Éléments propres d'un endomorphisme de matrices

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n \ge 2$ . On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulle. On définit l'application $\phi$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dans lui-même par :

\forall X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),   \phi(X) = \operatorname{Tr}(A) X^T + \operatorname{Tr}(X) A

Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de l'endomorphisme $\phi$ .

1.

Commencer par vérifier la linéarité de $\phi$ et poser $\alpha = \operatorname{Tr}(A)$ .

2.

Analyser l'équation aux valeurs propres $\phi(X) = \lambda X$ en utilisant la transposition pour obtenir un système de deux équations liant $X$ et $X^T$ .

3.

Étudier séparément les cas $\operatorname{Tr}(X) = 0$ et $\operatorname{Tr}(X) \neq 0$ .

4.

Distinguer le cas particulier où $\operatorname{Tr}(A) = 0$ .

Idées clés

•

Utilisation de l'opération de transposition pour transformer l'équation $\phi(X) = \lambda X$ .

•

Décomposition de l'espace selon la trace et la symétrie.

•

Discussion selon la nullité de $\operatorname{Tr}(A)$ .

Analyse préliminaire.

On pose $\alpha = \operatorname{Tr}(A)$ . L'application $\phi$ est clairement linéaire par linéarité de la trace et de la transposition. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre et $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé. On a :

\alpha X^T + \operatorname{Tr}(X) A = \lambda X   (\star)

En transposant cette égalité, on obtient :

\alpha X + \operatorname{Tr}(X) A^T = \lambda X^T   (\star\star)

Premier cas : $\alpha \neq 0$ .

Si $\operatorname{Tr$ (X) = 0Tr(X)=0 :} L'équation $(\star)$ $(⋆)$ devient $\alpha X^T = \lambda X$ $α X^{T} = λ X$ . En substituant $X^T = \frac{\lambda}{\alpha} X$ $X^{T} = \frac{λ}{α} X$ dans $(\star\star)$ $(⋆ ⋆)$ , on a :
$\alpha X = \lambda \left( \frac{\lambda}{\alpha} X \right) \implies \alpha^2 X = \lambda^2 X$
Comme $X \neq 0$ $X \neq = 0$ , on en déduit $\lambda^2 = \alpha^2$ $λ^{2} = α^{2}$ , soit $\lambda \in \{\alpha, -\alpha\}$ $λ \in {α, - α}$ .
- Si $\lambda = \alpha$ , alors $X^T = X$ . Comme $\operatorname{Tr}(X) = 0$ , $X$ est une matrice symétrique de trace nulle. Ce sous-espace est de dimension $\frac{n(n+1)}{2} - 1$ .
- Si $\lambda = -\alpha$ , alors $X^T = -X$ . Toute matrice antisymétrique est de trace nulle. Ce sous-espace est de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$ .
Si $\operatorname{Tr$ (X) \neq 0 $Tr (X) \neq = 0$ :} En prenant la trace de l'équation $(\star)$ , on obtient : $\alpha \operatorname{Tr}(X^T) + \operatorname{Tr}(X) \operatorname{Tr}(A) = \lambda \operatorname{Tr}(X)$ $\alpha \operatorname{Tr}(X) + \alpha \operatorname{Tr}(X) = \lambda \operatorname{Tr}(X)$ Comme $\operatorname{Tr}(X) \neq 0$ , on peut simplifier par $\operatorname{Tr}(X)$ pour trouver : $\boxed{\lambda = 2\alpha}$ Cherchons le vecteur propre associé. Le système formé par $(\star)$ et $(\star\star)$ avec $\lambda = 2\alpha$ donne : $\begin{cases} 2\alpha X - \alpha X^T = \operatorname{Tr}(X) A -\alpha X + 2\alpha X^T = \operatorname{Tr}(X) A^T \end{cases}$ En faisant $2 \times L_1 + L_2$ , on trouve $3\alpha X = \operatorname{Tr}(X)(2A + A^T)$ . Le sous-espace propre est donc la droite vectorielle $\text{Vect}(2A + A^T)$ .

Synthèse pour $\operatorname{Tr$ (A) \neq 0 $Tr (A) \neq = 0$ :} Les valeurs propres sont $\alpha, -\alpha$ et $2\alpha$ . La somme des dimensions des sous-espaces est :

\left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right) + \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{2n^2}{2} = n^2

L'endomorphisme est donc diagonalisable.

\boxed{ \text{Sp}(\phi) = \{ \operatorname{Tr}(A), -\operatorname{Tr}(A), 2\operatorname{Tr}(A) \} }

Deuxième cas : $\alpha = 0$ .

L'expression se simplifie en $\phi(X) = \operatorname{Tr}(X) A$ .

Si $\lambda \neq 0$ , alors $\lambda X = \operatorname{Tr}(X) A$ implique que $X$ est colinéaire à $A$ . Alors $\operatorname{Tr}(X)$ est un multiple de $\operatorname{Tr}(A) = 0$ , donc $\operatorname{Tr}(X) = 0$ , ce qui implique $X=0$ , exclu.
Si $\lambda = 0$ , l'équation $\phi(X) = 0$ donne $\operatorname{Tr}(X) A = 0$ . Comme $A \neq 0$ , cela impose $\operatorname{Tr}(X) = 0$ .

\boxed{ \text{Si } \operatorname{Tr}(A) = 0,   \text{Sp}(\phi) = \{0\} \text{ et } E_0(\phi) = \operatorname{Ker}(\operatorname{Tr}) }

Dans ce cas,

\phi

est nilpotent car

\phi^2(X) = \operatorname{Tr}(\operatorname{Tr}(X)A)A = \operatorname{Tr}(X)\operatorname{Tr}(A)A = 0

.

Ne pas oublier de traiter le cas où $\operatorname{Tr}(A) = 0$ . Dans ce cas, les valeurs propres $\alpha$ et $-\alpha$ sont confondues avec $0$ , et l'endomorphisme n'est pas diagonalisable puisque $\phi^2=0$ mais $\phi \neq 0$ .