Feuille d'entraînement : Mesures et incertitudes

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q43

   Soit X = v_0^3. Par propagation des incertitudes relatives pour une puissance (ou par différentiation logarithmique \mathrm{d}(\ln X) = 3\,\frac{\mathrm{d}v_0}{v_0}), l'incertitude relative sur v_0^3 s'écrit :

   \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 3\,\frac{\Delta v_0}{v_0}

   Calculons les incertitudes relatives à partir des mesures du tableau 2 :

   • Sur la vitesse et son cube :

     \begin{aligned} v_0 = 10{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} &\implies \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{0{,}1}{10{,}0} = 1{,}0\,\% \implies \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 3{,}0\,\% \\ v_0 = 20{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} &\implies \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{0{,}1}{20{,}0} = 0{,}5\,\% \implies \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 1{,}5\,\% \\ v_0 = 50{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} &\implies \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{0{,}1}{50{,}0} = 0{,}2\,\% \implies \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 0{,}6\,\% \end{aligned}

     L'incertitude relative sur v_0^3 est donc comprise entre 0{,}6\,\% et 3{,}0\,\%, et devient inférieure à 1\,\% dès les vitesses moyennes.

   • Sur la puissance \mathcal{P} :

     \begin{aligned} \text{À } v_0 = 10{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} : \quad \frac{\Delta \mathcal{P}}{\mathcal{P}} &= \frac{1}{14} \approx 7{,}1\,\% \\ \text{À } v_0 = 30{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} : \quad \frac{\Delta \mathcal{P}}{\mathcal{P}} &= \frac{0{,}1\cdot 10^2}{3{,}4\cdot 10^2} = \frac{1}{34} \approx 2{,}9\,\% \\ \text{À } v_0 = 50{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} : \quad \frac{\Delta \mathcal{P}}{\mathcal{P}} &= \frac{0{,}1\cdot 10^3}{1{,}3\cdot 10^3} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7\,\% \end{aligned}

   \boxed{ \text{L'incertitude relative sur } \mathcal{P} \text{ (jusqu'à } 7\text{--}8\,\%\text{)} \text{ est nettement supérieure à celle sur } v_0^3 \text{ (inférieure à } 1\,\% \text{ pour les vitesses élevées).} }

   Comme les points de grande vitesse sont ceux qui ont le plus de poids dans la détermination de la pente \kappa, l'incertitude sur la variable explicative v_0^3 peut être légitimement négligée devant celle sur la réponse \mathcal{P}, ce qui justifie l'utilisation d'une régression linéaire ordinaire.

   Résultat

   $$\text{L’incertitude relative sur }\mathcal{P}\text{ (jusqu’aˋ }7\text{–}8\%\text{)}\text{ est nettement supeˊrieure aˋ celle sur }{v}_0^3\text{ (infeˊrieure aˋ }1\%\text{ pour les vitesses eˊleveˊes).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q44

   La notation \mathcal{P}_{100,\mathrm{th}} = 10\text{ kW} désigne la puissance théorique nécessaire pour maintenir le véhicule à la vitesse v_0 = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}.

   D'après le tableau 2 et la régression linéaire fournie, le coefficient \kappa a été déterminé à partir des vitesses exprimées en \text{km}\cdot\text{h}^{-1}, avec une puissance en watts. À la vitesse v_0 = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la puissance déduite de ce modèle s'écrit :

   \mathcal{P}_{100,\mathrm{exp}} = \kappa\,v_0^3

   Numériquement :

   \begin{aligned} \mathcal{P}_{100,\mathrm{exp}} &= 0{,}0103 \times (100)^3 = 10\,300\text{ W} = 10{,}3\text{ kW} \end{aligned}

   L'incertitude associée à cette estimation vaut :

   \Delta \mathcal{P}_{100,\mathrm{exp}} = \Delta\kappa \times v_0^3 = 0{,}0004 \times 10^6 = 400\text{ W} = 0{,}4\text{ kW}

