Feuille d'entraînement : Mesures et incertitudes

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Modelisation PSI 2026, Q39

   Le vecteur des résidus s'écrit sous forme matricielle :

   \varepsilon = U_{\mathrm{PEMFC}} - \widetilde{U}_{\mathrm{PEMFC}} = U_{\mathrm{PEMFC}} - R p

   Le carré de la norme euclidienne de l'erreur est égal au produit scalaire canonique du vecteur des résidus avec lui-même :

   \begin{aligned} \|\varepsilon\|_2^2 &= \varepsilon^{\mathrm{t}} \varepsilon \\ &= \left(U_{\mathrm{PEMFC}} - R p\right)^{\mathrm{t}} \left(U_{\mathrm{PEMFC}} - R p\right) \\ &= \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} - p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}}\right) \left(U_{\mathrm{PEMFC}} - R p\right) \\ &= U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} - U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p - p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} + p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p \end{aligned}

   Le terme U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p étant un scalaire, il est égal à sa transposée :

   U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p = \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p\right)^{\mathrm{t}} = p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}

   On en déduit :

   \|\varepsilon\|_2^2 = U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} - 2\, U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p + p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p

   On dérive cette fonction par rapport au vecteur de paramètres p en utilisant les règles de dérivation fournies par l'énoncé :

   • \dfrac{\partial}{\partial p}\left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}\right) = 0 (terme indépendant de p) ;

   • avec y = U_{\mathrm{PEMFC}}, A = R et x = p :

     \frac{\partial}{\partial p} \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p\right) = R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}

   • avec A = R et x = p :

     \frac{\partial}{\partial p} \left(p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p\right) = 2 R^{\mathrm{t}} R p

   Le gradient de l'erreur quadratique par rapport à p vaut donc :

   \frac{\partial \|\varepsilon\|_2^2}{\partial p} = -2 R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} + 2 R^{\mathrm{t}} R p

   La fonction étant strictement convexe, le minimum global est atteint lorsque ce gradient s'annule, ce qui conduit à :

   -2 R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} + 2 R^{\mathrm{t}} R p = 0

   d'où l'équation normale :

   \boxed{\left(R^{\mathrm{t}} R\right) p = R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}}

   Résultat

   $$\left(R^{\mathrm{t}}R\right)p=R^{\mathrm{t}}{U}_{\mathrm{PEMFC}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q15

   1. Complétion des lignes 19 à 21 du code Python

   • Ligne 19 : La boucle interne doit parcourir les indices des points expérimentaux, soit de 0 à 9 (la taille du tableau y étant de 10). On écrit :

     for j in range(len(y)):   (ou for j in range(10):)

   • Ligne 20 : Le sujet précise dans ses données la fonction np.random.uniform(a, b). Si l'on modélise l'incertitude sur chaque mesure par une loi uniforme de demi-largeur \Delta centrée sur y_j, son écart-type (incertitude-type) vaut u_y = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}, soit \Delta = \sqrt{3}\,u_y. La valeur simulée est tirée uniformément dans [y_j - \sqrt{3}\,u_y,\, y_j + \sqrt{3}\,u_y] :

     Y_i.append(np.random.uniform(y[j] - np.sqrt(3)*u_y, y[j] + np.sqrt(3)*u_y))

     Remarque : l'instruction Y_i.append(np.random.uniform(y[j] - u_y, y[j] + u_y)) est également couramment acceptée si l'énoncé assimile u_y à la demi-largeur du tirage uniforme.

   • Ligne 21 : D'après les spécifications données en fin de sujet, la fonction np.polyfit(x, Y_i, 1) effectue la régression linéaire d'ordre 1 et renvoie le tuple (\text{pente}, \text{ordonnée à l'origine}), soit (a_i, b_i) :

     a_i, b_i = np.polyfit(x, Y_i, 1)

   2. Justification des lignes 30 et 31

   • Ligne 30 (kappa = np.exp(b_m)) : D'après la modélisation introduite à la question Q14, l'équation de la droite s'écrit :

     y = \beta x + \ln \kappa

     L'ordonnée à l'origine théorique est donc b = \ln \kappa, d'où :

     \kappa = \exp(b)

     Pour un grand nombre de tirages, la meilleure estimation de \kappa est donc calculée à partir de la valeur moyenne b_m des ordonnées à l'origine obtenues :

