Feuille d'entraînement : Électromagnétisme

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Modelisation PT 2026, Q15

   Dans un conducteur ohmique linéaire, homogène et isotrope de conductivité électrique \gamma, la loi d'Ohm locale (ou loi d'Ohm microscopique) relie linéairement et localement le vecteur densité volumique de courant de conduction \vec{j} au champ électrique \vec{E} :

   \boxed{\vec{j} = \gamma \vec{E}}

   où :

   • \vec{j} est la densité volumique de courant (en \mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^{-2}) ;
   • \gamma est la conductivité électrique du milieu (en \Omega^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1} ou \mathrm{S}\cdot\mathrm{m}^{-1}) ;
   • \vec{E} est le champ électrique local (en \mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}).

   Résultat

   $$\vec{j}=\gamma \vec{E}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Modelisation PT 2026, Q16

   D'après la loi d'Ohm locale (question Q15), le vecteur densité de courant de conduction s'écrit :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   La densité volumique de courant de déplacement introduite par Maxwell est :

   \vec{j}_{\mathrm{d}} = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   Pour une onde monochromatique de champ électrique \vec{E}(x,y,z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{i(\omega t - \underline{k}z)}\vec{e}_x, la dérivation temporelle correspond à une multiplication par i\omega :

   \underline{\vec{j}}_{\mathrm{d}} = i \epsilon \omega \underline{\vec{E}}

   En prenant la norme de ces grandeurs complexes, on a :

   \begin{aligned} \|\underline{\vec{j}}\| &= \gamma \|\underline{\vec{E}}\| \\ \|\underline{\vec{j}}_{\mathrm{d}}\| &= \epsilon \omega \|\underline{\vec{E}}\| \end{aligned}

   Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction (\|\vec{j}_{\mathrm{d}}\| \ll \|\vec{j}\|) si et seulement si :

   \epsilon \omega \ll \gamma \iff \omega \ll \frac{\gamma}{\epsilon}

   La pulsation critique cherchée est donc :

   \boxed{\omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon}}

   Résultat

   $${\omega }_c=\frac{\gamma }{ϵ}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Modelisation PT 2026, Q17

   Dans l'eau de mer assimilée à un conducteur ohmique neutre (\rho = 0) en régime basse fréquence (\omega \ll \omega_c), les équations de Maxwell s'écrivent :

   • Maxwell-Gauss : \mathrm{div}\,\vec{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon} = 0 ;
   • Maxwell-Faraday : \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} ;

   • Maxwell-Ampère (avec courant de déplacement négligé d'après Q16 et loi d'Ohm locale d'après Q15) :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} \approx \mu_0 \vec{j} = \mu_0 \gamma \vec{E}

   Utilisons l'identité du double rotationnel appliquée au champ électrique :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta \vec{E}

   Puisque \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, il vient :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = -\Delta \vec{E}

   En substituant la loi de Maxwell-Faraday et en permutant les dérivées spatio-temporelles :

   \begin{aligned} -\Delta \vec{E} &= \vec{\mathrm{rot}}\!\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 \gamma \vec{E}) \\ &= -\mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

   En regroupant tous les termes dans le membre de gauche, on obtient bien l'équation vérifiée par le champ électrique :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

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4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2026, Q12

   1. Condition sur les dimensions :

   Les effets de bord peuvent être négligés lorsque l'espacement c entre les électrodes est très inférieur à leurs dimensions caractéristiques a et b :

   \boxed{c \ll a \quad \text{et} \quad c \ll b}

   Ici, c = 1\text{ cm} alors que a = 12\text{ cm} et b = 10\text{ cm}, ce qui assure un rapport de l'ordre de 1/10. Les armatures peuvent donc être modélisées par des plans infinis selon les directions transverses.

