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X ENS Modélisation PSI 2014Sujet

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  • Mécanique des fluides visqueux et équation de Navier-Stokes
  • Théorème d'Ampère et courants de Foucault
  • Fonctions de transfert et transformée de Laplace
  • Représentation d'état, observabilité et observateur
  • Approximation de Padé
  • Équation de Bernoulli généralisée avec viscosité
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Modélisation et régulation du niveau d'acier en coulée continue
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Le sujet étudie la régulation du niveau d'acier liquide dans une lingotière de coulée continue. Il modélise successivement l'écoulement de l'acier, le capteur de niveau à courants de Foucault, l'actionneur et la busette d'alimentation, avant d'identifier les paramètres du modèle à partir de données expérimentales, de modéliser les perturbations (bouchage, gonflement) puis de proposer une méthode de compensation de ces perturbations par observateur d'état.

  1. 1Partie I : modélisation du système de contrôle de la couléeOn établit l'équation de Navier-Stokes de l'écoulement de l'acier dans la lingotière, puis les fonctions de transfert de la lingotière, du capteur à courants de Foucault, de l'actionneur et de la busette.
  2. 2Partie II : validation et identification du modèle de la busetteOn génère une séquence pseudo-aléatoire pour exciter le système, on linéarise le modèle par une approximation de Padé du retard, et on identifie les paramètres de la busette par minimisation d'une erreur quadratique.
  3. 3Partie III : modélisation des perturbationsOn modélise les perturbations de bouchage et de gonflement affectant le débit, et on construit un observateur d'état permettant d'estimer le débit de bouchage à partir des mesures disponibles.
  4. 4Partie IV : compensation des perturbationsOn utilise l'observateur pour prédire le débit de gonflement futur et déterminer la commande à appliquer à l'actionneur pour compenser cette perturbation, avec une validation expérimentale.

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Banque commune École Polytechnique - InterENS

PSI

Session 2014

Épreuve de Modélisation

Durée: 5 heures
Aucun document n'est autorisé
Aucune calculatrice n'est autorisée
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Régulation de niveau en coulée continue

Le secteur de l'acier est un des secteurs stratégiques industriels, qui en fait une industrie moderne à forte valeur ajoutée. Les nouveaux aciers de plus en plus hauts de gamme nécessitent des techniques de fabrication innovantes pour limiter au maximum les défauts à l'intérieur du matériau.
L'acier liquide en fusion peut être coulé suivant deux procédés :
  • la coulée en lingots,
  • la coulée continue.
La coulée en lingots tend à disparaître au profit de la coulée continue. Ce dernier type de coulée permet des gains de productivité importants car elle mobilise moins de personnel et la fabrication est continue. De plus, elle permet de mieux maîtriser les caractéristiques mécaniques du produit final.
Dans le procédé de coulée continue, l'acier en fusion contenu dans la poche est coulé dans une lingotière sans fond (voir Figure 1). Au contact de ses parois maintenues à basse température, l'acier commence à se solidifier en formant une peau. Des rouleaux extracteurs tirent ensuite l'acier vers le bas, où il passera dans un système de refroidissement à eau pour achever la solidification. À la sortie de la machine, la barre d'acier est découpée en tronçons appelés brames, qui continueront leur chemin dans la suite de la chaîne de fabrication.
Figure 1 - Description de la coulée continue
Les principaux éléments constitutifs de la machine de coulée (voir Figure 1 et Figure 2) sont énumérés ci-dessous :
  • le répartiteur est un grand récipient d'une capacité de 20 tonnes, situé entre la poche et la lingotière. Il permet d'alimenter plusieurs lingotières pour réaliser plusieurs coulées en continu,
  • la lingotière sans fond est un moule à base rectangulaire. Elle permet la solidification en surface de l'acier au contact des parois. En effet, un flux d'eau assure le refroidissement des bords de la lingotière et donc la formation d'une peau solide de l'acier. La lingotière est alimentée en acier par une busette à 2 orifices immergée dans le métal liquide.
    Le métal en fusion est brassé électromagnétiquement afin que la phase liquide reste homogène, la surface en phase liquide est protégée de l'oxydation à l'aide du laitier.
Figure 2 - Tête de la machine de coulée continue
Le débit du métal fourni par la busette est contrôlé par une quenouille qui vient ouvrir plus ou moins l'entrée de la busette, en fonction de la vitesse de déplacement de l'acier en sortie fixée par les rouleaux.
Le contrôle de la coulée est basé sur l'asservissement du niveau de métal dans la lingotière. Celui-ci doit rester le plus stable possible pour obtenir de bonnes propriétés de l'acier. En effet, il est très facile de constater des fissures, des trous sur des barres d'acier qui auraient subi ses fluctuations de niveau (voir Figure 3).
Pour ce faire, il est essentiel de modéliser le système étudié selon la démarche décrite ci-après et illustrée sur la Figure 4.
La démarche de modélisation suivie dans cette étude se compose symboliquement de deux domaines : le domaine physique où l'on fait des mesures sur un système réel et le domaine virtuel où l'on réalise des simulations sur un système virtuel (analytique, numérique,...) censées représenter le comportement du système réel. Le domaine physique est nécessaire car il est indispensable de s'appuyer sur l'observation des phénomènes réels pour proposer et valider une modélisation du système, de son milieu extérieur et de son comportement. Le solveur est un outil qui permet de résoudre les équations et qui donne le résultat de la simulation. La modélisation est pertinente si l'écart entre les réponses expérimentales et les résultats issus de la simulation est faible. Une fois le modèle validé, le domaine virtuel permet de prédire le bon fonctionnement avant la phase d'intégration sur le système réel. L'étude présentée ici s'intéresse principalement au domaine virtuel de simulation.
Figure 3 - Fissure dans un acier coulé avec une fluctuation de niveau
Figure 4 - Présentation de la démarche de modélisation
Le sujet est composé de 4 parties :
  • modélisation de la coulée, des différents éléments constitutifs du système et des perturbations;
  • identification des paramètres;
  • estimation des perturbations;
  • compensation des perturbations;
Une synthèse conclura l'étude. Même si certaines parties peuvent être traitées séparément, il est préférable de suivre le questionnement proposé.