   Ainsi, l'expérience extrapolée donne :

   \mathcal{P}_{100,\mathrm{exp}} = (10{,}3 \pm 0{,}4)\text{ kW}

   L'écart relatif entre la valeur expérimentale et la valeur théorique est de :

   \frac{|\mathcal{P}_{100,\mathrm{exp}} - \mathcal{P}_{100,\mathrm{th}}|}{\mathcal{P}_{100,\mathrm{th}}} = \frac{|10{,}3 - 10|}{10} = 3{,}0\,\%

   \boxed{\text{La puissance théorique }\mathcal{P}_{100,\mathrm{th}} = 10\text{ kW}\text{ est en excellent accord avec les résultats expérimentaux.}}

   Résultat

   $$\text{La puissance theˊorique }{\mathcal{P}}_{100,\mathrm{th}}=10\text{ kW}\text{ est en excellent accord avec les reˊsultats expeˊrimentaux.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q19

   1. Origine de la dispersion des mesures

   Les différents expérimentateurs obtiennent des valeurs différentes principalement en raison de :

   • la tolérance de fabrication des composants passifs réels utilisés (R, C, R_1, R_2), dont les valeurs effectives s'écartent des valeurs nominales (généralement de 1 % à 10 %) ;
   • les imperfections de l'ALI réel (tensions de décalage résiduelles, courants de polarisation non nuls, saturation asymétrique, temps de basculement non nul dû au slew-rate) ;
   • l'incertitude de mesure propre aux instruments utilisés (fréquencemètre, oscilloscope).

   2. Incertitude-type sur la fréquence

   Pour un échantillon de N = 15 mesures indépendantes de même précision, l'incertitude-type associée à l'estimation de la fréquence (moyenne empirique \bar{f}) par une évaluation de type A vaut :

   u(f) = u(\bar{f}) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

   Application numérique avec \sigma = 0{,}025\text{ Hz} et N = 15 :

   u(f) = \frac{0{,}025}{\sqrt{15}} \approx 6{,}45 \times 10^{-3}\text{ Hz} \approx 6{,}5 \times 10^{-3}\text{ Hz}

   \boxed{u(f) = 6{,}5\times 10^{-3}\text{ Hz}}

   3. Calcul de l'écart normalisé (Z-score) et commentaire

   La valeur théorique obtenue à la question Q17 est f_{\text{th}} = 1{,}049\text{ Hz}. En considérant cette valeur théorique sans incertitude, le Z-score (ou écart normalisé E_n) s'écrit :

   Z = \frac{|\bar{f} - f_{\text{th}}|}{u(f)}

   Application numérique :

   Z = \frac{|1{,}053 - 1{,}049|}{6{,}45 \times 10^{-3}} = \frac{0{,}004}{6{,}45 \times 10^{-3}} \approx 0{,}62

   \boxed{Z \approx 0{,}6}

   Commentaire : L'écart normalisé vérifie Z < 2 (et même Z < 1). L'écart entre la valeur théorique et la valeur expérimentale n'est donc pas statistiquement significatif au niveau de confiance usuel de 95 % : le modèle théorique de l'oscillateur astable est en excellent accord avec les résultats expérimentaux.

   Résultat

   $$u(f)=6,5\times 10^{-3}\text{ Hz}$$

   $$Z\approx 0,6$$

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4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q23

   La ligne du programme qui calcule l'incertitude-type sur la différence de hauteur est la ligne 10 :

   \texttt{uDh = (1/3**0.5)*2**0.5}

   Une différence de hauteur s'obtient par la soustraction de deux lectures indépendantes sur le mètre gradué :

   \Delta h = h_2 - h_1

   En appliquant la formule de propagation des incertitudes donnée pour une grandeur de la forme G = \alpha a + \beta b (avec \alpha = 1 et \beta = -1) :

   u(\Delta h) = \sqrt{u(h_2)^2 + u(h_1)^2}

   Les deux lectures étant réalisées dans les mêmes conditions, elles présentent la même incertitude-type u(h_1) = u(h_2) = u(h), d'où :

   u(\Delta h) = \sqrt{2}\,u(h)

