Feuille d'entraînement : Électrocinétique et électronique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q15

   Dans le sol assimilé à un conducteur ohmique de conductivité \gamma_{\text{sol}}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

   \vec{j} = \gamma_{\text{sol}} \vec{E}

   En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q14, \vec{E} = -\dfrac{U}{c}\vec{u}_x, on a :

   \vec{j} = -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x

   Le courant circule physiquement dans le sens des potentiels décroissants, soit de l'armature de droite (à potentiel V_d = U) vers l'armature de gauche (à potentiel V_g = 0), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_x.

   On choisit d'orienter l'intensité I de l'électrode droite vers l'électrode gauche, en définissant le vecteur unitaire normal sortant de la section transverse par \vec{n} = -\vec{u}_x.

   L'intensité totale I traversant une section droite de sol de surface S = ab s'exprime par le flux du vecteur densité de courant :

   \begin{aligned} I &= \iint_{\mathcal{S}} \vec{j} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\mathcal{S}} \left( -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x \right) \cdot (-\vec{u}_x) \, \mathrm{d}S \\ &= \gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c} \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S \end{aligned}

   Comme \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = ab, on obtient :

   \boxed{I = \gamma_{\text{sol}} \frac{ab}{c} U}

   Résultat

   $$I={\gamma }_{\text{sol}}\frac{ab}{c}U$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2026, Q21

   L'ALI 1 est modélisé comme un amplificateur opérationnel idéal. Ses courants de polarisation d'entrée sont donc nuls :

   i^+ = i^- = 0

   Aucun courant ne dérivant vers la borne non-inverseuse reliée au nœud A, le courant qui traverse la résistance R traverse intégralement la résistance R_3. Ces deux dipôles sont donc en association série.

   La branche constituée de l'association série de R et R_3 est soumise à la tension constante V_0, avec la borne inférieure de R_3 reliée à la masse de référence (V = 0\text{ V}). Par la formule du diviseur de tension, le potentiel au nœud A s'écrit :

   \boxed{V_A = \frac{R_3}{R + R_3} V_0}

   L'ALI 1 possède une rétroaction négative directe (la sortie B est rebouclée sur l'entrée inverseuse). Il fonctionne donc en régime linéaire, ce qui assure l'égalité des potentiels d'entrée :

   \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V_B = V^- = V^+ = V_A

   Le potentiel au nœud B est par conséquent identique à celui du nœud A :

   \boxed{V_B = \frac{R_3}{R + R_3} V_0}

   Résultat

   $$V_A=\frac{R_3}{R+R_3}{V}_0$$

   $$V_B=\frac{R_3}{R+R_3}{V}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2026, Q22

   Le montage réalisé autour de l'ALI 1 présente un bouclage direct de la sortie sur l'entrée inverseuse (e^- = V_B) et reçoit la tension à mesurer sur son entrée non-inverseuse (e^+ = V_A). Un tel montage est appelé un montage suiveur de tension (ou simplement suiveur).

   \boxed{\text{Montage suiveur de tension (ou étage suiveur)}}

   L'intérêt principal de cet étage suiveur réside dans l'adaptation d'impédance (ou l'isolation d'étages) :

   • Impédance d'entrée infinie : le courant d'entrée de l'ALI idéal étant nul (i^+ = 0), l'étage amont (le pont diviseur de tension constitué de R et R_3) ne débite aucun courant vers l'ALI. Ainsi, la mesure de tension V_A n'est pas perturbée par l'aval (absence d'effet de charge).
   • Impédance de sortie nulle : la sortie de l'ALI impose la tension V_B = V_A quel que soit le courant appelé par le circuit aval (ici la résistance R_1 du bloc 3).

   Résultat

   $$\text{Montage suiveur de tension (ou eˊtage suiveur)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Modelisation PSI 2026, Q11

   D'après le schéma-bloc de la figure 4, avec C(p) = 1 :

   • le signal d'écart vaut :

     \varepsilon(p) = U_c(p) - U_{\text{mes}}(p) = K_a Q_c(p) - K_q Q_s(p)

   • la chaîne directe fournit le débit de la pompe :

     Q_p(p) = K_{\text{pom}} \Omega_m(p) = K_{\text{pom}} H(p) K_v C(p) \varepsilon(p) = \frac{K_v K_m K_{\text{pom}}}{1 + \tau_m p} \varepsilon(p)

   En posant K_0 = K_v K_m K_{\text{pom}}, la transmittance de la chaîne directe s'écrit :