I Modélisation du système de contrôle de la coulée

La structure de contrôle du niveau d'acier dans la lingotière est donnée sur la Figure 5.
On retrouve :
  • la lingotière qui permet de fabriquer la barre d'acier ; on notera S la section de la lingotière, Q_(in) le débit entrant et Q_(out) le débit sortant,
  • la busette d'injection de l'acier dans la lingotière,
  • la quenouille qui permet de réguler le débit d'acier entrant dans la busette; on note P sa position,
  • l'actionneur qui permet de déplacer la quenouille dont la consigne est notée P^⋆,
  • le capteur de niveau qui donne une image notée N_m du niveau réel N,
  • la structure de contrôle qui régule le niveau réel N par rapport à la consigne N^⋆.
Figure 5 - Représentation de la structure de contrôle du niveau d'acier
Il est maintenant nécessaire de modéliser chacun des constituants afin de calculer les paramètres du correcteur.

I. 1 Analyse de la coulée dans la lingotière

On suppose que l'acier est un fluide incompressible de masse volumique ρ. Dans la lingotière, l'acier s'écoule comme de l'eau. On le caractérise par une viscosité η dont on donne l'ordre de grandeur à la température de la coulée : η = 1 × 10^(− 3)Pl.
L'écoulement de l'acier n'étant pas parfait, les effets visqueux sont modélisés par une force
volumique : f_v^(→−) = ρ ⋅ ν_v ⋅ Δv⃗ où v⃗ est la vitesse de la particule fluide, ν_v la viscosité cinématique définie par ν_v = η/ρ et Δ l'opérateur laplacien. De plus, le frottement de la paroi de la lingotière sur les particules fluides est modélisé par une force volumique f_p^(→−) définie par :
f_p^(→−) = − ρ(0, 3164)/(8δ_x)Re^(− 1/4)‖v⃗‖v⃗
où Re est le nombre de Reynolds caractéristique de cet écoulement, δ_x la distance de la particule fluide à la paroi. On considère un point M de l'espace repéré par ses coordonnées cartésiennes M(x, y, z). On définit la dérivée particulaire d'une grandeur X(M, t) en M et à l'instant t par
(DX)/(Dt) = (∂X)/(∂t) + v⃗ ⋅ grad^(→−)X.
Si la grandeur X(M, t) est une grandeur vectorielle, la dérivée particulaire sera définie pour chacune de ses composantes scalaires cartésiennes.
Q1. Rappeler dans le cas général l'équation de conservation de la matière. Que devient cette équation dans le cas de l'acier?
Q2. Interpréter chacun des termes composant la dérivée particulaire.
Q3. Justifier par des considérations qualitatives la forme de la force de frottement f_p^(→−).
Q4. Établir, en appliquant le principe fondamental de la dynamique à une particule fluide, l'équation de Navier-Stokes :
(Dv⃗)/(Dt) = − 1/ρgrad^(→−)P + ν_v Δv⃗ + g⃗ + 1/ρf_p^(→−)
où (Dv⃗)/(Dt) est la dérivée particulaire du vecteur vitesse v⃗.
La Figure 6 représente la carte des vecteurs vitesse dans la lingotière.
Figure 6 - Champ des vitesses moyennes.
Q5. Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds. Grâce à la Figure 6, évaluer le nombre de Reynolds Re en précisant la démarche suivie. Sous certaines conditions à préciser, identifier les termes qui peuvent être négligés dans l'équation de Navier-Stokes. Commenter.
L'équation de Navier-Stokes n'a pas de solution analytique simple. Elle peut être résolue par des méthodes numériques après discrétisation du problème. Les algorithmes utilisés sont basés sur la méthode par éléments finis et requièrent des itérations successives.
La définition de la dérivée particulaire permet d'écrire l'accélération particulaire sous la forme :
(Dv⃗)/(Dt) = (∂v⃗)/(∂t) + grad^(→−)(v^2)/2 + 2Ω⃗ ∧ v⃗.
où Ω⃗ = 1/2rot^(→−)v⃗ est appelé vecteur tourbillon. On note ω_x, ω_y et ω_z les composantes du vecteur tourbillon (dans la base cartésienne).
La résolution numérique permet de calculer le vecteur tourbillon et en particulier la composante suivant l'axe z qui s'exprime par :
ω_z = 1/2|(∂v_x)/(∂y) − (∂v_y)/(∂x)|.
v_x et v_y sont les composantes de la vitesse suivant les axes x et y (voir figure Figure 6).
L'acier fondu est recouvert en surface de laitier pour le protéger de l'oxydation.
Q6. Expliquer en quoi il est important d'éviter une composante ω_z trop importante du vecteur tourbillon à l'interface acier/laitier.
La Figure 7 représente sur la première carte le niveau moyen dans la lingotière et sur la deuxième carte l'écart-type de cette grandeur.
Figure 7 - Niveau moyen d'acier dans la lingotière et écart-type (vue de dessus).
Q7. Commenter la Figure 6 et la Figure 7. Conclure sur la nécessité de contrôler le niveau d'acier dans la lingotière. Déterminer une zone dans laquelle un capteur sensible au niveau moyen de l'acier pourrait être placé.
Cette étude nous a permis de comprendre certaines spécificités de l'écoulement dans la lingotière et la nécessité d'un système de contrôle de la coulée. Cependant les modèles utilisés pour cette analyse restent lourds à mettre en oeuvre et la précision obtenue n'est pas en adéquation avec celle nécessaire pour contrôler correctement le niveau d'acier dans la lingotière.