     \boxed{\kappa = \exp(b_m)}

   • Ligne 31 (u_kappa = kappa * u_b) : Considérons la relation fonctionnelle \kappa(b) = \exp(b). Par la formule de propagation des incertitudes au premier ordre (développement de Taylor pour une grandeur mono-variable) :

     u(\kappa) = \left| \frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}b} \right| u(b)

     Or \frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}b} = \exp(b) = \kappa > 0, ce qui conduit directement à :

     \boxed{u(\kappa) = \kappa \cdot u(b)}

     Cette relation justifie l'affectation u_kappa = kappa * u_b.

   Résultat

   $$\kappa =\exp (b_m)$$

   $$u(\kappa )=\kappa \cdot u(b)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Modelisation PSI 2026, Q41

   La comparaison entre le modèle d'ordre 1 et le modèle d'ordre 7 s'articule autour de trois critères majeurs :

   1. Précision et fidélité de la représentation (qualité d'ajustement) :

      • Critère statistique : On compare l'erreur quadratique globale \|\varepsilon\|_2^2 (ou l'erreur quadratique moyenne RMSE / le coefficient de détermination R^2). Le modèle d'ordre 7 minimise davantage cette erreur que le modèle linéaire.
      • Prise en compte des régimes physiques : La caractéristique expérimentale d'une pile PEMFC présente trois zones distinctes : la chute d'activation (forte décroissance logarithmique à faible densité J < 0{,}05\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2}), la zone ohmique (pente quasi-linéaire) et la chute de transport de matière/concentration aux fortes densités (J > 0{,}4\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2}). Le modèle d'ordre 7 épouse parfaitement la courbure d'activation et la saturation, tandis que le modèle d'ordre 1 échoue aux extrémités : à J=0, il sous-estime la f.é.m. à vide d'environ 0{,}1\text{ V} (0{,}96\text{ V} au lieu de 1{,}06\text{ V}).

   2. Complexité, robustesse et risque de surapprentissage (overfitting) :

      • Parcimonie : Le modèle d'ordre 1 ne requiert que deux paramètres (p_0, p_1), contre huit (p_0, \dots, p_7) pour l'ordre 7.
      • Robustesse et extrapolation : Un polynôme de degré élevé risque d'épouser le bruit de mesure plutôt que la dynamique physique et peut présenter des ondulations indésirables (phénomène de type Runge). De plus, l'extrapolation en dehors de la plage de mesure [0\,;\,0{,}45]\text{ A}\cdot\text{cm}^{-2} diverge très rapidement pour K=7, alors que le modèle d'ordre 1 reste stable.
      • Conditionnement numérique : L'inversion de R^{\mathrm{t}}R pour K=7 est plus sujette au mauvais conditionnement numérique.

   3. Interprétabilité physique et exploitabilité dans un schéma équivalent :

      • Le modèle d'ordre 1 s'identifie immédiatement à un dipôle générateur de Thévenin (source de tension idéale E_0 et résistance interne r_{\mathrm{int}}), directement intégrable dans des outils de modélisation électrique linéaire ou d'automatique.
      • Le modèle d'ordre 7 constitue un modèle de type « boîte noire » : ses coefficients n'ont pas de signification physique directe, ce qui complique son couplage avec les équations dynamiques usuelles du circuit.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q37

   1. Principe de la simulation de Monte-Carlo et rôle des variables

   La méthode de Monte-Carlo permet de propager numériquement les incertitudes de mesure d'un modèle non trivial sans recourir à des formules analytiques approchées de propagation :

   • On simule un grand nombre N de réalisations virtuelles de l'expérience (ici N = 10\,000). Pour chaque point de mesure, les valeurs des grandeurs d'entrée sont tirées aléatoirement selon leur loi de probabilité respective (ici une loi normale centrée sur la valeur mesurée et d'écart-type l'incertitude-type associée).
   • La variable X (respectivement Y) représente le vecteur des abscisses (respectivement des ordonnées) synthétisé lors d'un tirage donné.
   • La variable a est la pente de la droite de régression linéaire ajustée sur ce jeu de données simulé particulier (X, Y) par la fonction np.polyfit.
   • La liste A accumule les N valeurs de la pente a calculées au fil des tirages, constituant ainsi l'échantillon statistique de la variable aléatoire associée à la pente.
   • La variable u_a est l'écart-type expérimental de cet échantillon de pentes, qui fournit l'estimation de l'incertitude-type u(a) sur la pente.

