le centre de l'atome à l'extrémité de la pointe. Évaluer l'ordre de grandeur de la résolution latérale Δx_(min) dans le cas présenté ici.
□ Q62 - Indiquer pour quelle(s) raison(s) on peut conclure que le microscope à effet tunnel permet de « voir » les atomes.
On forme l'image de la surface d'un échantillon de graphite, dont la structure cristalline est donnée figure 15(b). On enregistre l'intensité du courant tunnel le long de la ligne de balayage indiquée par un trait noir sur la figure 15(a). L'enregistrement de ce courant tunnel I_t est restitué figure 16.
Figure 15 - (a) Vue de la surface de l'échantillon au STM - (b) Structure des différentes couches de carbone dans le cristal : en noir ou blanc la couche A et en gris la couche B. Source : Article ENS Paris Saclay N.Witkowski-F.Moulin (énoncé de travaux pratiques)
Figure 16 - Profil du courant tunnel I_t en fonction de l'abscisse x mesurée le long de la ligne de balayage indiquée figure 15(a). Source : Article ENS Paris Saclay N.Witkowski-F.Moulin (énoncé de travaux pratiques)
□ Q63 - En exploitant le graphe de la figure 16, déterminer la distance entre maxima de I_t. Comparer à la valeur de la distance entre atomes de carbone donnée figure 15(b). Sachant que I_t est très sensible à la densité électronique dans le substrat, expliquer l'éventuelle incompatibilité entre les deux valeurs. Cette question n'est pas guidée et nécessite de prendre des initiatives.
En outre, la pointe du STM peut être utilisée pour déplacer des atomes et construire des structures atomiques particulières. Par exemple, les laboratoires d'IBM ont construit un «nano-enclos» circulaire de rayon 7,13 nm, constitué de 48 atomes de fer à la surface d'un nano-échantillon de cuivre (voir figures 17 et 18).
□ Q64 - Indiquer à quoi correspondent les « vaguelettes » concentriques aperçues figure 18. On justifiera la réponse en calculant d'ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie λ_(dB) de l'électron piégé. Cette question n'est pas guidée et nécessite de prendre des initiatives, en particulier sur les valeurs numériques.
Figure 17 - Étapes de la réalisation du « nano-enclos ». Sur la dernière, on repère l'électron piégé dans cet « enclos » de largeur 7,13 nm. Source IBM Almaden www.research.ibm.com et article Pour la Science décembre 2006
Figure 18 - Le « nano-enclos » imagé par le STM. Source IBM Almaden www.research.ibm.com
Document - Microscope à effet tunnel
Le microscope à effet tunnel (« Scanning Tunneling Microscope » ou STM) a été mis au point par deux chercheurs d'IBM, Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, en 1981 (prix Nobel en 1986) et repose sur un phénomène quantique découvert en 1928 : l'effet tunnel.
Si on approche une pointe métallique à une distance suffisamment faible d'un échantillon (appelé substrat) conducteur ou semi-conducteur, et si on applique une différence de potentiel entre cette pointe (anode) et l'échantillon (cathode), un courant électronique d'intensité mesurable peut s'établir entre les deux par effet tunnel (voir figure 19).
Figure 19 - Principe d'imagerie par STM. Source : https//complexe.jimdofree.com
Lorsque la pointe parcourt la surface de l'échantillon, à environ un nanomètre de distance, les électrons attirés par la pointe traversent la séparation par effet tunnel. Le principe du STM réside dans le fait que la valeur du courant tunnel varie fortement avec la distance de séparation. L'intensité de ce courant tunnel peut être aussi faible que quelques pA, et une variation de la séparation de seulement 0,4 nm peut provoquer une variation d'un facteur 10^4 de cette intensité.
On peut démontrer (avec un modèle simplifié) que l'intensité du courant tunnel mesuré varie avec la distance z (quelques angströms) entre pointe et échantillon selon :
I_(tunnel) = C ⋅ U_t(k_0)/ze^(− 2k_0 z) avec k_0 = (√(2m_e W_s))/ℏ
U_t est la différence de potentiel appliquée (valeur typique 100 mV) et W_s est la travail d'extraction d'un électron de masse m_e.
La constante C ne dépend pas de z mais dépend fortement de la densité électronique locale dans le substrat.
En pratique, un mécanisme de rétroaction très sensible régule la position de la pointe pour maintenir un courant électronique stable. Ce mécanisme contrôle le mouvement de la pointe selon trois directions de l'espace
par trois céramiques piézoélectriques (voir figure 20).
Figure 20 - Asservissement et pilotage de la pointe par céramiques piezoélectriques. Source : https//complexe.jimdofree.com
Pour former l'image d'une surface, on utilise un asservissement du courant tunnel. Le mouvement de la pointe perpendiculairement à la surface qui assure une valeur constante de I_(tunnel) permet de reproduire les contours des atomes de l'échantillon, produisant une carte topographique de la surface : on enregistre les variations de z en fonction de la position en x et y de la pointe (voir figure 20). On peut ainsi explorer des zones de largeur en (x, y) de l'ordre de 100 × 100 nm^2.
Les pointes doivent être constituées d'un seul atome à leur extrémité, pour obtenir une résolution latérale maximale.
NE RIEN ECRIRE DANS CE CADRE
Annexe à rendre avec la copie
Schéma à compléter relatif à la question Q13
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 de physique de l'agrégation chimie externe 2026 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 de physique de l'agrégation chimie externe 2026 ?
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Le sujet porte sur l'optique géométrique, la diffraction, le mouvement d'une charge dans un champ magnétique et la mécanique quantique via l'effet tunnel.
Ce sujet de l'option chimie porte-t-il sur de la chimie ?
+
Non, il s'agit d'une composition de physique commune à cette épreuve, centrée sur différentes techniques de microscopie, sans question de chimie.
Les quatre parties sont-elles indépendantes ?
+
Le sujet est composé de quatre parties très largement indépendantes, chacune consacrée à une technique de microscopie différente.
Quelles notions de mécanique quantique sont mobilisées ?
+
L'équation de Schrödinger, la notion d'état stationnaire et le calcul d'un coefficient de transmission à travers une barrière de potentiel par effet tunnel.