   D'après le formulaire, pour une mesure effectuée avec une précision (ou demi-étendue de tolérance) notée p, l'incertitude-type associée est :

   u(h) = \frac{p}{\sqrt{3}}

   L'incertitude-type sur la différence de hauteur s'écrit donc :

   u(\Delta h) = \frac{p}{\sqrt{3}}\,\sqrt{2}

   Par identification avec l'expression codée à la ligne 10, où le facteur \sqrt{2} est traduit par 2**0.5 et le dénominateur \sqrt{3} par 3**0.5, le numérateur vaut 1. Les valeurs du tableau de la figure 10 et du vecteur Dh étant exprimées en millimètres, la précision considérée pour une lecture est :

   \boxed{p = 1\text{ mm}}

   Résultat

   $$p=1\text{ mm}$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q24

   Non, ce programme ne prend pas en compte d'incertitude sur la commande envoyée.

   On peut le justifier par deux éléments du script :

   • Aucune incertitude-type sur la commande (qui pourrait s'appeler ux) n'est définie dans le programme, contrairement à l'incertitude-type sur la hauteur uDh introduite à la ligne 10.

   • Lors de la simulation de Monte-Carlo, seules les valeurs des différences de hauteur font l'objet d'un tirage aléatoire avec la fonction np.random.normal(Dh[j], uDh) (ligne 23). Le tableau de commandes x n'est pas perturbé aléatoirement et intervient avec ses valeurs initiales déterministes dans l'estimation du coefficient directeur à la ligne 27 :

     aMC.append(np.dot(x,Dh_MC) / np.dot(x,x))

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q25

   1. Correction de la ligne 5 :

   D'après le tableau de la figure 10, les commandes envoyées varient de 350 à 750 avec un pas de 50 :

   x \in \{350,\, 400,\, 450,\, 500,\, 550,\, 600,\, 650,\, 700,\, 750\}

   Or, l'instruction initiale x = np.array([350 + i*25 for i in range(9)]) utilise un pas de 25, ce qui génère une liste s'arrêtant à 350 + 8 \times 25 = 550. Le pas correct étant de 50, une écriture corrigée est :

   \boxed{\text{V8}}

   Remarque : L'instruction x = np.arange(350, 800, 50) est également tout à fait valable.

   2. Complétion de la ligne 18 :

   La boucle externe réalise les N = 1000 tirages de la simulation de Monte-Carlo. Il faut donc itérer N fois :

   \boxed{\text{V10}}

   (ou for i in range(1000):).

   3. Complétion de la ligne 21 :

   Pour chaque simulation, on génère un vecteur synthétique de différences de hauteur Dh_MC de même dimension que les données expérimentales. La variable nx = len(x) ayant été définie à la ligne 6 pour stocker le nombre de mesures (nx = 9), la boucle interne doit parcourir les indices de 0 à nx - 1 :

   \boxed{\text{V14}}

   (les écritures range(len(Dh)) ou range(9) sont également acceptables).

   Résultat

   \text{V8}

   \text{V10}

   \text{V14}

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q21

   D'après les données du tableau 1 :

   • C_1 = 1{,}50 \times 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} ;
   • u(C_1) = 1{,}5 \times 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

   Les lignes du script Python se complètent donc ainsi :

   • Ligne 11 : déclaration de la valeur de la concentration titrante C_1 :

     C1 = 1.50e-2 # en mol/L

   • Ligne 12 : déclaration de l'incertitude-type sur C_1 :

     u_C1 = 1.5e-3 # en mol/L

   • Ligne 17 : simulation d'un échantillon de N valeurs tirées selon une loi normale pour la concentration C_1, de manière analogue aux lignes 15 et 16 :

     C1_sim = C1 + rd.normal(0, u_C1, N)

