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Théorème d'Abel radial

Le théorème d'Abel radial donne la limite de la somme d'une série entière au bord de son intervalle de convergence, lorsque la série converge en ce point. Il sert par exemple à établir ∑n≥1(−1)n−1n=ln⁡2\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln2 en passant à la limite dans un développement en série entière.

Hors programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Séries entières

Énoncé

Théorème (Abel radial)

Soit (an)(a_n) une suite de nombres complexes telle que la série ∑an\sum a_n converge. Alors la série entière ∑anxn\sum a_nx^n a un rayon de convergence R≥1R\ge1, elle converge uniformément sur [0,1][0,1], et sa somme f(x)=∑n=0+∞anxnf(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n est continue sur [0,1][0,1]. En particulier

lim⁡x→1−∑n=0+∞anxn=∑n=0+∞an.\lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n.

Le cas intéressant est R=1R=1 : si R>1R>1, la continuité en 11 est immédiate. La limite est prise le long du rayon [0,1[[0,1[ du disque de convergence, d'où le nom.

Démonstration

Comme an→0a_n\to0, la suite (an1n)(a_n1^n) est bornée, donc R≥1R\ge1. On note rn=∑k=n+1+∞akr_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k le reste de la série : rn→0r_n\to0 et ak=rk−1−rka_k=r_{k-1}-r_k pour k≥1k\ge1. Soit x∈[0,1]x\in[0,1] et n<mn<m. Par transformation d'Abel,

∑k=n+1makxk=∑k=n+1m(rk−1−rk)xk=∑k=nm−1rkxk+1−∑k=n+1mrkxk=rnxn+1−rmxm+∑k=n+1m−1rk (xk+1−xk).\begin{aligned}\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k&=\sum_{k=n+1}^{m}(r_{k-1}-r_k)x^k=\sum_{k=n}^{m-1}r_kx^{k+1}-\sum_{k=n+1}^{m}r_kx^k\\&=r_nx^{n+1}-r_mx^m+\sum_{k=n+1}^{m-1}r_k\,(x^{k+1}-x^k).\end{aligned}

Posons εn=sup⁡k≥n∣rk∣\varepsilon_n=\sup_{k\ge n}|r_k|, qui tend vers 00. Comme x∈[0,1]x\in[0,1], on a xk−xk+1≥0x^k-x^{k+1}\ge0, et la somme de ces termes télescope :

∣∑k=n+1makxk∣≤εn(xn+1+xm+∑k=n+1m−1(xk−xk+1))=2εnxn+1≤2εn.\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k\right|\le\varepsilon_n\left(x^{n+1}+x^m+\sum_{k=n+1}^{m-1}(x^k-x^{k+1})\right)=2\varepsilon_nx^{n+1}\le2\varepsilon_n.

La série ∑akxk\sum a_kx^k vérifie donc le critère de Cauchy uniforme sur [0,1][0,1] : elle converge uniformément sur [0,1][0,1], et en faisant m→+∞m\to+\infty, son reste d'ordre nn est majoré par 2εn2\varepsilon_n en tout point de [0,1][0,1]. Ses termes étant continus, sa somme ff est continue sur [0,1][0,1], donc f(x)→f(1)=∑n=0+∞anf(x)\to f(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n quand x→1−x\to1^-.

Méthode : quand et comment l'utiliser

  1. Établir la convergence de ∑an\sum a_n (critère spécial des séries alternées, comparaison...).
  2. Identifier la somme f(x)f(x) sur [0,1[[0,1[ à l'aide d'un développement usuel.
  3. Passer à la limite x→1−x\to1^- en invoquant le théorème, redémontré.

Coefficients positifs. Si an≥0a_n\ge0, un argument plus simple suffit : ∑an\sum a_n converge si et seulement si ff est majorée sur [0,1[[0,1[, et alors lim⁡x→1−f(x)=∑an\lim_{x\to1^-}f(x)=\sum a_n. En effet ∑k=0Nakxk≤f(x)\sum_{k=0}^Na_kx^k\le f(x) pour x∈[0,1[x\in[0,1[ ; si f≤Mf\le M sur [0,1[[0,1[, faire x→1−x\to1^- donne ∑k=0Nak≤M\sum_{k=0}^Na_k\le M pour tout NN.

Exemples d'application

∑n≥1(−1)n−1n=ln⁡2\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln2 et ∑n≥0(−1)n2n+1=π4\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4

Pour x∈ ]−1,1[x\in\,]-1,1[, ln⁡(1+x)=∑n=1+∞(−1)n−1nxn\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n. La série ∑(−1)n−1n\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n} converge par le critère spécial des séries alternées. Par le théorème d'Abel radial,

∑n=1+∞(−1)n−1n=lim⁡x→1−ln⁡(1+x)=ln⁡2.\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\lim_{x\to1^-}\ln(1+x)=\ln2.