   2. Commentaire détaillé des lignes 25, 36 et 38

   • Ligne 25 : x = rd.normal(Th[i], u_Th[i], 1)[0]
     Cette instruction effectue un tirage pseudo-aléatoire d'un flottant scalaire selon une loi normale centrée sur la valeur mesurée Th[i] avec un écart-type égal à son incertitude-type u_Th[i]. L'argument 1 génère un tableau d'un unique élément, extrait par [0]. Cela permet de modéliser la variabilité de la mesure de la teneur en thorium du i-ième échantillon.

   • Ligne 36 : am = sum(A)/NbreTirages
     Cette ligne calcule la moyenne arithmétique de la distribution des pentes obtenues sur l'ensemble des N = 10\,000 tirages :

     \overline{a} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} a_j

     Elle donne la meilleure estimation (l'espérance) de la pente de la droite de régression.

   • Ligne 38 : u_a = np.sqrt(sum(A_carre)/NbreTirages-am**2)
     Cette ligne calcule l'écart-type empirique des pentes en appliquant le théorème de Koenig-Huygens :

     u(a) = \sqrt{\langle a^2 \rangle - \langle a \rangle^2} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} a_j^2 - \overline{a}^2}

     Cet écart-type caractérise la dispersion de la pente induite par les incertitudes sur les fractions massiques et représente directement l'incertitude-type sur la pente.

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q38

   Le rubidium (\mathrm{Rb}) et le thorium (\mathrm{Th}) sont deux éléments fortement incompatibles avec les mailles cristallines des minéraux en formation (D_{\mathrm{Rb}} \ll 1 et D_{\mathrm{Th}} \ll 1).

   D'après la loi de Rayleigh établie à la question Q36, le rapport de leurs fractions massiques dans le liquide magmatique résiduel doit rester constant au cours de la différenciation :

   w_L(\mathrm{Rb}) = a \, w_L(\mathrm{Th})

   avec une ordonnée à l'origine théorique rigoureusement nulle :

   b_{\text{th}} = 0\text{ ppm}

   L'exploitation des mesures expérimentales par la méthode de Monte-Carlo fournit :

   b = 0{,}30\text{ ppm} \quad \text{avec} \quad u(b) = 0{,}35\text{ ppm}

   L'écart à la valeur théorique normalisé par l'incertitude-type vaut :

   E_n = \frac{|b - b_{\text{th}}|}{u(b)} = \frac{0{,}298}{0{,}349} \approx 0{,}85 < 2

   La valeur 0\text{ ppm} appartient donc bien à l'intervalle de confiance à 95\,\% de l'ordonnée à l'origine, [b - 2u(b),\, b + 2u(b)] = [-0{,}40,\, 1{,}00]\text{ ppm}. L'ordonnée à l'origine est ainsi statistiquement compatible avec zéro.

   De plus, sur la figure 10, la droite de régression affine passe à l'intérieur de l'ensemble des rectangles d'incertitude élargie à 95\,\%. L'alignement remarquable des points de mesures sur cette droite confirme la proportionnalité entre w(\mathrm{Rb}) et w(\mathrm{Th}).

   \boxed{\text{Ces résultats valident l'hypothèse d'une différenciation par cristallisation fractionnée.}}

   Résultat

   $$\text{Ces reˊsultats valident l’hypotheˋse d’une diffeˊrenciation par cristallisation fractionneˊe.}$$

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6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2021, Q31

   D'après la question Q16, la pulsation de résonance \omega_n d'un mode radial vérifie :

   x_n = \frac{\omega_n R_{\mathrm{c}}}{c} \iff c = \frac{\omega_n R_{\mathrm{c}}}{x_n}

   Par ailleurs, pour un gaz parfait monoatomique de masse atomique m et de coefficient de Laplace \gamma = 5/3, la célérité du son s'écrit (d'après la question Q6) :

   c^2 = \frac{\gamma k_{\mathrm{B}} T_0}{m}

   En égalant les deux expressions de c^2, on obtient :