   T_d(p) = \frac{K_0}{1 + \tau_m p}

   Au niveau du sommateur de sortie, la diminution de débit due aux pertes de charge intervient de façon soustractive :

   Q_s(p) = Q_p(p) - Q_{pc}(p) = T_d(p) \left[ K_a Q_c(p) - K_q Q_s(p) \right] - Q_{pc}(p)

   En regroupant les termes en Q_s(p) :

   \left[ 1 + K_q T_d(p) \right] Q_s(p) = K_a T_d(p) Q_c(p) - Q_{pc}(p)

   D'où l'expression du débit de sortie :

   Q_s(p) = \frac{K_a T_d(p)}{1 + K_q T_d(p)} Q_c(p) - \frac{1}{1 + K_q T_d(p)} Q_{pc}(p)

   En remplaçant T_d(p) = \frac{K_0}{1 + \tau_m p} :

   \begin{aligned} H_1(p) &= \frac{K_a \dfrac{K_0}{1 + \tau_m p}}{1 + K_q \dfrac{K_0}{1 + \tau_m p}} = \frac{K_a K_0}{1 + K_q K_0 + \tau_m p} = \frac{\dfrac{K_a K_0}{1 + K_q K_0}}{1 + \dfrac{\tau_m}{1 + K_q K_0} p} \\ H_2(p) &= -\frac{1}{1 + K_q \dfrac{K_0}{1 + \tau_m p}} = -\frac{1 + \tau_m p}{1 + K_q K_0 + \tau_m p} = -\frac{\dfrac{1}{1 + K_q K_0} (1 + \tau_m p)}{1 + \dfrac{\tau_m}{1 + K_q K_0} p} \end{aligned}

   En introduisant le gain en boucle ouverte K_{\text{BO}} = K_q K_0 = K_q K_v K_m K_{\text{pom}} et la constante de temps en boucle fermée \tau_{\text{BF}} = \frac{\tau_m}{1 + K_{\text{BO}}} :

   \boxed{H_1(p) = \frac{K_1}{1 + \tau_{\text{BF}} p} \quad \text{avec} \quad K_1 = \frac{K_a K_v K_m K_{\text{pom}}}{1 + K_q K_v K_m K_{\text{pom}}} \quad \text{et} \quad \tau_{\text{BF}} = \frac{\tau_m}{1 + K_q K_v K_m K_{\text{pom}}}}

   \boxed{H_2(p) = K_2 \frac{1 + \tau_m p}{1 + \tau_{\text{BF}} p} \quad \text{avec} \quad K_2 = -\frac{1}{1 + K_q K_v K_m K_{\text{pom}}}}

   Remarque : si la perturbation Q_{pc}(p) est comptée additivement au sommateur, le gain K_2 prend le signe positif + \frac{1}{1 + K_q K_v K_m K_{\text{pom}}}.

   Résultat

   $$H_1(p)=\frac{K_1}{1+{\tau }_{\text{BF}}p}\text{avec}{K}_1=\frac{K_a{K}_v{K}_m{K}_{\text{pom}}}{1+K_q{K}_v{K}_m{K}_{\text{pom}}}\text{et}{\tau }_{\text{BF}}=\frac{{\tau }_m}{1+K_q{K}_v{K}_m{K}_{\text{pom}}}$$

   $$H_2(p)=K_2\frac{1+{\tau }_{m}p}{1+{\tau }_{\text{BF}}p}\text{avec}{K}_2=-\frac{1}{1+K_q{K}_v{K}_m{K}_{\text{pom}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Modelisation PSI 2026, Q13

   Le correcteur proportionnel-intégral choisi a pour fonction de transfert :

   C(p) = K_p \left(\frac{1 + T_i p}{T_i p}\right) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)

   1. Précision vis-à-vis de la consigne (écart de position \epsilon_s) : La transmittance en boucle ouverte corrigée s'écrit :

   T_{\text{BO}}(p) = K_q C(p) K_v H(p) K_{\text{pom}} = \frac{K_q K_p K_v K_m K_{\text{pom}}}{T_i p} \frac{1 + T_i p}{1 + \tau_m p}

   La boucle ouverte comporte désormais une intégration pure (p^1 au dénominateur) : le système asservi est donc de classe 1.

