Topologie des ensembles de matrices diagonalisables

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $\mathbb{K}$ désignant le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On considère les parties suivantes de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ :

$T_{n}(\mathbb{K})$ : l'ensemble des matrices trigonalisables.
$D_{n}(\mathbb{K})$ : l'ensemble des matrices diagonalisables.
$D_{n}^{\prime}(\mathbb{K})$ : l'ensemble des matrices ayant $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{K}$ .

Étude sur le corps des complexes
1. Déterminer l'intérieur et l'adhérence de $T_{n}(\mathbb{C})$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .
2. Montrer que l'adhérence de $D_{n}(\mathbb{C})$ est $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .
3. Établir que l'intérieur de $D_{n}(\mathbb{C})$ est $D_{n}^{\prime}(\mathbb{C})$ .
Caractérisation des polynômes scindés sur $\mathbb{R$ R}
1. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ . Démontrer que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $|P(z)| \geqslant |\mathrm{Im}(z)|^{n}$
2. En déduire que l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb{R}_n[X]$ scindés sur $\mathbb{R}$ est un fermé de $\mathbb{R}_n[X]$ .
Étude sur le corps des réels
1. Déterminer l'adhérence de $T_{n}(\mathbb{R})$ et de $D_{n}(\mathbb{R})$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .
2. Déterminer l'adhérence de $D_{n}'(\mathbb{R})$ dans $T_{n}(\mathbb{R})$ .
3. Montrer que l'intérieur de $D_{n}(\mathbb{R})$ est $D_{n}^{\prime}(\mathbb{R})$ .
4. Montrer que l'intérieur de $T_{n}(\mathbb{R})$ est également $D_{n}^{\prime}(\mathbb{R})$ .

1.

Pour 1(a), se rappeler que tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ est scindé.

2.

Pour 1(b), utiliser la densité des matrices à valeurs propres distinctes par perturbation de la diagonale d'une forme triangulaire.

3.

Pour 2(a), examiner le produit des distances de $z$ aux racines de $P$ . Si $P$ n'est pas scindé, utiliser une racine non réelle.

4.

Pour 2(b), utiliser la caractérisation précédente et la continuité de l'application qui à un polynôme associe sa valeur en un point.

5.

Pour 3, utiliser le fait que $A \in T_n(\mathbb{R})$ si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .

Idées clés

•

Densité par perturbation spectrale : $A = PTP^{-1}$ , on ajoute $\epsilon_i$ aux coefficients diagonaux de $T$ .

•

Lien entre topologie des matrices et continuité du polynôme caractéristique.

•

Caractérisation séquentielle ou par inégalités des ensembles fermés de polynômes.

Résolution.