   2. Étude des invariances :

   En négligeant les effets de bord, la distribution de charges est invariante par toute translation selon l'axe (Oy) et selon l'axe (Oz). Par conséquent, le potentiel et le champ électrique ne dépendent pas des coordonnées y et z :

   V(x, y, z) = V(x) \quad \text{et} \quad \vec{E}(x, y, z) = \vec{E}(x)

   3. Étude des symétries :

   Considérons un point M(x, y, z) quelconque situé dans l'espace inter-électrodes :

   • Le plan passant par M et de vecteur normal \vec{u}_y (parallèle au plan (Oxz)) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique en M est donc contenu dans ce plan, d'où :

     E_y(x) = 0

   • Le plan passant par M et de vecteur normal \vec{u}_z (parallèle au plan (Oxy)) est également un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique en M est donc contenu dans ce plan, d'où :

     E_z(x) = 0

   Le champ électrique n'a donc qu'une composante selon \vec{u}_x.

   On en déduit bien :

   \boxed{\vec{E} = E(x)\vec{u}_x \quad \text{et} \quad V(x, y, z) = V(x)}

   Résultat

   $$c\ll a\text{et}c\ll b$$

   $$\vec{E}=E(x){\vec{u}}_x\text{et}V(x,y,z)=V(x)$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2026, Q13

   L'équation de Poisson reliant le potentiel électrostatique V à la densité volumique de charge \rho s'écrit :

   \Delta V + \frac{\rho}{\varepsilon} = 0 \quad \text{soit} \quad \Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon}

   où \varepsilon désigne la permittivité diélectrique du milieu considéré (ici le sol).

   D'après le préambule de la sous-partie, le sol reste électriquement neutre, ce qui se traduit par une densité volumique de charge nulle dans l'espace inter-électrodes : \rho = 0. L'équation de Poisson devient alors l'équation de Laplace :

   \Delta V = 0

   D'après l'étude d'invariance menée à la question Q12, le potentiel ne dépend que de la seule coordonnée spatiale x, soit V(x,y,z) = V(x). Le laplacien se réduit donc à sa dérivée seconde spatiale :

   \frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}x^2} = 0

   En intégrant deux fois successivement par rapport à x, on obtient une fonction affine :

   V(x) = A\,x + B \quad (A, B \in \mathbb{R})

   Les constantes d'intégration se déterminent à l'aide des conditions aux limites établies à la question Q11 :

   • en x = 0 (armature de gauche) : V(0) = V_g = 0 \implies B = 0 ;
   • en x = c (armature de droite) : V(c) = V_d = U \implies A\,c = U \implies A = \dfrac{U}{c}.

   On en déduit l'expression du potentiel dans l'espace inter-électrodes :

   \boxed{V(x) = \frac{U}{c}\,x}

   Résultat

   $$V(x)=\frac{U}{c}x$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2026, Q15

   Dans le sol assimilé à un conducteur ohmique de conductivité \gamma_{\text{sol}}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

   \vec{j} = \gamma_{\text{sol}} \vec{E}

   En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q14, \vec{E} = -\dfrac{U}{c}\vec{u}_x, on a :

   \vec{j} = -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x

   Le courant circule physiquement dans le sens des potentiels décroissants, soit de l'armature de droite (à potentiel V_d = U) vers l'armature de gauche (à potentiel V_g = 0), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_x.

   On choisit d'orienter l'intensité I de l'électrode droite vers l'électrode gauche, en définissant le vecteur unitaire normal sortant de la section transverse par \vec{n} = -\vec{u}_x.

