CAPLP physique-chimie externe 2026, épreuve 1Sujet

ÉPREUVE D'ADMISSIBILITÉ 1 ÉPREUVE DISCIPLINAIRE DE MATHÉMATIQUES

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours externe du CAPLP de l'enseignement public :

• -Concours externe du CAFEP/CAPLP de l'enseignement privé :

ÉPREUVE DISCIPLINAIRE DE MATHÉMATIQUES

• la partie 1, sur 10 points, est à traiter par tous les candidats ; elle comporte un vrai-faux avec justification et un exercice d'analyse qui aborde le thème de séries remarquables. Aucune connaissance sur les séries n'est requise pour cette partie.
• la partie 2, sur 10 points, est à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure mathématiques à l'inscription.
  Vous devez débuter la partie 2 de l'épreuve en haut de la page suivante en précisant son titre.
  Aucun point ne sera attribué sur cette partie aux candidats relevant de la discipline majeure physique-chimie. Elle comporte un exercice d'algèbre linéaire abordant la diagonalisabilité d'une matrice carrée et un exercice d'analyse portant sur le recollement de solutions d'une équation différentielle du premier ordre. Les deux exercices sont indépendants.
• la partie 3, sur 10 points, est à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure physique-chimie à l'inscription.
  Vous devez débuter la partie 3 de l'épreuve en haut de la page suivante en précisant son titre.
  Aucun point ne sera attribué sur cette partie aux candidats relevant de la discipline majeure mathématiques. Elle comporte un exercice d'algèbre linéaire appliqué à la détermination de suites définies de manière récurrente et un exercice d'analyse autour du nombre e abordant les fonctions et les suites. Les deux exercices sont indépendants.

PARTIE 1 COMMUNE À TOUS LES CANDIDATS (10 points)

Exercice 1 - VRAI-FAUX

• 1.On a ∫_0^1 x^2 e^x dx = e.
• 2.Un argument de 1 − i√3 est − π/3.
• 3.Toute solution sur R de l'équation différentielle (E) : y^(′′) − 3y^′ + 2y = 0 tend vers 0 en − ∞.
• 4.Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. Soit une série statistique à une variable prenant n valeurs réelles et de moyenne m; si n − 1 d'entre elles forment une série statistique de moyenne m alors la n-ième est égale à m.
• 5.La courbe de la fonction définie pour tout x ∈ R par f(x) = e^(2|x|) − 1 admet, au point d'abscisse -1 , une tangente d'équation y = (2e^2)x + (3e^2 − 1).
• 6.On lance simultanément deux dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6 , équilibrés et on considère la somme obtenue en ajoutant les deux nombres figurant sur les faces supérieures ; la probabilité que cette somme soit inférieure ou égale à 9 est égale à 0,75.
• 7.Le prix d'installation de panneaux photovoltaïques a augmenté de 10 % au 1^(er) janvier 2023, de 5 % aux 1^(ers) janvier 2024 et 2025 puis enfin de 10 % à nouveau au 1^(er) janvier 2026. Le taux moyen d'évolution sur ces quatre années est 7,5 %.
• 8.Soit n un entier naturel non nul, on a :
  ∑_(k = 0)^n(− 1)^k(n/k) = 0
• 9.Si A ∈ M_2(R) est telle que A^2 est nulle alors A est nulle.
• 10.La suite (u_n)_(n ∈ N) définie par u_0 = 1 et, pour tout n ∈ N par la relation de récurrence u_(n + 1) = − 2u_n + 1, converge.

Exercice 2 - Quelques séries remarquables

PARTIE A - ÉTUDES D'EXEMPLES

• 1.Dans cette question uniquement, on pose u_k = 1/k pour tout k ∈ N^∗.
  • a.Soit n ≥ 1. Donner, pour tout entier k vérifiant n + 1 ≤ k ≤ 2n, un encadrement de 1/k.
  • b.En déduire que, pour tout n ≥ 1, on a S_(2n) − S_n ≥ 1/2.
  • c.Si (S_n)_(n ∈ N^∗) converge, quelle est la limite de (S_(2n) − S_n)_(n ∈ N^∗) ? Conclure.
• 2.Dans cette question uniquement, on pose u_k = 1/(k^2) pour tout k ∈ N^∗.
  • a.Montrer que pour tout entier k ≥ 2, on a 1/(k − 1) − 1/k ≥ 1/(k^2).
  • b.En déduire que, pour tout entier naturel n ≥ 1, S_n ≤ 2 − 1/n puis que la suite (S_n)_(n ∈ N^∗) est majorée.
  • c.Montrer que la suite (S_n)_(n ∈ N^∗) converge.
• 3.Dans cette question uniquement, on pose u_k = q^k pour tout k ∈ N^∗ où q est un nombre réel.
  • a.Pour tout n ∈ N^∗, calculer S_n suivant les valeurs de q.
  • b.Calculer, si elle existe, la limite de (S_n)_(n ∈ N^∗) suivant les valeurs de q.