I. 2 Modélisation du comportement du système de contrôle de coulée

Le modèle précédent est bien trop complexe pour l'intégrer dans une démarche de conception de la partie commande du contrôleur.
On cherche donc à déterminer les fonctions de transfert de chacun des constituants afin de compléter le schéma bloc de la Figure 8.
Figure 8 - Modèle par schéma-bloc de la chaîne d'action

I.2.1 Modélisation macroscopique de l'écoulement dans la lingotière

On suppose que la lingotière est un parallélépipède dans lequel l'écoulement se fait avec un débit entrant Q_(in)(t) et un débit sortant Q_(out)(t). La section du parallélépipède traversée par l'acier est notée S. La hauteur d'acier dans le parallélépipède est notée N(t).
Q8. Déterminer l'équation différentielle en temps reliant les différentes quantités : Q_(in)(t), Q_(out)(t), S et N(t).
Q9. En déduire la fonction de transfert de la lingotière H_(lingotière)(p) où p est la variable de Laplace. Vous préciserez les hypothèses utilisées.

I.2.2 Modélisation de l'acquisition de la hauteur de coulée

Le capteur utilisé est un capteur à courants de Foucault. Un schéma simplifié du dispositif est présenté à la figure Figure 9. Ce capteur, placé au-dessus de la surface libre de l'acier en fusion et du laitier, est composé d'une bobine parcourue par un courant à haute fréquence f qui donne naissance à un champ magnétique variable B⃗(M, t). L'acier est alors soumis à ce champ magnétique dont l'intensité dépend de la distance capteur/surface libre de l'acier. L'acier est alors le siège de courants de Foucault.
Le laitier est un milieu diélectrique non magnétique sans charges ni courants libres. L'acier, métal conducteur de conductivité γ, est supposé linéaire, homogène et isotrope de permittivité ε_0 et de perméabilité μ_0. La conductivité γ dépend du type d'alliage utilisé. Cette conductivité est de l'ordre de 10^6 Sm^(− 1).
Figure 9 - Capteur à courants de Foucault
Q10. Énoncer les équations de Maxwell vérifiées par le champ électrique E⃗(M, t) et par le champ magnétique B⃗(M, t) en un point M quelconque de l'acier et à l'instant t. Établir une relation de dispersion simplifiée grâce à une hypothèse sur la fréquence de travail f.
Q11. Après avoir introduit la distance caractéristique δ_y, exprimer le vecteur densité de courant en un point M de l'acier à un instant quelconque t. Donner la signification physique de δ_y.
Q12. Exprimer une condition sur la lingotière ou sur l'acier pour que la réponse du capteur soit indépendante de l'épaisseur de l'acier. Préciser si l'application de cette condition remet en cause l'utilisation d'un tel capteur en coulée continue.
Ce type de capteur peut être modélisé par un circuit couplé par mutuelle induction (voir Figure 10). La bobine excitatrice réelle est modélisée par une bobine d'inductance L_e et de résistance R_e. Cette bobine est alimentée par une source de tension sinusoïdale e(t) de fréquence f. L'acier en fusion, siège des courants de Foucault, est modélisé par une inductance L_a et une résistance R_a. On note M le coefficient de mutuelle inductance entre les deux circuits. M vérifie la relation |M| = k√(L_e L_a) où k est le coefficient de couplage.
Ce capteur est alimenté par une source de tension e(t) sinusoïdale, d'amplitude E et de pulsation ω = 2πf. On note j le nombre complexe tel que j^2 = − 1. On associe à chaque grandeur électrique v(t) sa représentation complexe v_–(t) = V_–e^(jωt) où V_– est l'amplitude complexe et telle que v(t) = Re(v_–(t)).
Figure 10 - Modélisation électrique du capteur de niveau
Q13. Indiquer de quel paramètre géométrique dépend principalement le coefficient k. On note τ le temps caractéristique des variations du niveau moyen de la surface libre de l'acier. Indiquer dans quel cadre, les variations de k avec le temps pourront être négligées devant les variations des différentes grandeurs électriques.
Q14. Ecrire les équations électriques vérifiées par les amplitudes complexes des courants I_e_– et I_a_– et par la tension E_–. En déduire une relation entre I_e_– et E_–.
Q15. En supposant que l'acier est un bon conducteur et en particulier que R_a≪L_a ω, modéliser le circuit côté excitation et montrer que
R_(capteur) = R_e + k^2(L_e)/(L_a)R_a et L_(capteur) = L_e(1 − k^2)
Q16. Expliquer les variations de L_(capteur) avec le coefficient de couplage k. Donner un encadrement de k.
Ce capteur est placé dans un circuit oscillant. La fréquence propre de ce circuit est liée à la valeur de l'inductance L_(capteur). Le signal est ensuite mis en forme par un conditionneur qui est ici indispensable. En effet, la relation entre le signal électrique en sortie du capteur et le niveau de l'acier N est complexe et non linéaire. De plus, l'amplitude des variations de l'inductance L_(capteur) ne permet pas de linéariser le signal électrique image du niveau dans la lingotière. Un circuit électronique est donc placé en sortie du conditionneur permettant d'obtenir, après traitement, une relation simple entre le niveau mesuré N_m proportionnel au signal électrique obtenu en sortie et le niveau dans la lingotière N :
H_–_(capteur)(p) = (N_m(p))/(N(p)) = 1/(1 + τ_s p)
Q17. Conclure sur les avantages d'un tel capteur. On pourra en particulier comparer l'utilisation de ce type de capteur à un capteur inductif (à entrefer variable par exemple).