   L'intensité totale I traversant une section droite de sol de surface S = ab s'exprime par le flux du vecteur densité de courant :

   \begin{aligned} I &= \iint_{\mathcal{S}} \vec{j} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\mathcal{S}} \left( -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x \right) \cdot (-\vec{u}_x) \, \mathrm{d}S \\ &= \gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c} \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S \end{aligned}

   Comme \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = ab, on obtient :

   \boxed{I = \gamma_{\text{sol}} \frac{ab}{c} U}

   Résultat

   $$I={\gamma }_{\text{sol}}\frac{ab}{c}U$$

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7. Exercice 7CCINP Modelisation PC 2026, Q27

   Appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}})\big) = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\left(-\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{B}})\big)

   En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans la solution chimique, \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{B}}) = \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t}, il vient :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}})\big) = -\underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2}

   D'autre part, d'après l'identité vectorielle rappelée en annexe :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}})\big) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\big(\operatorname{div}(\underline{\vec{E}})\big) - \vec{\Delta}\underline{\vec{E}}

   Puisque le milieu est globalement neutre en charges libres, l'équation de Maxwell-Gauss donne \operatorname{div}\underline{\vec{E}} = 0. Il en résulte :

   -\vec{\Delta}\underline{\vec{E}} = -\underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2}

   Le champ électrique \underline{\vec{E}} vérifie donc l'équation de propagation de d'Alembert généralisée à un milieu diélectrique :

   \boxed{\vec{\Delta}\underline{\vec{E}} - \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Pour une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

   \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} - \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Résultat

   $$\vec{\Delta }\underline{\vec{E}}-\underline{\epsilon }{\mu }_0\frac{{\partial }^2\underline{\vec{E}}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

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8. Exercice 8CCINP Modelisation PC 2026, Q28

   D'après la question Q27, le champ électrique vérifie l'équation de propagation :

   \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} - \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(x,t) = E_0 \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} \vec{u}_y. En calculant ses dérivées temporelle et spatiale :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} &= (j\omega)^2 \underline{\vec{E}} = -\omega^2 \underline{\vec{E}} \\ \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} &= \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} = (-j\underline{k})^2 \underline{\vec{E}} = -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   En réinjectant ces expressions dans l'équation de propagation :

   -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} + \underline{\varepsilon}\mu_0 \omega^2 \underline{\vec{E}} = \vec{0}

   Cette égalité devant être vérifiée pour tout (x,t) et pour une onde non identiquement nulle (\underline{\vec{E}} \neq \vec{0}), il vient :

   \underline{k}^2 = \underline{\varepsilon}\mu_0 \omega^2

   Avec \underline{\varepsilon} = \varepsilon_r - j\varepsilon_i, on en déduit la relation de dispersion cherchée :

   \boxed{\underline{k}^2 = \mu_0\omega^2(\varepsilon_r - j\varepsilon_i)}

   Résultat

   $${\underline{k}}^2={\mu }_0{\omega }^2({\epsilon }_r-j{\epsilon }_i)$$

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9. Exercice 9CCINP Modelisation PC 2026, Q33

   D'après la formule rappelée en annexe, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting s'exprime en notation complexe par :

   \langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\frac{\underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^*}{\mu_0}\right)

   En utilisant les expressions du champ électrique et du champ magnétique obtenues aux questions Q29 et Q32 :

   \begin{aligned} \underline{\vec{E}}(x, t) &= E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \mathrm{e}^{j(\omega t - k' x)} \vec{u}_y \\ \underline{\vec{B}}(x, t) &= \frac{k' - j k''}{\omega} E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \mathrm{e}^{j(\omega t - k' x)} \vec{u}_z \end{aligned}

   Le conjugué du champ magnétique s'écrit :

   \underline{\vec{B}}^*(x, t) = \frac{k' + j k''}{\omega} E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \mathrm{e}^{-j(\omega t - k' x)} \vec{u}_z

   Le produit vectoriel \underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^* vaut donc, avec \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x :

   \begin{aligned} \underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^* &= E_0^2 \mathrm{e}^{-2k'' x} \frac{k' + j k''}{\omega} \mathrm{e}^{j(\omega t - k' x)} \mathrm{e}^{-j(\omega t - k' x)} \vec{u}_x \\ &= \frac{E_0^2}{\omega}(k' + j k'') \mathrm{e}^{-2k'' x} \vec{u}_x \end{aligned}

   En prenant la partie réelle :