PARTIE B - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

• • a.Soit n ≥ 2 un entier naturel. Exprimer S_n − S_(n − 1) en fonction de u_n.
  • b.En déduire que la condition lim_(n → + ∞)u_n = 0 est nécessaire pour la convergence de (S_n)_(n ∈ N^∗). Est-elle suffisante ? Justifier.

• • a.Montrer que 0 ≤ q < (q + 1)/2 < 1.
  • b.Soit (v_n) une suite réelle. Rappeler la définition à l'aide de quantificateurs de lim_(n → + ∞)v_n = q.

• • c.Montrer qu'il existe un entier naturel N tel que, pour tout k ≥ N, 0 ≤ (u_(k + 1))/(u_k) ≤ (q + 1)/2. (La détermination de N n'est pas attendue).
  • d.Montrer, par récurrence sur k, que pour tout k ≥ N, on a u_k ≤ u_N((q + 1)/2)^(k − N).
  • e.En déduire une majoration indépendante de n, pour tout n ≥ N, de ∑_(k = N)^n u_k
  • f.En déduire que la suite (S_n)_(n ∈ N^∗) est convergente.
    On pourra remarquer que, lorsque N > 1, on peut écrire pour tout n ≥ 2, S_n = ∑_(k = 1)^(N − 1)u_k + ∑_(k = N)^n u_k
• 6.Dans cette question, on suppose que q = 1. Que peut-on dire quant à la convergence de la suite (S_n)_(n ∈ N^∗) ? on pourra considérer les suites étudiées en partie A. 1 et partie A.2.

PARTIE 2 -MAJEURE MATHÉMATIQUES (10 points)
(à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure mathématiques)

• 1.Déterminer le noyau de φ. L'endomorphisme φ est-il bijectif ?
• 2.Calculer le déterminant de M.
• 3.Justifier que la matrice M est inversible. Montrer que
  M^(− 1) = − 1/(20)(15, 5, 5; 5, 7, 3; 5, 3, 7)
• 4.On définit la trace d'une matrice carrée A = (a_(ij))_(1 ≤ i, j ≤ 3) par :
  tr(A) = ∑_(i = 1)^3 a_(ii)
  • a.Montrer que pour toutes matrices A, B ∈ M_3(R), on a
    tr(AB) = tr(BA) et tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
  • b.Montrer que, pour toutes matrices P ∈ GL_3(R) et A ∈ M_3(R), on a
    tr(P^(− 1)AP) = tr(A).
• 5.Calculer tr(M).
• 6.Justifier que le vecteur (2; 1; 1) est un vecteur propre M associé à une valeur propre λ_1 à déterminer puis déterminer la dimension du sous-espace propre associé à λ_1.
• 7.On suppose que M est diagonalisable. En utilisant les trace et déterminant de M, obtenir une somme et un produit des valeurs propres possibles de M; quelles seraient les valeurs propres possibles de M.
• 8.Justifier que M est diagonalisable dans R.

Exercice 4 - Un problème de recollement

PARTIE A - ÉTUDE DE LA FONCTION f

• 1.Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f sur R_+^∗ et R_−^∗, puis à gauche et à droite en 0.
• 2.Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bords de l'ensemble de définition. Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative de f.

PARTIE B - UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

• 3.Résoudre (E) sur l'intervalle ]0, + ∞[ et sur l'intervalle ] − ∞, 0[.
• 4.Supposons que y est une solution de (E) sur ]0, + ∞[ et sur ] − ∞, 0[ prolongée par continuité sur R.
  • a.Que vaut y(0) ?
  • b.Justifier que si y est une solution de (E) sur R, il existe k ∈ R tel que
    y : x ⟼ 0 si x ≤ 0
    et y : x ↦ k/(x^2)e^((− 1)/x) si x > 0.
  • c.Montrer que les solutions définies en 4.b sont dérivables sur R et en déduire l'ensemble des fonctions solutions de (E) définies et dérivables sur R.

PARTIE C - ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

• 5.Exprimer, pour tout réel non nul x, y^′ en fonction de y et x. Montrer que les solutions de (E) sur R sont de classe C^2.
• 6.Justifier que les solutions de (E) sur R admettent un développement limité à l'ordre 2 en 0 de partie régulière nulle.
• 7.Peut-on généraliser le résultat précédent à tout ordre n ∈ N ?

