Borne de Cauchy et matrice compagnon

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n \geq 1$ défini par :

P = X^{n} + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

On note

M = \max_{0 \leq k \leq n-1} |a_k|

.

Démontrer que pour toute racine complexe $\lambda$ de $P$ , on a l'inégalité suivante :

|\lambda| \leqslant 1 + M

1.

Introduire la matrice compagnon $C_P$ associée au polynôme $P$ ou sa transposée.

2.

Utiliser le fait que les racines de $P$ sont exactement les valeurs propres de sa matrice compagnon.

3.

Pour un vecteur propre $X$ de la transposée $C_P^T$ , traduire la relation $C_P^T X = \lambda X$ en un système d'équations sur les composantes de $X$ .

4.

Idées clés

•

Lien entre racines d'un polynôme et spectre de sa matrice compagnon.

•

Utilisation de la norme infinie d'un vecteur propre pour obtenir des inégalités sur la valeur propre.

•

Majoration par une série géométrique.

Résolution.

Considérons la matrice compagnon $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ associée au polynôme $P$ , ou plus commodément sa transposée $A = C_P^T$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & 0 & \dots & 0 & 1 -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique de cette matrice est $\chi_A(X) = (-1)^n P(X)$ . Ainsi, les valeurs propres de $A$ sont exactement les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ .

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une racine de $P$ . Il existe un vecteur propre $V = (x_1, \dots, x_n)^T \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ tel que $AV = \lambda V$ . Ce système se traduit par les relations suivantes :

\left\{ \begin{array}{l} x_2 = \lambda x_1 x_3 = \lambda x_2 \vdots x_n = \lambda x_{n-1} -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \dots - a_{n-1} x_n = \lambda x_n \end{array} \right.

En substituant les premières équations, on obtient pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , $x_k = \lambda^{k-1} x_1$ . Comme $V \neq 0$ , on a nécessairement $x_1 \neq 0$ . La dernière ligne devient alors :

-a_0 x_1 - a_1 (\lambda x_1) - \dots - a_{n-1} (\lambda^{n-1} x_1) = \lambda (\lambda^{n-1} x_1)

En simplifiant par $x_1$ , on retrouve bien la relation caractéristique :

\lambda^n = - \sum_{k=0}^{n-1} a_k \lambda^k

Supposons désormais que $|\lambda| > 1$ . En utilisant l'inégalité triangulaire dans la relation précédente :

|\lambda|^n = \left| \sum_{k=0}^{n-1} a_k \lambda^k \right| \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |\lambda|^k

On majore chaque coefficient $|a_k|$ par leur maximum $M$ :

|\lambda|^n \leq M \sum_{k=0}^{n-1} |\lambda|^k

On reconnaît une somme de termes en progression géométrique de raison $|\lambda| \neq 1$ :

|\lambda|^n \leq M \frac{|\lambda|^n - 1}{|\lambda| - 1}

|\lambda|^n < M \frac{|\lambda|^n}{|\lambda| - 1}

En divisant par $|\lambda|^n > 0$ , il vient :

1 < \frac{M}{|\lambda| - 1}

Ce qui est équivalent à $|\lambda| - 1 < M$ , soit finalement :

\boxed{ |\lambda| < 1 + M }

Dans tous les cas, on a bien établi que :

\boxed{ |\lambda| \leq 1 + \max_{0 \leq k \leq n-1} |a_k| }