Inégalité ln(1+u) ≤ u

Par une étude de fonction. Soit $\varphi(u)=u-\ln(1+u)$ sur $]-1,+\infty[$. Elle est dérivable et

Donc $\varphi'<0$ sur $]-1,0[$ et $\varphi'>0$ sur $]0,+\infty[$ : $\varphi$ est strictement décroissante sur $]-1,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$. Elle admet en $0$ un minimum strict, égal à $\varphi(0)=0$. Ainsi $\varphi(u)>0$ pour tout $u\neq0$.

Par concavité. La fonction $\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$ ($\ln''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$), donc sa courbe est sous chacune de ses tangentes. La tangente en $1$ a pour équation $y=x-1$, d'où $\ln x\le x-1$, puis $\ln(1+u)\le u$ avec $x=1+u$.

Variantes. Pour $u>-1$, posons $v=-\frac{u}{1+u}$. On a $1+v=\frac{1}{1+u}>0$, donc $v>-1$, et $\ln(1+v)\le v$ s'écrit $-\ln(1+u)\le-\frac{u}{1+u}$ : c'est la minoration, avec égalité si et seulement si $v=0$, c'est-à-dire $u=0$. Remplacer $u$ par $-u$ donne $\ln(1-u)\le-u$ pour $u<1$. Enfin, si $u>-1$, la stricte croissance de $\exp$ donne $1+u=e^{\ln(1+u)}\le e^u$ ; si $u\le-1$, $1+u\le0<e^u$.

Dès qu'un produit $\prod(1+a_k)$ ou une puissance $(1+u_n)^n$ apparaît, on passe au logarithme et on majore chaque $\ln(1+a_k)$ par $a_k$. L'encadrement $\frac{u}{1+u}\le\ln(1+u)\le u$ fournit en plus une minoration, utile pour obtenir une limite par encadrement.

Ce n'est pas un théorème nommé du programme, mais un résultat d'usage constant. En devoir comme à l'oral, on le justifie en une ligne (concavité du logarithme ou étude de fonction) avant de l'utiliser.