X ENS Physique PSI 2014Sujet

Session 2014

Durée: 4 heures

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L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Utilisation des lasers à impulsion dans différents domaines d'application.

La partie A détaille des systèmes utilisés dans les autres parties.

Dans tout le problème, on désire visualiser le spectre de plusieurs types de signaux. Pour cela on réalise un système électronique permettant d'afficher, à l'aide d'un oscilloscope, le spectre d'une ou de deux tensions dont la fréquence f est inférieure à f_A = 1/(T_A). Pour cela, le système que nous appellerons désormais OSC, mesure la tension dont on veut obtenir le spectre pendant une durée NT_A, N étant un entier puissance de 2 . Cela lui permet de déterminer les fréquences du spectre à analyser sous la forme f_(mesiure) = n/(NT_A) ± 1/(NT_A), n étant un entier inférieur à N. Le système OSC peut afficher, soit les deux tensions en fonction du temps, soit leur spectre en mode «analyseur de spectre ».
Le système OSC autorise un fonctionnement pour des fréquences f_A ≤ f_B = 50MHz.

On utilise OSC pour mesurer les fréquences présentes dans le spectre d'une tension u_A(t). On règle N = 2^(10) avec f_A = 1kHz ± 0, 1 Hz et on mesure les entiers n correspondants aux fréquences f_(mesure) = n/(NT_A) ± 1/(NT_A).
3) On obtient cinq raies n_1 = 184, n_2 = 368, n_3 = 553, n_4 = 739, n_5 = 924. Est-ce compatible avec un signal périodique? Déterminer la fréquence du fondamental avec la précision maximale, en détaillant votre démarche.

On utilise OSC pour mesurer les fréquences présentes dans le spectre du produit de deux tensions u_1(t) = U_0 cos(2πf_1 t) et u_2(t) = U_0(cos(2πf_2 t) + 1) avec f_1 > f_2 réalisé à l'aide du circuit ci-contre.
4) Dans une première expérience, on mesure deux raies n_1 = 406, n_2 = 742. Déterminer les fréquences f_1, f_2.

5) Dans une deuxième expérience, on mesure une seule raie n_1 = 303. Quelles peuvent en être les raisons? On utilise un deuxième multiplieur pour obtenir u_A(t) = 2(u_1(t)u_2(t))/(U_0)cos(2πf_A t) dont le spectre donne cette fois-ci deux raies avec n_1 = 176, n_2 = 722. Déterminer les fréquences f_1, f_2.

Le temps de réponse des meilleurs détecteurs ne permet pas de recevoir directement le signal électromagnétique dans le domaine du visible. On considèrera que l'éclairement d'un signal est égal à la valeur moyenne de son carré : E = ⟨s(t)^2⟩.
Un détecteur quadratique fonctionne de la manière suivante : le signal d'entrée est élevé au carré puis passe dans un filtre passe-bas de fréquence de coupure f_B = (ω_B)/(2π) = 50MHz adapté à l'utilisation par le système OSC. On considèrera le filtre «idéal» défini par le tracé de son module en fonction de la pulsation. La sortie du détecteur peut être complètement mesurée (grandeurs temporelles et spectrales).

6) A quelle condition sur sa pulsation, un signal sinusoïdal d'entrée donne une sortie U_0 constante?

Le détecteur quadratique reçoit la superposition linéaire de deux signaux sinusoïdaux du domaine visible s(t) = s_1(t) + s_2(t). Pris séparément, les signaux donnent la même sortie U_0.
Les deux signaux seront considérés comme cohérents, à savoir leur différence de phase est parfaitement déterminée en fonction du temps: par exemple, si s_1(t) = S_(01)cos(2πf_1 t) alors s_2(t) = S_(02)cos(2πf_2 t + φ_(2/1)(t)), avec φ_(2/1)(t) connue.
7) Comment procéder pour obtenir une sortie du détecteur u(t) constante avec φ_(2/1)(t) = φ_0 une constante ? On distinguera, en particulier les cas u(t) = 4U_0, u(t) = 2U_0 et u(t) = 0. On donnera un exemple de dispositif expérimental que l'on peut trouver dans une salle de travaux pratiques.
8) Comment procéder pour obtenir une sortie du détecteur u(t) = 2U_0(1 + cos(ωt)) ? Quelle est la seule méthode utilisée en salle de travaux pratiques?

On considère un interféromètre de Michelson conforme au modèle idéal. Il est placé dans un milieu homogène dont l'indice sera pris égal à 1 . Les longueurs des bras de l'interféromètre sont notées L_1, L_2.
Il est éclairé par l'onde plane d'un laser monochromatique de longueur d'onde λ = 695 nm.
Tout décalage spectral dû à l'effet Doppler sur les miroirs mobiles est négligeable.