I.2.3 Modélisation de l'actionneur de la quenouille

La fonction de transfert de l'actionneur est assimilée à un modèle du premier ordre de gain unitaire et de constante de temps τ_a.
H_(actionneur)(p) = (P(p))/(P^⋆(p)) = 1/(1 + τ_a p)

I.2.4 Modélisation de la busette

I.2.4.1 Influence de la hauteur de la busette Nous souhaitons maintenant exprimer le débit d'acier sortant de la busette et alimentant la lingotière. On suppose que l'acier en fusion est incompressible. On note Q_(in) le débit en sortie de la busette, N_(répartiteur) la différence d'altitude entre la sortie de la busette et la surface libre du répartiteur. On note de plus g⃗ l'accélération de la pesanteur. Un schéma simplifié de l'écoulement est proposé à la Figure 11.
Nous supposons dans un premier temps que l'écoulement est parfait. On considère un tube de courant unidimensionnel (représenté sur la Figure 11). S_1 et S_2 sont des sections droites de ce tube de courant à l'interface air/acier dans le répartiteur et à l'entrée de la busette. On notera dS_1 et dS_2 les surfaces élémentaires associées. L'écoulement est supposé stationnaire. L'acier en fusion traverse dS_1 et dS_2 avec des vitesses respectives v_1^(→−) et v_2^(→−). On note aussi p_1 et p_2 les pressions respectives toujours au niveau de sections dS_1 et dS_2.ρ la masse volumique de l'acier.
Figure 11 - Modèle simplifié de l'écoulement de l'acier du répartiteur vers la busette (le schéma n'est pas à l'échelle).
Q18. En considérant que l'énergie totale du fluide se conserve dans un tube de courant, démontrer la forme suivante de l'équation de Bernoulli
pdSv_y + ρdSv_y gy + 1/2ρdSv_y^3 = cste
où p, v_y, dS sont respectivement la pression, la vitesse et la surface élémentaire en un point d'ordonnée y du tube de courant.
Q19. On prend maintenant en compte la viscosité de l'acier et les modifications du profil de vitesse associées. Représenter sur un schéma où figure un tube de courant, les vecteurs vitesse en différents points d'une même section de ce tube de courant. En considérant un tube de courant qui s'appuie sur les surfaces latérales de la busette, intégrer la relation de Bernoulli sur une section S. Interpréter le terme ∫_S v_y dS, et le relier au débit Q_(in). Dans la suite, on notera v_(my).S = ∫_S v_y dS.
Q20. On s'intéresse maintenant à l'intégrale sur la surface S du troisième terme 1/2ρdSv_y^3. On définit alors une vitesse moyenne d'énergie cinétique v_(cy) telle que :
(dE_c)/(dt) = d/(dt)(1/2mv_(cy)^2) = ∫_S 1/2ρv_y^3 dS
Montrer que v_c^2 = (∫_S v_y^3 dS)/(Q_(in)). En déduire une nouvelle expression de la relation de Bernoulli qui prend en compte la viscosité de l'acier :
p + ρgy + 1/2ρv_c^2 = cste
Q21. Entre y_1 et y_2, on suppose que la variation de pression est négligeable devant les effets de la pesanteur. En appliquant la relation de la question précédente entre y_1 et y_2 retrouver la formule suivante
Q_(in) = βA_v√(2gN_(répartiteur))
où A_v représente la section effective de passage de l'acier au niveau de la busette, et β le coefficient de perte de charge due à la viscosité de l'acier. Exprimer β en fonction des vitesses précédemment définies. Donner la valeur du coefficient β dans le cas d'un écoulement parfait.
En pratique, de l'argon est injecté dans la busette pour éviter qu'elle ne se bouche. Cela induit un retard au niveau du débit entrant dans la lingotière. Ce retard est bénéfique pour la régulation du niveau. En première approximation, il vaut :
τ_n = √((2(N_(répartiteur) + N_(SEN)))/g) − √((2N_(répartiteur))/g)
avec N_(SEN) la hauteur entre le haut de la busette et la surface libre d'acier dans la lingotière (voir Figure 5).
En pratique, ce retard est identifié sur le système réel pour plus de précision.
Seule la section apparente est à déterminer précisément.
Figure 12 - Géométrie de la zone de contrôle du débit entrant dans la busette
I.2.4.2 Influence de la position de la quenouille par rapport à la busette La section apparente est la section à travers laquelle passe le fluide avant d'entrer dans la busette. La quenouille obstrue plus ou moins l'entrée de la busette, on note sa position P. P = 0 quand la quenouille est en contact avec la busette (voir Figure 12).
On supposera pour simplifier que la section apparente est un tronc de cône dont les différents paramètres sont donnés sur la Figure 13. On note :
  • R_s le rayon de la sphère du bout de quenouille, O_s le centre de cette sphère,
  • R_n le rayon de la busette et R_t le rayon de l'orifice d'entrée de la busette, O_t est le centre du cercle dans le plan de représentation,
  • P est la position de la quenouille,
  • d est l'ouverture, cela représente la longueur du côté du cône,
  • quand d = 0 alors P = 0,
  • a est une longueur constante,
  • α le demi angle au sommet du cône.
Q22. Par la méthode de votre choix, montrer que la surface apparente A_s (surface latérale du tronc de cône) peut s'écrire sous la forme A_s = C_0(R_s d + (d^2)/2)sinα où vous exprimerez la constante C_0.
Figure 13 - Modélisation de la surface apparente
Q23. Écrire une relation géométrique lorsque d = 0 et P = 0 et en déduire la valeur de a en fonction de R_s, R_t, R_n.
Q24. Montrer maintenant que A_s = C_1(R_s(R_n + R_t))/((R_t + R_s)^2)√((R_t + R_s)^2 − (R_n + R_t)^2)P où vous exprimerez la constante C_1. Vous pourrez supposer que d et P sont petits devant les autres longueurs en effectuant un développement limité à l'ordre 1 .
La relation précédente est valable pour P < P_0 où P_0 est la valeur limite.
Q25. Justifier l'existence de cette valeur limite et préciser ce que vaut la section apparente au delà de cette valeur.
I.2.4.3 Fonction de transfert de la busette D'après ce qui précède, le comportement de la busette peut être modélisé par l'équation suivante
Q_(in)(t) = G_n P(t − τ_n)
On rappelle que la définition de la transformée de Laplace est :
L(f(t)) = F(p) = ∫_0^∞f(t)e^(− pt) dt
Q26. Déterminer la fonction de transfert de la busette H_(busette)(p) = (Q_(in)(p))/(P(p)).