   Comme K_a = K_q (condition établie à la question Q10 pour un retour unitaire équivalent), la valeur finale de l'écart pour une consigne en échelon Q_c(p) = \frac{Q_{c0}}{p} vaut, d'après le théorème de la valeur finale :

   \epsilon_s = \lim_{t \to +\infty} \epsilon(t) = \lim_{p \to 0} p \, \frac{K_a Q_c(p)}{1 + T_{\text{BO}}(p)} = \lim_{p \to 0} \frac{K_a Q_{c0}}{1 + T_{\text{BO}}(p)} = 0

   puisque \lim_{p \to 0} |T_{\text{BO}}(p)| = +\infty. L'exigence \epsilon_s = 0 est donc respectée.

   2. Précision vis-à-vis de la perturbation (écart \epsilon_{\text{pert}}) : La perturbation Q_{pc}(p) intervient au niveau du débit de sortie Q_s. L'intégrateur du correcteur C(p) est situé dans la chaîne directe, en amont du point d'injection de la perturbation.

   Pour une perturbation en échelon Q_{pc}(p) = \frac{Q_{pc0}}{p} (avec consigne nulle Q_c = 0), l'écart s'écrit :

   \epsilon_{\text{pert}}(p) = -K_q Q_s(p) = \frac{K_q}{1 + C(p) K_v H(p) K_{\text{pom}} K_q} \, Q_{pc}(p)

   En appliquant le théorème de la valeur finale :

   \epsilon_{\text{pert}} = \lim_{p \to 0} p \, \epsilon_{\text{pert}}(p) = \lim_{p \to 0} \frac{K_q Q_{pc0}}{1 + T_{\text{BO}}(p)} = 0

   L'effet de la perturbation constante est donc totalement rejeté en régime permanent : l'exigence \epsilon_{\text{pert}} = 0 est respectée.

   \boxed{\text{L'intégration pure introduite par le régulateur PI assure à la fois } \epsilon_s = 0 \text{ et } \epsilon_{\text{pert}} = 0.}

   Résultat

   $$\text{L’inteˊgration pure introduite par le reˊgulateur PI assure aˋ la fois }{ϵ}_s=0\text{ et }{ϵ}_{\text{pert}}=0.$$

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6. Exercice 6CCINP Modelisation PSI 2026, Q14

   La fonction de transfert en boucle ouverte non corrigée possède un unique pôle en -\frac{1}{\tau_m} issu de la fonction de transfert du moteur H(p) = \frac{K_m}{1 + \tau_m p}.

   En insérant le correcteur proportionnel intégral C(p) = K_p \left(\frac{1 + T_i p}{T_i p}\right), la fonction de transfert en boucle ouverte du système asservi (en l'absence de perturbation, Q_{pc}(p) = 0) s'écrit :

   \begin{aligned} H_{BO}(p) &= C(p) \cdot K_v \cdot H(p) \cdot K_{\text{pom}} \cdot K_q \\ &= K_p \left( \frac{1 + T_i p}{T_i p} \right) \cdot \frac{K_v K_m K_{\text{pom}} K_q}{1 + \tau_m p} \end{aligned}

   Pour compenser le pôle dominant du procédé lié à la constante de temps du moteur \tau_m, on règle le temps d'intégration T_i de façon à faire coïncider le zéro du correcteur avec ce pôle :

   \boxed{T_i = \tau_m = 1\text{ s}}

   Après simplification du terme (1 + T_i p) avec (1 + \tau_m p), la fonction de transfert en boucle ouverte se réduit à un comportement d'intégrateur pur :

   \boxed{H_{BO}(p) = \frac{K_{BO}}{p}}

   où le gain en boucle ouverte K_{BO} s'exprime littéralement par :

   \boxed{K_{BO} = \frac{K_p K_v K_m K_{\text{pom}} K_q}{T_i}}

   Comme T_i = 1\text{ s}, on retrouve bien l'expression numérique :

   K_{BO} = \frac{10 \times 10 \times 9\cdot 10^{-6} \times 1}{1} \cdot K_p = 9\cdot 10^{-4} \, K_p

   Résultat

   $$T_i={\tau }_m=1\text{ s}$$

   $$H_{BO}(p)=\frac{K_{BO}}{p}$$

   $$K_{BO}=\frac{K_p{K}_v{K}_m{K}_{\text{pom}}{K}_q}{T_i}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Modelisation TSI 2026, Q2

   La fonction R_e étant continue et 2\pi-périodique sur \mathbb{R}, ses coefficients trigonométriques de Fourier associés à l'écriture de la somme partielle