9) On pose p = 2(L_2 − L_1)/λ. Que représente p ? Dans quel domaine du spectre se situe le rayonnement du laser?
On utilise les deux dispositifs de la question A, le système OSC et le détecteur. Pour mesurer l'éclairement, on utilise le détecteur transformant le signal lumineux en une tension proportionnelle à l'éclairement u_A(t) = KE(p) qui pourra être visualisée en mode temporel ou en mode analyseur de spectre à l'aide du système OSC.
10) Dans le cas où l'un des deux miroirs est occulté, la tension vaut u_A(t) = U_0. Calculer la tension u_A(t) = KE(p) en faisant intervenir U_0. Qu'observe-t-on sur l'écran de l'oscilloscope en mode temporel si p = 3 ? Si p = 8, 5 ? Est-il possible de déterminer expérimentalement le contact optique?
11) On veut utiliser ce montage pour mesurer la longueur d'onde de la source monochromatique. La longueur L_1 = L_0 est fixée et L_2 = L_0 + v_0 t, v_0 étant une vitesse constante.
Tracer u_A(t) entre t = 0 et t = λ/(v_0). On utilise E(p) pour 0 < p < 100 et on considère que l'on peut donner le résultat suivant λ_(messine) = 693 nm ± 7 nm. Justifier.
12) Le système OSC, en mode analyseur de spectre, est réglé pour une fréquence f_A = 10 Hz ± 10^(− 4) Hz et N = 2^(10). Combien de temps la mesure dure-t-elle? Calculer la valeur la plus grande possible pour v_0.

On remplace le laser par une lampe au sodium. On considéra que cette source est étendue et que son spectre est composé de deux raies, de même éclairement, de longueurs d'onde λ_1 = 589, 0 nm et λ_2 = 589, 6 nm. On pose 2/λ = 1/(λ_1) + 1/(λ_2) et (Δλ)/(λ^2) = 1/(λ_1) − 1/(λ_2). On garde p = 2(L_2 − L_1)/λ.
13) Compléter le montage, en vous justifiant, pour observer des anneaux autour du détecteur dans les meilleures conditions possibles.
14) Expliquer de façon claire et concise pourquoi les franges d'interférences observées sont des anneaux.
15) Calculer l'éclairement au centre des anneaux E(p) en faisant intervenir l'éclairement E_0 correspondant au cas où un des deux miroirs est occulté.
16) Tracer l'éclairement pour − 3 < p < 3 puis pour 500 < p < 506. Commenter.
17) Pour p = 8.10^2 le centre des anneaux étant brillant. Le rayon du premier anneau brillant vaut R_1 = 0, 1 m. On considère que le détecteur ne mesure correctement l'éclairement au centre que si le rayon du premier anneau brillant est supérieur à R_1^′ = 1 cm, le centre étant brillant. Déterminer la valeur maximum de l'ordre d'interférence permettant une bonne mesure. Expliquer, succinctement, quelles peuvent être les causes de cette limitation ?
18) On désire mesurer les deux longueurs d'ondes au dixième de nanomètre à l'aide du relevé de E(p) et à son analyse spectrale comme pour le rayonnement laser précédent. On a toujours f_A = 10 Hz ± 10^(− 4) Hz et la vitesse v_0 = 156, 1μ m/min ± 0, 2μ m/min, est-ce suffisant ?
19) Expliquer comment peut-on procéder pour mesurer directement (Δλ)/λ ?

Pour déterminer le contact optique, on remplace le laser monochromatique par un laser à impulsion. Le signal délivré par le laser, sous forme d'onde plane, a la forme suivante :

On pose toujours p = 2(L_2 − L_1)/λ avec λ = 695 nm, τ_c = 8fs = 8.10^(− 15) s et c = 299, 8.10^3 km/s.
20) Quel serait le spectre du signal délivré par le laser dans le cas où cτ_c≫λ ? Comment serait modifié ce spectre si (cτ_c)/λ↘ diminue ? En déduire l'allure du spectre du signal délivré par ce laser.

On donne l'allure de l'éclairement mesuré par le détecteur E(p).

21) Représenter les signaux issus de chacun des bras de l'interféromètre dans le cas où p = 0 puis p = 1/2. En déduire une propriété de l'éclairement dans chacun des deux cas. Graduer l'axe des p.