De même, arctan⁡x=∑n≥0(−1)n2n+1x2n+1\arctan x=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} sur ]−1,1[]-1,1[, et ∑(−1)n2n+1\sum\frac{(-1)^n}{2n+1} converge, donc ∑n=0+∞(−1)n2n+1=lim⁡x→1−arctan⁡x=π4\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\lim_{x\to1^-}\arctan x=\frac\pi4.

La réciproque est fausse

Pour an=(−1)na_n=(-1)^n, le rayon vaut 11 et ∑n=0+∞(−1)nxn=11+x→12\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n=\frac1{1+x}\to\frac12 quand x→1−x\to1^-, alors que ∑(−1)n\sum(-1)^n diverge grossièrement. L'existence de la limite radiale ne suffit donc pas à la convergence de ∑an\sum a_n.

Il existe des réciproques partielles, dites taubériennes (hors programme) : le cas an≥0a_n\ge0 traité ci-dessus, et le théorème de Tauber, qui affirme que si an=o(1n)a_n=o\left(\frac1n\right) et si f(x)f(x) a une limite SS quand x→1−x\to1^-, alors ∑an\sum a_n converge et a pour somme SS.

Erreurs classiques

  • Utiliser le théorème sans avoir établi la convergence de ∑an\sum a_n : c'est une hypothèse, pas une conclusion (contre-exemple an=(−1)na_n=(-1)^n).

  • Invoquer la convergence normale sur [0,1][0,1] : elle n'a lieu que si ∑∣an∣\sum|a_n| converge, cas où le résultat est immédiat. Dans le cas intéressant, ∑an\sum a_n semi-convergente, seule la transformation d'Abel donne la convergence uniforme.

  • Citer le théorème sans preuve dans une copie : il est hors programme, et le correcteur attend la transformation d'Abel, ou au moins ses étapes.

  • Étendre la conclusion à une approche quelconque de 11 dans le disque unité : elle n'est pas garantie en général lorsque zz s'approche tangentiellement du cercle. Le résultat se généralise seulement aux approches à l'intérieur d'un secteur angulaire de sommet 11 (théorème d'Abel angulaire, hors programme).

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Séries entières ».

Le théorème d'Abel radial n'est pas au programme officiel : il faut le redémontrer (ou suivre l'énoncé qui le fait démontrer) avant de l'utiliser, dans une copie comme à l'oral. Sa démonstration repose sur une transformation d'Abel.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries entières et séries de Fourier (262 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on d'Abel « radial » ?

Parce que la limite est prise le long du rayon [0,1[[0,1[ du disque de convergence. Pour un point eiθe^{i\theta} du cercle unité où ∑aneinθ\sum a_ne^{in\theta} converge, on applique le théorème à la suite (aneinθ)(a_ne^{in\theta}) : ∑an(xeiθ)n→∑aneinθ\sum a_n(xe^{i\theta})^n\to\sum a_ne^{in\theta} quand x→1−x\to1^-.

Quel lien avec la transformation d'Abel ?

La démonstration est une transformation d'Abel (sommation par parties) : on écrit ak=rk−1−rka_k=r_{k-1}-r_k à l'aide des restes, ce qui fait apparaître des différences xk−xk+1≥0x^k-x^{k+1}\ge0 dont la somme télescope.

Le théorème d'Abel radial a-t-il une réciproque ?

Pas en général, comme le montre an=(−1)na_n=(-1)^n. Elle est vraie si an≥0a_n\ge0, et sous l'hypothèse an=o(1n)a_n=o\left(\frac1n\right) par le théorème de Tauber (hors programme).

Qu'appelle-t-on théorème d'Abel ?

Selon le contexte : le théorème d'Abel radial (cette page), le lemme d'Abel sur les séries entières (si (anrn)(a_nr^n) est bornée, ∑anzn\sum a_nz^n converge absolument pour ∣z∣<r|z|<r, au programme), la règle d'Abel pour les séries ∑εnun\sum\varepsilon_nu_n, ou le théorème d'Abel-Ruffini sur la résolution des équations de degré 5.

Exercices corrigés utilisant : Théorème d'Abel radial

1 exercice

Polynômes à coefficients positifs et fonctions DSE

Théorème de Weierstrass
coefficients positifsDSEthéorème d'AbelConvergence des coefficientsThéorème d'Abel radial