Étude sur le corps des complexes
1. D'après le théorème d'Alembert-Gauss, tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ est scindé. Ainsi, toute matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable. $\boxed{ T_n(\mathbb{C}) = \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) }$ L'ensemble est donc à la fois ouvert et fermé, son adhérence et son intérieur sont $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et $T \in \mathcal{T}_n(\mathbb{C})$ tels que $A = PTP^{-1}$ . Soit $(\epsilon_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs tendant vers 0. On construit $T_k$ en modifiant les coefficients diagonaux $(t_{ii})$ de $T$ par $t_{ii} + \eta_{i,k}$ de sorte que les $n$ valeurs soient distinctes. Alors $A_k = P T_k P^{-1}$ est diagonalisable (valeurs propres distinctes) et $A_k \to A$ . $\boxed{ \overline{D_n(\mathbb{C})} = \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) }$
3. Si $A \in D_n'(\mathbb{C})$ , son polynôme caractéristique $\chi_A$ possède $n$ racines distinctes. Le discriminant de $\chi_A$ est non nul. Par continuité du déterminant et des coefficients de $\chi_A$ , le discriminant est non nul sur un voisinage de $A$ . Réciproquement, si $A$ a une valeur propre multiple, on peut construire une perturbation (par exemple un bloc de Jordan de taille 2 ou une matrice scalaire vers une matrice non diagonalisable) pour sortir de $D_n(\mathbb{C})$ . $\boxed{ \mathrm{Int}(D_n(\mathbb{C})) = D_n'(\mathbb{C}) }$
Caractérisation des polynômes scindés
1. Condition nécessaire : Si $P = \prod_{j=1}^n (X-\lambda_j)$ avec $\lambda_j \in \mathbb{R}$ . Pour $z = x+iy$ , on a $|z-\lambda_j| = \sqrt{(x-\lambda_j)^2 + y^2} \ge |y| = |\mathrm{Im}(z)|$ . En multipliant ces $n$ inégalités, on obtient $|P(z)| \ge |\mathrm{Im}(z)|^n$ .
  Condition suffisante : Supposons que $P$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ . Alors $P$ admet au moins une racine complexe non réelle $z_0 = a+ib$ avec $b \neq 0$ . On a alors $P(z_0) = 0$ , ce qui contredit l'inégalité $|P(z_0)| \ge |b|^n > 0$ .
  $\boxed{ P \in \mathbb{R}_n[X] \text{ scindé } \iff \forall z \in \mathbb{C}, |P(z)| \ge |\mathrm{Im}(z)|^n }$
2. Soit $\mathcal{S}$ l'ensemble des polynômes unitaires scindés de degré $n$ . $\mathcal{S} = \bigcap_{z \in \mathbb{C}} \{ P \in \mathbb{R}_n[X] \mid |P(z)| \ge |\mathrm{Im}(z)|^n \}$ . Pour chaque $z \in \mathbb{C}$ , l'application $f_z : P \mapsto |P(z)|$ est continue. L'ensemble $F_z = \{ P \mid f_z(P) \ge |\mathrm{Im}(z)|^n \}$ est donc un fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. $\boxed{ \mathcal{S} = \bigcap_{z \in \mathbb{C}} F_z \text{ est un fermé } }$
Étude sur le corps des réels
1. $A \in T_n(\mathbb{R})$ si et seulement si $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$ . L'application $\phi : A \mapsto \chi_A$ est continue de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dans l'espace des polynômes unitaires. D'après 2(b), $T_n(\mathbb{R}) = \phi^{-1}(\mathcal{S})$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Comme $D_n(\mathbb{R}) \subset T_n(\mathbb{R})$ , on a $\overline{D_n(\mathbb{R})} \subset T_n(\mathbb{R})$ . Par perturbation des coefficients diagonaux comme en 1(b), on montre que $D_n'(\mathbb{R})$ est dense dans $T_n(\mathbb{R})$ . $\boxed{ \overline{T_n(\mathbb{R})} = T_n(\mathbb{R}) \text{et} \overline{D_n(\mathbb{R})} = T_n(\mathbb{R}) }$
2. Puisque $D_n'(\mathbb{R}) \subset D_n(\mathbb{R}) \subset T_n(\mathbb{R})$ et que $\overline{D_n'(\mathbb{R})} = T_n(\mathbb{R})$ , on a : $\boxed{ \text{Adhérence de } D_n'(\mathbb{R}) \text{ dans } T_n(\mathbb{R}) \text{ est } T_n(\mathbb{R}) }$
3. Si $A \in D_n'(\mathbb{R})$ , ses racines sont réelles et distinctes. Une petite perturbation préserve ces propriétés. Si $A \in D_n(\mathbb{R}) \setminus D_n'(\mathbb{R})$ , elle possède une valeur propre de multiplicité $\ge 2$ . On peut alors perturber vers une matrice ayant des racines complexes (si on peut créer un bloc de rotation) ou vers une matrice non diagonalisable. $\boxed{ \mathrm{Int}(D_n(\mathbb{R})) = D_n'(\mathbb{R}) }$
4. De même pour $T_n(\mathbb{R})$ . Si $\chi_A$ a une racine réelle double, une perturbation peut transformer $(X-\lambda)^2$ en $(X-\lambda)^2 + \epsilon$ , dont les racines sont complexes. La matrice résultante n'est plus trigonalisable sur $\mathbb{R}$ . $\boxed{ \mathrm{Int}(T_n(\mathbb{R})) = D_n'(\mathbb{R}) }$

Attention à ne pas confondre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ . Sur $\mathbb{C}$ , toutes les matrices sont trigonalisables, donc $T_n(\mathbb{C})$ est l'espace entier. Sur $\mathbb{R}$ , ce n'est pas le cas.