Pour trouver le contact optique en modifiant la longueur L_2, il est nécessaire d'émettre une série d'impulsions. Pour dimensionner le système on donne les renseignements suivants. Le mouvement du miroir est limité à ΔL_2 = 1 mm avec une vitesse v_0 = (dL_2)/(dt) = 1 cm/s ± 10μ m/s. Les impulsions sont délivrées par le laser toutes les T_L = 2μ s.

On adjoint au détecteur un circuit, le circuit B, composé d'un amplificateur opérationnel idéal parfait en régime linéaire, d'une diode idéale , d'un condensateur de capacité C et d'un système composé d'un ampèremètre A et d'un circuit numérique «mem».

Le circuit «mem» réalise les fonctions suivantes: toutes les T_D = 1μ s, si le courant mesuré par l'ampèremètre n'est pas nul, il mémorise le temps donné par une horloge. Il peut aussi court-circuiter le condensateur pour réinitialiser le système.

22) Montrer que le circuit B va permettre de repérer le contact optique. La durée T_D vous semble-t-elle convenir?
23) Quel problème pourrait engendrer une valeur de T_L trop faible ? Est-ce le cas ici ?

On incline légèrement le miroir fixe d'un angle α≪1 et on remplace le détecteur par un capteur composé d'une matrice de détecteurs associés, chacun, à un circuit B. On a toujours L_1 = L_0 et L_2 = L_0 + v_0 t.
24) En considérant que les rayons composants l'onde plane du laser sont incohérents entre eux, où pourrait-on observer des interférences? Compléter le montage pour observer cette figure d'interférences sur la matrice de détecteur sans changer ses dimensions.
25) Montrer, simplement, que dans le cas du laser à impulsion, on obtient pratiquement le même résultat.

26) Pour deux détecteurs distants de Δy = 1 cm leurs deux circuits «mem» enregistrent deux instants séparés d'une durée Δt = 132, 5μ s. En déduire la valeur numérique, en radian, de l'angle α.
27) On utilise ce principe dans les microscopes OCT (Optical Cohérence Tomography) qui servent à former des images de surfaces comme, par exemple la rétine. Expliquer.

Pour étudier la propagation d'une onde électromagnétique dans une ligne électrique de longueur D, on la modélise par une suite de filtres linéaires faisant intervenir une inductance par unité de longueur Λ et une capacité par unité de longueur Γ.
28) Déterminer la dimension des grandeurs √(Λ/Γ) et √(1/(ΛΓ)). Donner leur nom usuel.

29) Expliquer pourquoi on peut utiliser la loi des nœuds pour obtenir une relation entre les intensités i(t, x) et i(t, x + dx). Relier (∂i)/(∂x) à (∂u)/(∂t)
30) Montrer que la tension u(t, x) vérifie une équation différentielle linéaire qui est une équation d'onde.
31) La ligne électrique est fermée sur une résistance R_0. La représentation complexe de la tension en entrée de ligne vaut u_s_– = √2U_s e^(jωt). Déterminer la résistance R_0 qui permet d'obtenir

la tension de sortie de ligne en représentation complexe u_D_– = √2(U_s e^(− jωτ))e^(jωt) = T(jω)u_S_– avec τ = D√(ΛΓ).

On utilise la ligne dans des circuits électrocinétiques contenant des amplificateurs opérationnels idéaux parfaits en régimes linéaires. On note en majuscule les valeurs efficaces complexes des différentes tensions.
32) Expliquer pourquoi la relation U_D = T(jω)U_S reste valable. Déterminer

la relation entre U_s et U_1.
33) Calculer la fonction de transfert PF(jω) = (U_S)/(U_E). A quelle condition sur α et β, le circuit peut-il bien fonctionner en régime linéaire?

On pose αβ = 2(1 − δ) et on se place dans le cas où β = 2 et δ = 10^(− 3)≪1 pour les applications numériques. Le module de la fonction de transfert est tracé ci-contre en fonction de la fréquence f = ω/(2π)
34) Déterminer f_0 en fonction de τ. Montrer que le diagramme est périodique.
35) Calculer |PF|_(Ma) et |PF|_(Min).
36) Déterminer la largeur des bandes passantes
Δf_0.

On désire obtenir le module de la fonction de transfert d'un filtre H(jω) pour différentes fréquences, réparties régulièrement autour d'une fréquence caractéristique f_P = (ω_P)/(2π), et cela, en une seule fois.
On développe pour cela le dispositif qui suit dans lequel le système OSC analyse les deux tensions u_A(t), u_B(t).