   S_N(\theta) = a_0 + \sum_{k=1}^{N-1} \left[ a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta) \right]

   sont définis, pour tout intervalle d'intégration de longueur 2\pi (par exemple [-\pi, \pi] ou [0, 2\pi]), par :

   • pour k = 0 (valeur moyenne de la fonction) :

     \boxed{a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \, \mathrm{d}\theta}

   • pour tout entier k \in \mathbb{N}^* :

     \boxed{a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \cos(k\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \cos(k\theta) \, \mathrm{d}\theta}
     \boxed{b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \sin(k\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \sin(k\theta) \, \mathrm{d}\theta}

   Résultat

   $$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{R}_e(\theta )\mathrm{d}\theta =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{R}_e(\theta )\mathrm{d}\theta$$

   $$a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{R}_e(\theta )\cos (k\theta )\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{R}_e(\theta )\cos (k\theta )\mathrm{d}\theta$$

   $$b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{R}_e(\theta )\sin (k\theta )\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{R}_e(\theta )\sin (k\theta )\mathrm{d}\theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Modelisation TSI 2026, Q5

   Soit R_e : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction 2\pi-périodique.

   Si R_e est de classe \mathcal{C}^1 par morceaux sur \mathbb{R}, alors pour tout réel \theta \in \mathbb{R}, sa série de Fourier converge simplement et a pour somme :

   \lim_{N \to +\infty} S_N(\theta) = a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta) \right] = \frac{R_e(\theta^+) + R_e(\theta^-)}{2}

   où R_e(\theta^+) et R_e(\theta^-) désignent respectivement les limites à droite et à gauche de R_e en \theta.

   Comme la fonction R_e est de plus continue sur \mathbb{R}, on a en tout point \theta \in \mathbb{R} :

   R_e(\theta^+) = R_e(\theta^-) = R_e(\theta)

   La série de Fourier converge donc simplement vers la fonction R_e elle-même :

   \boxed{\forall \theta \in \mathbb{R}, \quad a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta) \right] = R_e(\theta)}

   Résultat

   $$\forall \theta \in \mathbb{R},a_0+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[a_k\cos (k\theta )+b_k\sin (k\theta )\right]=R_e(\theta )$$

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9. Exercice 9CCINP Modelisation TSI 2026, Q17

   1. Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :

   En l'absence de perturbation (C_r(p) = 0), la boucle interne présente une chaîne directe de transmittance :

   H_d(p) = \frac{K_t}{R + Lp} \cdot \frac{1}{C_f p^2 + K_x}

   et une chaîne de retour de transmittance :

   B(p) = \frac{K_e \left[ (C_f + C_s)p^2 + K_x \right]}{C_s p}

   La transmittance de cette boucle interne, H_u(p) = \left. \frac{\Theta(p)}{U(p)} \right|_{C_r=0}, vaut :

   \begin{aligned} H_u(p) &= \frac{H_d(p)}{1 + H_d(p)B(p)} \\ &= \frac{\dfrac{K_t}{(R + Lp)(C_f p^2 + K_x)}}{1 + \dfrac{K_t K_e \left[(C_f + C_s)p^2 + K_x\right]}{(R + Lp)(C_f p^2 + K_x) C_s p}} \\ &= \frac{K_t C_s p}{(R + Lp)(C_f p^2 + K_x) C_s p + K_t K_e \left[(C_f + C_s)p^2 + K_x\right]} \end{aligned}

   La fonction de transfert en boucle ouverte de la boucle principale s'écrit donc :

   \boxed{\mathrm{FTBO}(p) = K_{\text{capt}} \, C(p) \, \frac{K_t C_s p}{(R + Lp)(C_f p^2 + K_x) C_s p + K_t K_e \left[(C_f + C_s)p^2 + K_x\right]}}

   2. Classe minimale du correcteur :

   L'erreur au niveau du comparateur est \varepsilon(p) = A \, \Theta_c(p) - K_{\text{capt}} \Theta(p). En choisissant le préfiltre d'adaptation A = K_{\text{capt}}, l'erreur s'écrit :

   \varepsilon(p) = \frac{K_{\text{capt}} \Theta_c(p) - K_{\text{capt}} H_r(p) C_r(p)}{1 + \mathrm{FTBO}(p)}

   où H_r(p) = \left. \frac{\Theta(p)}{C_r(p)} \right|_{U=0} = \dfrac{(R + Lp) C_s p}{(R + Lp)(C_f p^2 + K_x) C_s p + K_t K_e \left[(C_f + C_s)p^2 + K_x\right]}.