II Validation et Identification du modèle de la busette

La modélisation du système, détaillée dans la partie précédente, a permis de mettre en place un modèle pour chaque constituant et de proposer un modèle pour les perturbations. En pratique, certains paramètres sont inconnus et il faut les déterminer pour pouvoir dimensionner le correcteur correctement.
Les constantes inconnues vont être identifiées sur des réponses expérimentales.
On va s'intéresser uniquement à l'identification des paramètres de la busette connaissant l'excitation P et la vitesse de déplacement de l'acier v à la sortie de la lingotière et en mesurant la niveau N d'acier dans la lingotière (voir Figure 14).
Figure 14 - Modèle adopté pour l'identification
L'excitation réelle P ne peut pas être assimilée dans la réalité à un échelon, une rampe... c'est pourquoi les mesures vont être réalisées de manière discrète à l'aide d'une entrée de type séquence binaire pseudo-aléatoire.
Les mesures obtenues seront utilisées pour réaliser l'identification en minimisant une fonction erreur obtenue par une représentation d'état du système.

II. 1 Génération de la séquence pseudo-aléatoire

Le principe est d'utiliser un registre à décalage qui stocke un mot binaire b_n, …, b_0. Å chaque pas de temps i, le bit b_0 va être transmis pour générer une entrée:
  • si b_0(i − 1) = 0 alors P = − P_0
  • si b_0(i − 1) = 1 alors P = P_0
    − b_0(i) = b_1(i − 1)
    − b_1(i) = b_2(i − 1)
  • ⋯
    − b_(n − 1)(i) = b_n(i − 1)
  • b_n quant à lui, sera remplacé par le résultat d'une opération de «OU EXCLUSIF» entre certains bits.
Figure 15 - Registre à décalage
Une des caractéristiques de cette technique est que la séquence se répète au bout d'un certain nombre de pas de temps, c'est le caractère «pseudo» de la méthode. La taille de la séquence dépend du nombre de bits utilisés. En général, la séquence est initialisée avec des 1 partout.
Q27. Pour un registre de 4 bits et un retour tel qu'au pas de temps i, b_n(i) = b_0(i − 1) ⊕ b_1(i − 1), reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Déterminer la taille de la séquence. P_b correspond à la valeur envoyée en entrée, pour le pas de temps i, P_b(i) = b_0(i − 1).
b_3 b_2 b_1 b_0 P_b
1 1 1 1 -
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