   \frac{\gamma k_{\mathrm{B}} T_0}{m} = \frac{\omega_n^2 R_{\mathrm{c}}^2}{x_n^2}

   D'où l'expression de la constante de Boltzmann :

   \boxed{k_{\mathrm{B}} = \frac{m}{\gamma T_0} \left(\frac{\omega_n R_{\mathrm{c}}}{x_n}\right)^2}

   Pour évaluer la précision requise, prenons la différentielle logarithmique de cette relation, en considérant m, \gamma et le nombre sans dimension x_n comme des constantes parfaitement déterminées :

   \ln k_{\mathrm{B}} = \ln m - \ln \gamma - \ln T_0 + 2\ln \omega_n + 2\ln R_{\mathrm{c}} - 2\ln x_n

   En différenciant :

   \frac{\mathrm{d}k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}} = 2 \frac{\mathrm{d}\omega_n}{\omega_n} + 2 \frac{\mathrm{d}R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}} - \frac{\mathrm{d}T_0}{T_0}

   La condition sur l'incertitude relative globale est \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| \le 10^{-6}. En supposant pour chaque grandeur que les autres paramètres ont une incertitude nulle :

   • Pour la pulsation de résonance \omega_n :

     \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| = 2 \left|\frac{\Delta \omega_n}{\omega_n}\right| \le 10^{-6} \implies \boxed{\left|\frac{\Delta \omega_n}{\omega_n}\right| \le 5 \times 10^{-7}}

   • Pour le rayon de la cavité R_{\mathrm{c}} :

     \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| = 2 \left|\frac{\Delta R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}}\right| \le 10^{-6} \implies \boxed{\left|\frac{\Delta R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}}\right| \le 5 \times 10^{-7}}

   • Pour la température T (soit T_0) :

     \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| = \left|\frac{\Delta T}{T}\right| \le 10^{-6} \implies \boxed{\left|\frac{\Delta T}{T}\right| \le 10^{-6}}

   Résultat

   $$k_{\mathrm{B}}=\frac{m}{\gamma T_0}{\left(\frac{{\omega }_n{R}_{\mathrm{c}}}{x_n}\right)}^2$$

   $$\left|\frac{\Delta {\omega }_n}{{\omega }_n}\right|\le 5\times 10^{-7}$$

   $$\left|\frac{\Delta R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}}\right|\le 5\times 10^{-7}$$

   $$\left|\frac{\Delta T}{T}\right|\le 10^{-6}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2021, Q33

   La résistance du fil de platine s'exprime en fonction de sa géométrie et de la résistivité par la relation établie à la question Q32 :

   R_{\mathrm{T}} = \rho_{\mathrm{el}} \frac{L}{S}

   En négligeant la dilatation thermique devant la variation thermique de la résistivité (le coefficient de dilatation linéique du platine étant de l'ordre de 9 \times 10^{-6}\text{ K}^{-1}, très inférieur à \alpha \simeq 4 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1}), on a, d'après l'équation (15) :

   \frac{\mathrm{d}R_{\mathrm{T}}}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{S}\frac{\mathrm{d}\rho_{\mathrm{el}}}{\mathrm{d}T} = \alpha R_{\mathrm{T}}

   Pour une variation élémentaire \Delta T, la variation correspondante de résistance est :

   \Delta R_{\mathrm{T}} = \alpha R_{\mathrm{T}} \Delta T

   Pour atteindre une sensibilité en température \Delta T \le 100\ \mu\text{K} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ K}, la sensibilité requise sur la mesure de résistance vaut :

   \begin{aligned} \Delta R_{\mathrm{T}} &\le \alpha R_{\mathrm{T}} \Delta T \end{aligned}

   Avec R_{\mathrm{T}} = 25\ \Omega et \alpha = 3{,}92 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1} (tableau 1) :

   \Delta R_{\mathrm{T}} \le 3{,}92 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-4} = 9{,}8 \times 10^{-6}\ \Omega

   Soit, avec un chiffre significatif :

   \boxed{\Delta R_{\mathrm{T}} \le 1 \times 10^{-5}\ \Omega = 10\ \mu\Omega}

   En termes relatifs, cela impose une sensibilité relative :

   \boxed{\frac{\Delta R_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}} \le 4 \times 10^{-7}}