PARTIE 3 MINEURE MATHÉMATIQUES (10 points)
(à traiter uniquement par les candidats ayant choisi
la discipline majeure physique-chimie)

• 1.Déterminer l'ensemble E_2 des matrices colonnes à coefficients réels M = (x; y; z) telles que AM = 2M.
• 2.Déterminer l'ensemble E_4 des matrices colonnes à coefficients réels M = (x; y; z) telles que AM = 4M.
• 3.On considère alors la matrice P = (1, 1, 0; − 2, 0, 1; 1, − 1, 0). Justifier que P est inversible et que P^(− 1) = 1/2(1, 0, 1; 1, 0, − 1; 2, 2, 2).
• 4.Calculer la matrice D = P^(− 1)AP.
• 5.En déduire, que pour tout n ∈ N, A^n = PD^n P^(− 1).
• 6.Montrer que, pour tout n ∈ N, A^n = 1/2(2^n + 4^n, 0, 2^n − 4^n; 2(4^n − 2^n), 2 × 4^n, 2(4^n − 2^n); 2^n − 4^n, 0, 2^n + 4^n).
• 7.On considère les suites (u_n)_(n ∈ N), (v_n)_(n ∈ N) et (w_n)_(n ∈ N) définies de manière récurrente par u_0 = 0, v_0 = 1, w_0 = − 1 et, pour tout n ∈ N,
  {u_(n + 1) = 3u_n, − w_n; v_(n + 1) = 2u_n + 4v_n, + 2w_n; w_(n + 1) = − u_n, + 3w_n
  et on pose, pour tout n ∈ N, X_n = (u_n; v_n; w_n).
  Exprimer, pour tout n ∈ N, X_(n + 1) en fonction de X_n et A.
• 8.En déduire que, pour tout n ∈ N, X_n = A^n X_0.
• 9.Utiliser ce qui précède pour déterminer l'expression des suites (u_n)_(n ∈ N), (v_n)_(n ∈ N) et (w_n)_(n ∈ N) en fonction de n.

Exercice 4 - Autour du nombre e

PARTIE A - CALCUL INTÉGRAL

• 1.On considère la fonction f définie sur R_+^∗ par f(t) = 1/(t(t + 1)^2).
  • a.Justifier que la fonction f est continue sur R_+^∗.
  • b.Déterminer les nombres réels a, b, c tels que pour tout t ∈ R_+^∗,
    f(t) = a/((t + 1)^2) + b/(t + 1) + c/t.
• 2.On considère la fonction g définie sur R_+^∗ par g(t) = − 1/(t^2(t + 1)).
  • a.Montrer que, pour tout t ∈ R_+^∗, g(t) − f(t) = − (2t + 1)/((t^2 + t)^2).
  • b.Vérifier que la fonction h définie pour tout t ∈ R_+^∗ par h(t) = 1/(t^2 + t) est une primitive de la fonction g − fsurR_+^∗.

PARTIE B - LIMITES DE FONCTIONS ET INÉGALITÉS

• 3.Soit n un entier naturel tel que n ≥ 1.
  On définit, pour tout x > n, F_n(x) = ∫_n^x f(t)dt et G_n(x) = ∫_n^x g(t)dt.
  • a.Montrer que, pour tout x > n, F_n(x) = (n − x)/((n + 1)(x + 1)) + ln(((n + 1)x)/(n(x + 1))).
  • b.
  • i.Déterminer, en fonction de n, la limite, lorsque x tend vers + ∞, de la fonction F_n. On notera v_n cette limite.
    • ii.Justifier que, pour tout n ≥ 1, 0 ≤ v_n.
    • iii.En déduire que, pour tout n ≥ 1, 1 ≤ (n + 1) × ln(1 + 1/n).
  • c.En utilisant la question 2.b de la Partie A, donner l'expression de G_n(x).
  • d.
    • i.Déterminer, en fonction de n, la limite, lorsque x tend vers + ∞, de la fonction G_n. On notera u_n cette limite.
    • ii.Justifier que, pour tout n ≥ 1, u_n ≤ 0.
    • iii.En déduire que, pour tout n ≥ 1, n × ln(1 + 1/n) ≤ 1.

PARTIE C - ÉTUDE D'UNE SUITE

• 4.À partir des deux inégalités établies dans la partie B, montrer que pour tout n ≥ 1,
  1 ≤ e/((1 + 1/n)^n) ≤ 1 + 1/n
• 5.En déduire que la suite de terme général (1 + 1/n)^n est une suite convergente et déterminer sa limite, lorsque n tend vers + ∞.