II. 2 Linéarisation et domaine de validité - Modèle d'état

Afin de réaliser la minimisation, il est nécessaire de mettre en place un modèle d'état linéaire du système.
Le problème est que le système n'est pas linéaire à cause de la fonction exponentielle de la Figure 14. Il faut proposer une approximation sous forme de fraction rationnelle de la fonction exponentielle.
Plusieurs approximations sont possibles :
  • développement de Taylor
  • approximation de Padé
Le développement de Taylor n'est pas satisfaisant sur des grandes plages de fréquences, c'est pourquoi l'approximation de Padé est utilisée classiquement.
L'approximation de Padé à l'ordre q de la fonction e^x est la fraction rationnelle calculée à l'aide de la formule suivante :
F_(padé)^q(x) = (∑_(i = 0)^q(q!(2q − i)!)/((q − i)!(2q)!t!)x^i)/(∑_(i = 0)^q(− 1)^i(q!(2q − i)!)/((q − i)!(2q)!i!)x^i)
Q28. Déterminer l'approximation de Padé à l'ordre 1,2 et 3 .
Dans le cadre de la fonction retard, il faut approximer la fonction retard e^(− τ_n p).
Q29. Déterminer le gain de la fonction de Padé d'ordre q de la fonction retardée et le comparer à la valeur théorique attendue.
Sur la Figure 16 est tracée la phase en fonction de la pulsation pour différents ordres de l'approximation de Padé.
Q30. Sachant que le domaine d'identification de la phase est entre 0 et − 180^∘, choisir un ordre d'approximation en justifiant votre choix afin d'obtenir une précision inférieure à 1%.
Figure 16 - Comparaison de la phase en fonction de la pulsation entre la phase exacte de la fonction exponentielle et différents ordres d'approximation de Padé.
Indépendamment de la question précédente, on retient une approximation de Padé d'ordre 1 pour approximer l'exponentielle.
Le modèle d'état consiste à relier des variables d'état, qui caractérisent l'état du système (ces variables peuvent être des grandeurs physiques ou des grandeurs virtuelles), aux variables
de commande (entrées réelles du système). Le modèle est mis sous une forme matricielle :
((N˙)/(x˙_1)) = A(N/(x_1)) + B(P/v)
avec :
  • A : la matrice d'état
  • B : la matrice de commande
    − x_1 : une variable virtuelle telle que x˙_1 = − 2/(τ_n)x_1 + (G_n)/(τ_n)P
    Q31. Déterminer les matrices A et B, en commençant par exprimer la relation de transfert à partir de la Figure 14, puis en prenant en compte l'approximation de Padé à l'ordre 1, puis en repassant dans le domaine temporel.

II. 3 Identification des paramètres caractéristiques de la busette

Les mesures expérimentales obtenues avec la technique d'excitation pseudo-aléatoire permettent de connaître N_(exp) en fonction de P_(exp) et v_(exp) au cours du temps. Les mesures étant discrètes, on a pour chaque instant k, les N_(exp)(k), P_(exp)(k) et v_(exp)(k).
L'objectif est de déterminer les paramètres inconnus G_n et τ_n en minimisant une erreur définie par
ε(G_n, τ_n) = ∑_(k = 0)^(k_(max))(N_(exp)(k) − N_(état)(k))^2
avecN_(état)(k) la valeur obtenue grâce au modèle d'état et k_(max) le nombre d'échantillons temporels.
On suppose que la fonction ε(G_n, τ_n) est convexe.
Q32. Expliquer comment déterminer N_(état)(k). Proposer un algorithme permettant de déterminer le couple de valeurs ( G_n, τ_n ) permettant de minimiser l'erreur ε.
Q33. Expliquer précisément la démarche d'identification des paramètres en synthétisant les différentes étapes vues depuis le début de cette partie et en insistant sur les limitations.
Cette partie a permis de mettre en place une technique d'identification des paramètres du modèle basé sur l'écriture d'un modèle d'état et la minimisation d'une erreur quadratique.
Pour avoir un modèle correct, il convient encore de connaître plus précisément les perturbations. C'est l'objet de la partie suivante qui développe une méthode d'estimation des perturbations.