   \langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle = \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{e}^{-2k'' x} \vec{u}_x

   L'intensité lumineuse I(x) = \|\langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle\| s'identifie à la forme I = I_0 \exp\left(-\frac{x}{\delta}\right) avec :

   \boxed{I_0 = \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega}} \quad \text{et} \quad \boxed{\delta = \frac{1}{2k''}}

   Résultat

   $$I_0=\frac{k^{\prime }{E}_0^2}{2{\mu }_0\omega }$$

   $$\delta =\frac{1}{2k^{\prime \prime }}$$

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10. Exercice 10CCINP Physique MP 2026, Q25

    a) Soit un point M repéré en coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) de pôle O, centre de la boule chargée.

    • Direction du champ : Tout plan passant par le centre O et le point M est un plan de symétrie de la distribution de charges. En particulier, les plans (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) et (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\varphi) sont des plans de symétrie. Le champ électrostatique \vec{E}(M) appartient à l'intersection de ces plans, il est donc purement radial :

      \vec{E}(M) = E(r, \theta, \varphi)\,\vec{u}_r

    • Dépendance du champ : La distribution de charge présente une invariance par toute rotation autour de son centre O. Les coordonnées angulaires \theta et \varphi n'influencent donc pas le champ, qui ne dépend que de la distance radiale r :

      \vec{E}(M) = E(r)\,\vec{u}_r

    b) On applique le théorème de Gauss à une surface sphérique fermée \mathcal{S}_G de centre O et de rayon r \leqslant R_{\mathrm{o}}, orientée vers l'extérieur.

    • Le flux du champ électrique à travers \mathcal{S}_G s'écrit :

      \Phi = \iint_{\mathcal{S}_G} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \iint_{\mathcal{S}_G} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

    • La distribution étant uniforme en volume, la densité volumique de charge est :

      \rho = \frac{Q_{\mathrm{o}}}{\frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{o}}^3}

      La charge intérieure à la sphère de Gauss de rayon r vaut donc :

      Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = Q_{\mathrm{o}}\left(\frac{r}{R_{\mathrm{o}}}\right)^3

    • D'après le théorème de Gauss, \Phi = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{\mathrm{o}}}, soit :

      \begin{aligned} 4\pi r^2 E(r) &= \frac{Q_{\mathrm{o}} r^3}{\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3} \\ E(r) &= \frac{Q_{\mathrm{o}} r}{4\pi\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3} \end{aligned}

    On en déduit l'expression vectorielle du champ électrique à l'intérieur de la boule (r \leqslant R_{\mathrm{o}}) :

    \boxed{\vec{E}(M) = \frac{Q_{\mathrm{o}}}{4\pi\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3}\,\vec{r}}

    c) Un électron de charge q = -e, situé en M (avec \vec{r} = \overrightarrow{OM}), subit de la part de cette distribution de charge positive la force de Coulomb :

    \vec{f}_{\text{coul}} = -e\,\vec{E}(M) = -\frac{e Q_{\mathrm{o}}}{4\pi\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3}\,\vec{r}

    La force de rappel \vec{f}_r = -\kappa \vec{r} modélise donc l'attraction électrostatique exercée par la sphère de charge positive sur l'électron lorsqu'il s'écarte du centre de l'atome.

    Par identification terme à terme, la constante de raideur \kappa s'écrit :

    \boxed{\kappa = \frac{e Q_{\mathrm{o}}}{4\pi\varepsilon_{\mathrm{o}} R_{\mathrm{o}}^3}}

    Résultat

    $$\vec{E}(M)=\frac{Q_{\mathrm{o}}}{4\pi {\epsilon }_{\mathrm{o}}{R}_{\mathrm{o}}^3}\vec{r}$$

    $$\kappa =\frac{e{Q}_{\mathrm{o}}}{4\pi {\epsilon }_{\mathrm{o}}{R}_{\mathrm{o}}^3}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question