La tension u_1(t) = U_0 cos(ω_P t), ω_P = 2πf_P. Le multiplieur donne u_3(t) = 2(u_1(t)u_2(t))/(U_0).
Un filtre analogue à celui de la partie BI ) est utilisé mais il est légèrement modifié pour obtenir |PF|_(Mix) = 1. On a de plus |PF|_(Min)≪1 et (f_0)/(Δf_0) = 4, 5.10^2, f_0 = 200 Hz.
Le système OSC est supposé, à chaque fois, parfaitement réglé pour mesurer les fréquences au Hertz près avec Nf_0 = f_A.
37) On fixe la tension u_2(t) = U_0 cos(ωt + φ) avec ω_p > ω. Déterminer le spectre de la tension u_3(t). A quelles conditions la tension u_A(t) est-elle quasi-sinusoïdale d'amplitude U_0 ?
38) Proposer un circuit qui permet, à partir de la tension u_3(t) d'obtenir, à nouveau, la tension u_2(t) ? Donner un exemple d'application pratique.

La tension u_2(t) a maintenant un spectre continu, composé de toutes les fréquences inférieures à f_2 = (ω_2)/(2π) > f_0. On utilisera cette tension dans la suite du problème.

39) On prend dans cette question f_p = 0 Hz. On mesure le spectre de la tension u_A(t). On observe douze raies régulièrement espacées (voir figure). Commenter. Dans quel intervalle se situe la fréquence f_2 ?
40) On règle cette fois ci f_P = 4000 Hz et f_2 = 900 Hz. Déterminer le spectre de u_A(t).

Dans la suite du problème on règle les fréquences f_P et f_2 de façon à ce que f_P > f_2.
41) On utilise le montage avec un premier filtre ( N^∘1 ) inconnu. Les réglages sont les suivants : f_P = 10600 Hz. On observe 9 raies dans le spectre de u_B(t) et pour la cinquième raie K = 1, 5 ⋅ 10^(− 2). Déterminer f_2 et la fonction réalisée par le filtre dans l'intervalle de mesure. Proposer un circuit réalisant ce filtre.

42) On utilise un deuxième filtre ( N^∘2 ). La raie numéro 1 est à la fréquence f_1 = 35000 Hz et on obtient les résultats

suivants

Montrer que ces résultats sont compatibles avec un passebande d'ordre 2. Proposer un circuit réalisant cette fonction

de transfert.

On désire utiliser le principe développé dans la partie C pour mesurer les fonctions de transfert dans le domaine de l'optique. Pour utiliser le système OSC étudié précédemment, il convient de modifier l'échelle de fréquence.

On utilise le détecteur et le système OSC de la partie A.

Le détecteur quadratique reçoit la superposition linéaire de deux signaux sinusoïdaux du domaine visible s(t) = s_1(t) + s_2(t). Pris séparément, les signaux donnent la même sortie U_0.
43) Les deux signaux cohérents sont sinusoïdaux de fréquences ( f_1, f_2 ) avec f_2 = f_1 + δf, δf < (ω_B)/(2π). Déterminer u_A(t). Les fréquences ( f_1, f_2 ) ne sont pas directement mesurables, mais la fréquence ( f_1 ) du signal N^∘1 est connue avec précision. Montrer que le dispositif permet de mesurer (f_2).
44) Les deux signaux cohérents sont seulement périodiques de fréquences (f_1, f_2) avec f_2 = f_1 + δf, (ω_B)/(2π(N + 1)) < δf < (ω_B)/(2πN), N un entier. Que peut-on dire de u_A(t) ? Pourquoi est-il intéressant de régler f_A = Nδf ?
45) On désire déterminer la fonction de transfert H(jω) pour les fréquences f = nf_2, n(∈ ℕ) ≤ N. Montrer que le dispositif ci-dessous permet de le réaliser.

Un laser à impulsions émet le signal lumineux s(t) tracé ci-contre. On prendra λ = 600 nm et T_r = 0, 1 ns. On a tracé en dessous l'allure du spectre de ce signal composé de multiples raies.

46) Pourquoi le spectre est-il composé de raies? Quelles sont leurs fréquences et que vaut l'écart de fréquence Δf entre deux raies consécutives?
47) On réalise un deuxième laser ( N^∘2 ) à

impulsion quasiment identique au premier avec T_(r2) = T_κ − δT, (δT)/(T_r) = 8.10^(− 8). Déterminer le spectre du signal donné par ce laser.
Les signaux lumineux des deux lasers sont cohérents. On réalise le montage ci-contre comportant les lasers, un détecteur et le système OSC.
48) On enlève l'échantillon à analyser. Déterminer le spectre du signal u_A(t) = E_0(t).
49) L'échantillon à analyser se comporte comme un filtre de fonction de transfert H(jω).

On désire déterminer cette fonction de transfert au voisinage de f_0 = c/λ. Montrer que le dispositif permet de réaliser cette mesure.