III Modélisation des perturbations

Il y a plusieurs perturbations qui peuvent altérer le fonctionnement du système. Les deux principales sont :
  • le bouchage
  • le gonflement
Le bouchage se situe au niveau de la busette : un dépôt de métal se colle sur la paroi de la busette ce qui l'obstrue et réduit le débit, puis le dépôt s'arrache réaugmentant le débit.
Q34. En notant Q_b le débit induit par cette perturbation, proposer une modification du schéma bloc de la Figure 8.
Le gonflement correspond à un mouvement de la peau du métal passant entre les rouleaux extracteurs. Ce phénomène cyclique va provoquer une modification du débit sortant de la lingotière, le métal étant encore liquide entre les peaux du métal (voir Figure 17).
Figure 17 - Illustration du gonflement
Pour estimer la variation de débit, on va se placer dans la phase statique ( 2^e vue de la Figure 17). On supposera que :
  • la déformation de la peau dans la zone notée i entre les rouleaux i et i + 1 correspond à un triangle
  • de base, la distance entre les rouleaux i et i + 1, notée λ_i
  • de hauteur B_i
  • la hauteur B_i oscille sinusoïdalement à la fréquence f_i d'amplitude B_(i, max)
  • l'épaisseur du bloc d'acier (suivant l'axe de rotation des rouleaux) est noté E
  • la section du bloc d'acier est toujours notée S
  • la vitesse d'avance de l'acier est notée v.
Q35. Déterminer le débit sortant en l'absence de perturbations en fonction de S et v. Déterminer la variation de débit sortant due au gonflement de la zone i noté Q_(g, i).
Q36. En notant Q_g la variation totale de débit dû au gonflement des différentes zones, exprimer le débit sortant Q_(out). Proposer une modification du schéma-bloc de la Figure 8 permettant de prendre en compte la perturbation due au gonflement.
L'objectif est maintenant de proposer une méthode pour estimer les perturbations afin de les prendre en compte correctement dans le modèle. La méthode d'estimation est une nouvelle fois basée sur les modèles d'état. Seule la perturbation due au bouchage est prise en compte pour le moment.
Figure 18 - Modèle avec la perturbation due au bouchage
Le modèle d'état adopté est x˙ = Ax + Bu avec :
− x : le vecteur d'état défini par x = (N; Q_b; Q˙_b; x_1) avec
  • x_1 : une variable virtuelle telle que x˙_1 = − 2/(τ_n)x_1 + (G_n)/(τ_n)P
  • hypothèse : Q¨_b = 0
  • A : la matrice d'état défini par A = (0, − 1/S, 0, 4/S; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, − 2/(τ_n))
  • B : la matrice de commande
    − u : le vecteur de commande défini par u = (P/v)
    Q37. Déterminer la matrice de commande B.
Pour déterminer la sortie, on définit également la matrice d'observation C telle que N = Cx
Q38. Déterminer la matrice d'observation C.
Un système est dit observable si, à partir de l'observation des entrées et des sorties du système, le vecteur d'état peut être entièrement connu, notamment les conditions initiales.
Pour cela, la condition nécessaire et suffisante d'observabilité est que la matrice d'observa-
bilité (C; C × A; C × A^2; ⋮; C × A^(n − 1)) soit de rang n, avec n la dimension du vecteur d'état (N; Q_b; Q˙_b; x_1).
Q39. Calculer la matrice d'observabilité et conclure quant à l'observabilité du système.
Si le système est observable, alors on peut définir un observateur dynamique qui permet
d'estimer l'état du système :
{x˙^ = Ax^ + Bu + L(y − y^); y^ = Cx^
En notant :
  • x^ le vecteur d'état estimé,
  • y le vecteur des sorties du système, ici y = N,
  • y^ le vecteur des sorties estimées,
  • L la matrice de gain, choisie pour assurer la convergence de x^ vers x.
En combinant les deux équations, on obtient : x˙^ = (A − LC)x^ + Bu + Ly.
Cette technique permet ainsi d'obtenir Q^_b en fonction du niveau N d'acier dans la lingotière, de la position P de la quenouille et de la vitesse v de déplacement de l'acier à la sortie de lingotière (voir Figure 19).
Figure 19 - Entrées-sortie de l'observateur de bouchage
Cette technique a été utilisée pour réaliser les simulations numériques suivantes sur le système en boucle fermée. La niveau de consigne d'acier est de -100 mm et l'asservissement est réalisé par un correcteur de type PID.
Les résultats de la simulation sont donnés sur la Figure 20. Sur la Figure 20(a), les entrées de l'observateur : le niveau de l'acier N et la position de la quenouille P. Sur la Figure 20(b), les sorties :
  • le débit de bouchage réel Q_b
  • le débit de bouchage estimé Q^_b
  • le débit maximum théorique en sortie de busette Q_(in,max)
  • le débit entrant dans la lingotière réelle Q_(in).
Figure 20 - Résultats de simulation illustrant les variations des entrées et des sorties de l'observateur de bouchage
Q40. Commenter les courbes de la Figure 20 et conclure quant à la qualité de l'observateur.
Dans cette partie, une démarche d'estimation des perturbations a été mise en place. En pratique, l'effet des perturbations n'étant pas découplable, il faudrait réaliser la même démarche en prenant en compte toutes les perturbations en même temps. Cela permettrait d'obtenir un observateur global qui estimerait chacune des perturbations en même temps (voir Figure 21).
Dans la partie suivante, cet estimateur global va être utilisé afin de compenser les perturbations dans le modèle, c'est-à-dire prédire la perturbation et modifier la commande en conséquence pour en atténuer son effet.
Figure 21 - Entrées-sortie de l'observateur de bouchage

IV Compensation des perturbations

La plupart des asservissements implantés sur les machines actuelles ont été calculés sans prendre en compte les sources de perturbations de manière précise. Dans cette partie, nous allons voir comment modifier localement le processus afin de prendre en compte l'effet des perturbations afin de les compenser et d'en atténuer leurs effets sur le niveau d'acier dans la lingotière.
Le principe de la compensation est illustré uniquement sur le gonflement de la barre d'acier au contact des rouleaux extracteurs en sortie de lingotière, mais le principe est identique avec toutes les perturbations.
Le principe de la compensation de la perturbation de gonflement est illustré sur la Figure 22. À partir des données du processus, l'observateur peut reconstruire à chaque instant le débit de gonflement estimé Q^_g(t) et sa dérivée Q˙^_g(t). Ces valeurs vont permettre d'estimer à l'aide d'un prédicateur la valeur suivante du débit de gonflement Q^_g(t + τ_n) et sa dérivée Q˙^_g(t + τ_n). Et enfin en inversant la relation de transfert de l'actionneur, on détermine la valeur P_g(t) à imposer à l'actionneur pour corriger le débit entrant à l'instant t + τ_n.
Figure 22 - Principe de la compensation de perturbations