   Résultat

   $$\Delta R_{\mathrm{T}}\le 1\times 10^{-5}\Omega =10\mu \Omega$$

   $$\frac{\Delta R_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}}\le 4\times 10^{-7}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique U PSI 2021, Q35

   Au voisinage de la température d'étalonnage T_0 = 273{,}16\text{ K} où la résistance R_0 = R(T_0) \simeq 25\ \Omega est étalonnée avec une très haute précision, la variation de la résistance avec la température s'écrit au premier ordre :

   R(T) \simeq R_0 \left[1 + \alpha(T - T_0)\right]

   L'écart de température mesuré par rapport au point de référence s'en déduit :

   T - T_0 \simeq \frac{R(T) - R_0}{\alpha R_0}

   En supposant la mesure de résistance parfaitement précise devant l'incertitude sur \alpha, l'incertitude absolue \delta T sur la température liée à l'incertitude relative \frac{\delta \alpha}{\alpha} vaut :

   \delta T = |T - T_0|\, \frac{\delta \alpha}{\alpha}

   Pour garantir une précision \delta T \le 100\ \mu\text{K} = 10^{-4}\text{ K} avec \frac{\delta \alpha}{\alpha} \simeq 1\,\% = 10^{-2}, il faut donc que l'écart de température vérifie :

   \begin{aligned} |T - T_0| &\le \frac{\delta T}{\delta \alpha / \alpha} \\ |T - T_0| &\le \frac{10^{-4}}{10^{-2}} = 10^{-2}\text{ K} = 10\text{ mK} \end{aligned}

   La plage de température autour de la référence T_0 = 273{,}16\text{ K} sur laquelle on doit travailler est donc :

   \boxed{|T - T_0| \le 10\text{ mK}}

   soit un intervalle de température :

   \boxed{T \in [273{,}15\text{ K} \;;\; 273{,}17\text{ K}]}

   Résultat

   $$|T-T_0|\le 10\text{ mK}$$

   $$T\in [273,15\text{ K};273,17\text{ K}]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique U PSI 2021, Q41

   À l'équilibre du pont de transformateur (question Q39), la résistance de la sonde est reliée à la résistance étalon par :

   R_{\mathrm{T}} = m R_{\mathrm{S}}

   En supposant la résistance étalon R_{\mathrm{S}} parfaitement connue, la différentiation logarithmique donne :

   \frac{\mathrm{d}R_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}} = \frac{\mathrm{d}m}{m}

   soit en termes d'incertitude :

   \frac{\Delta R_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}} = \frac{\Delta m}{m} = 10^{-7}

   D'après la loi de variation de la résistivité avec la température donnée par l'équation (15) :

   \frac{\mathrm{d}R_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}} = \alpha\,\mathrm{d}T \implies \Delta T = \frac{1}{\alpha}\frac{\Delta R_{\mathrm{T}}}{R_{\mathrm{T}}} = \frac{1}{\alpha}\frac{\Delta m}{m}

   D'après le tableau 1 de l'énoncé, le coefficient thermique du platine vaut \alpha = 3{,}92 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1} \simeq 4 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1}. Il vient ainsi :

   \Delta T = \frac{10^{-7}}{3{,}92 \times 10^{-3}} \simeq 2{,}55 \times 10^{-5}\text{ K}

   Avec un chiffre significatif :

   \boxed{\Delta T \simeq 3 \times 10^{-5}\text{ K} = 30\ \mu\text{K}}

   Résultat

   $$\Delta T\simeq 3\times 10^{-5}\text{ K}=30\mu \text{K}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique U PSI 2021, Q66

    Les fractions molaires des trois isotopes vérifient x_{36} + x_{38} + x_{40} = 1. En introduisant les rapports isotopiques mesurés :

    R_{38/36} = \frac{x_{38}}{x_{36}} \quad \text{et} \quad R_{40/36} = \frac{x_{40}}{x_{36}}

    on obtient immédiatement :

    x_{36} = \frac{1}{1 + R_{38/36} + R_{40/36}}, \quad x_{38} = \frac{R_{38/36}}{1 + R_{38/36} + R_{40/36}}, \quad x_{40} = \frac{R_{40/36}}{1 + R_{38/36} + R_{40/36}}