   Notons que le dénominateur de H_u(p) ne s'annule pas en p=0 car son terme constant vaut K_t K_e K_x \neq 0. Par suite, au voisinage de p=0 :

   H_u(p) \underset{p \to 0}{\sim} \frac{C_s}{K_e K_x} \, p

   Le processus présente ainsi un zéro à l'origine.

   Si le correcteur est de classe \alpha \in \mathbb{N}, de la forme C(p) = \dfrac{C_0(p)}{p^\alpha} avec C_0(0) \neq 0, le comportement basse fréquence de la FTBO est :

   \mathrm{FTBO}(p) \underset{p \to 0}{\sim} \frac{K_{\text{capt}} C_0(0) C_s}{K_e K_x} \cdot \frac{1}{p^{\alpha - 1}}

   • Échelon de consigne \Theta_c(p) = \dfrac{\Theta_{c0}}{p} (avec C_r = 0) :
     D'après le théorème de la valeur finale :

     \varepsilon_{s,c} = \lim_{p \to 0} p \varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} \frac{K_{\text{capt}} \Theta_{c0}}{1 + \mathrm{FTBO}(p)}

     Pour annuler cette erreur statique, il est nécessaire que \lim_{p \to 0} \mathrm{FTBO}(p) = +\infty, ce qui impose :

     \alpha - 1 \geqslant 1 \iff \alpha \geqslant 2

   • Échelon de perturbation C_r(p) = \dfrac{C_{r0}}{p} (avec \Theta_c = 0) :
     Comme H_r(p) \underset{p \to 0}{\sim} \dfrac{R C_s p}{K_t K_e K_x}, l'erreur statique due à la perturbation vaut :

     \varepsilon_{s,r} = \lim_{p \to 0} - \frac{K_{\text{capt}} H_r(p) C_{r0}}{1 + \mathrm{FTBO}(p)} = \frac{0}{+\infty} = 0 \quad (\text{dès lors que } \alpha \geqslant 2)

   La classe minimale du correcteur C(p) est donc :

   \boxed{\alpha_{\min} = 2}

   3. Proposition d'un correcteur :

   Pour introduire ce double intégrateur tout en assurant la stabilité en boucle fermée via une avance de phase, on propose un correcteur de la forme :

   \boxed{C(p) = \frac{K_i}{p^2} \, (1 + \tau_1 p)(1 + \tau_2 p)}

   avec K_i > 0, \tau_1 > 0 et \tau_2 > 0.

   Résultat

   $$\mathrm{FTBO}(p)=K_{\text{capt}}C(p)\frac{K_t{C}_{s}p}{(R+Lp)(C_f{p}^2+K_x)C_{s}p+K_t{K}_e\left[(C_f+C_s)p^2+K_x\right]}$$

   $${\alpha }_{\min }=2$$

   $$C(p)=\frac{K_i}{p^2}(1+{\tau }_{1}p)(1+{\tau }_{2}p)$$

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10. Exercice 10CCINP Physique PC 2026, Q27

    Considérons le circuit fermé constitué du condensateur de capacité C et de la bobine d'inductance L.

    Soit i(t) l'intensité du courant circulant dans le sens horaire dans la maille.

    • La tension u_c est orientée par une flèche pointant vers la gauche sur la branche supérieure. Le courant horaire entre par la borne positive de cette tension : en convention récepteur pour le condensateur, la relation intensité-tension s'écrit :

      i = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}.

    • Ce même courant i traverse la bobine dans la branche inférieure de la droite vers la gauche. En adoptant la convention récepteur pour la bobine, la tension u_L à ses bornes est fléchée vers la droite et vérifie :

      u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.

    D'après la loi des mailles orientée dans le sens horaire :

    u_c + u_L = 0 \iff u_c + L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0.

    En remplaçant l'expression de i(t) dans cette relation, on obtient :

    u_c + LC \frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} = 0,

    soit l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique :

    \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{LC}\,u_c = 0}

    Cette équation différentielle est de la forme \ddot{u}_c + \omega_{LC}^2 u_c = 0, avec une pulsation propre :

    \omega_{LC} = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

    La fréquence d'oscillation f_{LC} = \frac{\omega_{LC}}{2\pi} s'en déduit immédiatement :

    \boxed{f_{LC} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}

    Résultat

    $$\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_c}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{1}{LC}{u}_c=0$$

    $$f_{LC}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

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