IV. 1 Prédiction du gonflement

Comme nous l'avons vu dans la partie précédente pour l'observateur de bouchage, nous pouvons écrire l'équation d'observabilité pour l'observateur global (les variables sont indicées
avec un g sans italique) :
x˙^_g(t), = (A_g − L_g C_g)x^_g(t) + B_g u_g(t) + L_g y_g(t); = (A_g − L_g C_g)x^_g(t) + B_g^a u_g^a(t)
avecB_g^a = (B_g L_g) et u_g^a(t) = ((u_g(t))/(y_g(t)))
Q41. Montrer que la solution de l'équation différentielle précédente à l'instant t + τ_n peut se mettre sous la forme :
x^_g(t + τ_n) = M_g x^_g(t) + x^_0(t)
avec x^_0(t) = ∫_t^(t + τ_n)e^((A_g − L_g C_g)(t + τ_n − τ))B_g^a u_g^a(τ)dτ. Exprimer M_g en fonction des différentes données.
Indication : la résolution de l'équation différentielle matricielle peut être réalisée de manière similaire à la résolution classique des équations différentielles ordinaires, vous ferez notamment apparaître des exponentielles de matrices qui seront explicitées dans la question suivante à l'aide d'un développement en série entière.
M_g peut être calculée une fois pour toute avec un logiciel de simulation, mais x^_0(t) doit être calculé en temps réel pendant l'asservissement.
Q42. En supposant que u_g^a(t) est constant sur l'intervalle d'intégration t à t + τ_n, déterminer la solution x^_0(t) sous la forme d'un développement en série entière.
Notons C_(g, Q_g) la matrice d'observation du débit Q_g, c'est-à-dire que Q_g = C_(g, Q_g)x_g(t). De même, notons C_(g, Q˙_g) la matrice d'observation de la variation du débit Q˙_g.
Q43. Déterminer les relations permettant d'obtenir Q^_g(t + τ_n) et Q˙^_g(t + τ_n).

IV. 2 Inversion de l'équation de l'actionneur et de la lingotière

À partir du débit de gonflement estimé en t + τ_n, Q^_g(t + τ_n), on souhaite déterminer quelle doit être la commande à imposer P_g(t) à l'actionneur pour modifier en conséquence le débit entrant Q_(in,g)(t) dans la lingotière.
On rappelle que la fonction de transfert reliant le débit entrant dans la lingotière Q_(in) à la consigne de l'actionneur P^⋆ (en l'absence de P_g ) est :
(Q_(in)(p))/(P^⋆(p)) = (G_n e^(− τ_n p))/(1 + τ_a p)
Q44. Déterminer la relation dans le domaine temporel permettant de déterminer la modification de consigne P_g(t) en fonction de Q^_g(t + τ_n) et Q˙^_g(t + τ_n) en travaillant par analogie avec la fonction de transfert précédente.
Figure 23 - Résultats expérimentaux d'un essai de coulée avec compensation activée ou non.

IV. 3 Validation expérimentale

L'essai expérimental se déroule dans les conditions suivantes :
  • la consigne de niveau est de 200 mm ,
  • de 0 à 200 s , l'écoulement se met en place et atteint son régime permanent à t = 200 s,
  • la procédure de compensation n'est activée que pendant les intervalles 400 à 600 s et 800 à 1000 s .
    La Figure 23(a) donne l'évolution du niveau dans la lingotière N(t), la Figure 23(b) donne l'évolution de la consigne de compensation P_g(t), la Figure 23(c) donne l'évolution de la position de la quenouille P(t) et la Figure 23(d) donne l'évolution du débit estimé Q^_g(t). Q45. Commenter ces différentes courbes à partir de t = 200 s.

V Synthèse

Q46. Réexpliquer en 10 à 15 lignes la démarche de modélisation qui a été adoptée dans le sujet ainsi que les résultats clés qui ont été mis en évidence.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de modélisation PSI banque X-InterENS 2014 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de modélisation PSI banque X-InterENS 2014 ?

Il porte sur la mécanique des fluides, l'électromagnétisme (capteur à courants de Foucault), l'automatique (fonctions de transfert, représentation d'état, observateurs) réunis autour de la régulation industrielle de la coulée continue de l'acier.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise que même si certaines parties peuvent être traitées séparément, il est préférable de suivre le questionnement proposé, les parties II à IV s'appuyant sur la modélisation établie en partie I.

Quel est le système industriel étudié dans ce sujet ?

Une machine de coulée continue d'acier, où l'acier en fusion est coulé dans une lingotière sans fond ; le sujet étudie la régulation du niveau d'acier dans cette lingotière pour éviter les défauts dans le matériau final.

Le sujet demande-t-il des connaissances en automatique avancée ?

Oui, il mobilise la représentation d'état, la notion d'observabilité, la construction d'un observateur dynamique et l'approximation de Padé pour linéariser un retard, au-delà des fonctions de transfert classiques.

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