   \boxed{ \begin{aligned} \text{Ligne 11 : } & \texttt{C1 = 1.50e-2} \\ \text{Ligne 12 : } & \texttt{u\_C1 = 1.5e-3} \\ \text{Ligne 17 : } & \texttt{C1\_sim = C1 + rd.normal(0, u\_C1, N)} \end{aligned} }

   Résultat

   $$\begin{array}{rl}\text{Ligne 11 : }& \text{C1 = 1.50e-2}\\ \text{Ligne 12 : }& \text{u\_C1 = 1.5e-3}\\ \text{Ligne 17 : }& \text{C1\_sim = C1 + rd.normal(0, u\_C1, N)}\end{array}$$

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8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q22

   La ligne 25 du programme affiche successivement la moyenne cO2_moy et l'écart-type u_cO2 de la distribution simulée. Les sorties numériques fournies sous l'histogramme de la figure 5 sont :

   • valeur moyenne : \overline{c_{\mathrm{O}_2}} = 0{,}011986\dots
   • incertitude-type : u(c_{\mathrm{O}_2}) = 0{,}001209\dots

   D'après la formule de la ligne 18 :

   c_{\mathrm{O}_2,\mathrm{sim}} = \frac{C_1 \times V_{\mathrm{eq}} \times M(\mathrm{O}_2)}{4\,V_0}

   avec C_1 en \mathrm{mol\cdot L^{-1}}, M(\mathrm{O}_2) en \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, et les volumes V_{\mathrm{eq}} et V_0 tous deux exprimés en \mathrm{mL} (leur rapport est sans dimension), la concentration massique simulée est obtenue en \mathrm{g\cdot L^{-1}}.

   En appliquant les règles d'écriture d'un résultat expérimental :

   • en conservant deux chiffres significatifs sur l'incertitude-type :

     u(c_{\mathrm{O}_2}) = 0{,}0012\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} = 1{,}2\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}

     et la valeur centrale est arrondie à la même décimale :

     \overline{c_{\mathrm{O}_2}} = 0{,}0120\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} = 12{,}0\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}

     d'où l'écriture :

     \boxed{c_{\mathrm{O}_2} = (12{,}0 \pm 1{,}2)\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1} = (0{,}0120 \pm 0{,}0012)\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}}

   • en conservant un seul chiffre significatif sur l'incertitude-type :

     \boxed{c_{\mathrm{O}_2} = (12 \pm 1)\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1} = (0{,}012 \pm 0{,}001)\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}}

   Résultat

   $$c_{{\mathrm{O}}_2}=(12,0\pm 1,2)\text{ mg}\cdot {\text{L}}^{-1}=(0,0120\pm 0,0012)\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$$

   $$c_{{\mathrm{O}}_2}=(12\pm 1)\text{ mg}\cdot {\text{L}}^{-1}=(0,012\pm 0,001)\text{ g}\cdot {\text{L}}^{-1}$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q27

   Le programme Python fournit :

   a = 0{,}6475357649091059 \quad \text{et} \quad u(a) = 0{,}0004969890859212488\text{ mm}

   L'incertitude-type conservant un seul chiffre significatif s'arrondit à la quatrième décimale :

   u(a) = 0{,}0005\text{ mm} = 5 \cdot 10^{-4}\text{ mm}

   La valeur moyenne de a doit être exprimée avec le même nombre de décimales :

   a = 0{,}6475\text{ mm}

   Le résultat s'écrit donc :

   \boxed{a = (0{,}6475 \pm 0{,}0005)\text{ mm}}

   ou de manière équivalente :

   \boxed{a = 0{,}6475\text{ mm} \quad \text{avec} \quad u(a) = 0{,}0005\text{ mm}}

   Résultat

   $$a=(0,6475\pm 0,0005)\text{ mm}$$

   $$a=0,6475\text{ mm}\text{avec}u(a)=0,0005\text{ mm}$$

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