Feuille d'entraînement : Conversion de puissance

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q18

   Les deux enroulements n'ayant pas de résistance ohmique significative et étant orientés en convention récepteur relativement aux courants i_a(t) et i_b(t), les tensions à leurs bornes s'expriment par la loi de Faraday :

   \begin{aligned} u_a(t) &= L_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \\ u_b(t) &= M \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + L_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

   Dans le cas où r_a = r_b (couplage parfait k=1), d'après les résultats de la question Q17, on a :

   \frac{L_a}{N_a^2} = \frac{L_b}{N_b^2} = \frac{M}{N_a N_b} = \Lambda \quad \text{avec} \quad \Lambda = \frac{\mu_0 \pi r_a^2}{\ell}

   On peut donc réécrire les inductances sous la forme :

   L_a = \Lambda N_a^2, \quad L_b = \Lambda N_b^2 \quad \text{et} \quad M = \Lambda N_a N_b

   En injectant ces expressions dans les équations électriques :

   \begin{aligned} u_a(t) &= \Lambda N_a^2 \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + \Lambda N_a N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} = N_a \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right) \\ u_b(t) &= \Lambda N_a N_b \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + \Lambda N_b^2 \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} = N_b \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right) \end{aligned}

   En divisant respectivement par N_a et N_b, on obtient le même membre de droite :

   \frac{u_a(t)}{N_a} = \frac{u_b(t)}{N_b} = \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right)

   D'où la relation fondamentale du transformateur idéal :

   \boxed{\frac{u_a(t)}{N_a} = \frac{u_b(t)}{N_b}}

   Résultat

   $$\frac{u_a(t)}{N_a}=\frac{u_b(t)}{N_b}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q27

   1. Principe du champ d'énergie potentielle glissant

   Pour que l'aimant subisse en continu une force motrice dirigée vers la droite (\vec{F} = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x}\vec{e}_x > 0), il doit en permanence se situer sur une pente descendante de l'énergie potentielle.

   Le système de contrôle commande l'alimentation des spires successives du stator par l'intermédiaire d'un onduleur :

   • en inversant le sens du courant ou en alimentant les spires par des courants déphasés dans le temps, la polarité magnétique des bobines alterne au cours du temps ;
   • les pôles Nord et Sud créés par le stator se propagent ainsi le long de l'axe (Ox) vers la droite sous forme d'une onde magnétique progressive. Le profil d'énergie potentielle E_p(x,t) glisse donc vers la droite à une vitesse synchrone v_s(t) modulable.

   2. Nécessité d'une rétroaction

   Au cours de la phase de lancement, le train accélère : sa vitesse v(t) et sa position x(t) évoluent en permanence. De plus, la masse du train dépend du nombre de passagers et des frottements imprévisibles (résistance de l'air, frottements mécaniques) peuvent perturber le mouvement.

   En boucle ouverte, le moindre écart entre la vitesse de l'onde glissante et celle du train entraînerait un décrochage synchrone : l'aimant se retrouverait alors sur une pente montante du profil d'énergie potentielle (\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}x > 0), produisant une force de freinage brutale et une perte de propulsion.

   Une boucle de rétroaction est donc indispensable pour adapter à chaque instant la fréquence et la phase d'alimentation des spires à la position réelle du train (autopilotage).

   3. Réalisation pratique de la rétroaction

   Cette rétroaction peut être réalisée en pratique par :

   • des capteurs de position disposés le long de la voie (capteurs à effet Hall détectant le passage des aimants du train, barrières optiques ou capteurs inductifs) ;
   • une unité de commande (calculateur temps réel) qui reçoit les signaux de position, évalue la vitesse instantanée du train et pilote les interrupteurs de puissance (onduleur) afin d'injecter le courant au moment précis où chaque aimant se situe dans la position motrice optimale identifiée à la question Q26.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q40

   Le régulateur-élévateur de tension présente trois intérêts majeurs pour la lampe de secours :

   • Exploitation quasi-totale de l'énergie stockée (gain d'autonomie) :
     En branchement direct, la DEL s'éteint dès que la tension descend sous U_{\text{fin}} \approx 2{,}4\text{ V}, laissant plus de 50\,\% de l'énergie emmagasinée inexploitée (question Q39). Le convertisseur accepte une tension d'entrée V_{\text{in}} descendant jusqu'à 0{,}5\text{ V} tout en maintenant la tension requise par la DEL en sortie. Le taux d'énergie résiduelle non utilisée chute alors à :

     \left(\frac{0{,}5}{3{,}3}\right)^2 \approx 2{,}3\,\%

     ce qui permet d'utiliser environ 98\,\% de l'énergie initiale et d'atteindre la durée d'éclairage de 20 minutes promise par le constructeur.

   • Stabilité du flux lumineux :
     Au lieu d'une luminosité qui décroît exponentiellement dès l'allumage, le régulateur fournit une tension de sortie constante V_{\text{out}}, garantissant un courant et donc une intensité d'éclairage stables tout au long de l'utilisation.
   • Protection de la DEL :
     Grâce à sa régulation descendante lorsque la tension d'entrée est supérieure à la sortie (V_{\text{in}} > V_{\text{out}}), le dispositif évite le pic de surintensité initiale (I_0 = 500\text{ mA} > i_M, mis en évidence en Q37) lors de la fermeture du circuit à pleine charge (U_0 = 3{,}3\text{ V}).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q42

   Le rendement \eta de conversion photovoltaïque est défini comme le rapport entre la puissance électrique délivrée P_{\text{élec}} et la puissance radiative reçue P_{\text{reçue}} par le panneau :

   \eta = \frac{P_{\text{élec}}}{P_{\text{reçue}}}

   Le rendement étant supposé indépendant du flux solaire incident, la puissance électrique fournie par le panneau s'exprime par :

   P_{\text{élec}} = \eta \, P_{\text{reçue}}

   D'après le tableau 3, le rendement vaut \eta = 20\,\% = 0{,}20, et d'après la question Q41, la puissance reçue en ensoleillement moyen est P_{\text{reçue}} = 250\text{ W}.

   On en déduit :

   P_{\text{élec}} = 0{,}20 \times 250\text{ W}

   \boxed{P_{\text{élec}} = 50\text{ W}}

   Résultat

   $$P_{\text{eˊlec}}=50\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question