    La masse particulaire moyenne m_{\text{mix}} = M_{\text{mix}}/N_A s'écrit alors :

    m_{\text{mix}} = \frac{m_{36} + m_{38} R_{38/36} + m_{40} R_{40/36}}{1 + R_{38/36} + R_{40/36}}

    En dérivant partiellement par rapport à R_{38/36} :

    \begin{aligned} \frac{\partial m_{\text{mix}}}{\partial R_{38/36}} &= \frac{m_{38}(1 + R_{38/36} + R_{40/36}) - (m_{36} + m_{38} R_{38/36} + m_{40} R_{40/36})}{(1 + R_{38/36} + R_{40/36})^2} \\ &= \frac{m_{38} - m_{\text{mix}}}{1 + R_{38/36} + R_{40/36}} = x_{36} (m_{38} - m_{\text{mix}}) \end{aligned}

    Par symétrie, la dérivée par rapport à R_{40/36} est :

    \frac{\partial m_{\text{mix}}}{\partial R_{40/36}} = x_{36} (m_{40} - m_{\text{mix}})

    La variation relative de m_{\text{mix}} s'exprime donc en fonction des variations relatives des rapports isotopiques :

    \frac{\mathrm{d}m_{\text{mix}}}{m_{\text{mix}}} = x_{38}\left(\frac{M_{38} - M_{\text{mix}}}{M_{\text{mix}}}\right) \frac{\mathrm{d}R_{38/36}}{R_{38/36}} + x_{40}\left(\frac{M_{40} - M_{\text{mix}}}{M_{\text{mix}}}\right) \frac{\mathrm{d}R_{40/36}}{R_{40/36}}

    Les contributions individuelles à l'incertitude relative sont :

    \begin{aligned} u_{r, 38}(m_{\text{mix}}) &= x_{38} \left|\frac{M_{38} - M_{\text{mix}}}{M_{\text{mix}}}\right| u_r(R_{38/36}) \\ u_{r, 40}(m_{\text{mix}}) &= x_{40} \left|\frac{M_{40} - M_{\text{mix}}}{M_{\text{mix}}}\right| u_r(R_{40/36}) \end{aligned}

    En supposant les mesures indépendantes, l'incertitude relative combinée s'écrit :

    \boxed{u_r(m_{\text{mix}}) = \sqrt{u_{r, 38}^2(m_{\text{mix}}) + u_{r, 40}^2(m_{\text{mix}})}}

    Applications numériques : D'après les données du tableau :

    • M_{38} - M_{\text{mix}} = 37{,}963 - 39{,}948 = -1{,}985\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
    • M_{40} - M_{\text{mix}} = 39{,}962 - 39{,}948 = +0{,}014\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
    • x_{38} = 0{,}0629\% = 6{,}29 \times 10^{-4} et u_r(R_{38/36}) = 0{,}61\% = 6{,}1 \times 10^{-3}
    • x_{40} = 99{,}6035\% \simeq 0{,}996 et u_r(R_{40/36}) = 0{,}16\% = 1{,}6 \times 10^{-3}

    Calcul des deux contributions :

    \begin{aligned} u_{r, 38}(m_{\text{mix}}) &\simeq 6{,}29 \times 10^{-4} \times \frac{1{,}985}{39{,}95} \times 6{,}1 \times 10^{-3} \simeq 1{,}9 \times 10^{-7} \simeq \mathbf{2 \times 10^{-7}} \\ u_{r, 40}(m_{\text{mix}}) &\simeq 0{,}996 \times \frac{0{,}014}{39{,}95} \times 1{,}6 \times 10^{-3} \simeq 5{,}6 \times 10^{-7} \simeq \mathbf{6 \times 10^{-7}} \end{aligned}

    L'incertitude relative globale est dominée par le ^{40}\text{Ar} et vaut :

    \boxed{u_r(m_{\text{mix}}) = \sqrt{(1{,}9\times 10^{-7})^2 + (5{,}6\times 10^{-7})^2} \simeq 6 \times 10^{-7}}

    Résultat

    $$u_r(m_{\text{mix}})=\sqrt{u_{r,38}^2(m_{\text{mix}})+u_{r,40}^2(m_{\text{mix}})}$$

    $$u_r(m_{\text{mix}})=\sqrt{(1,9\times 10^{-7}{)}^2+(5,6\times 10^{-7}{)}^2}\simeq 6\times 10^{-7}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question