Majoration des coefficients d'une puissance matricielle

Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 5 & 6,9 -3 & -4 \end{pmatrix}

Montrer que pour l'exposant $n = 1024$ , tous les coefficients de la matrice $A^n$ ont une valeur absolue strictement inférieure à $10^{-78}$ .

1.

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice $A$ pour déterminer ses valeurs propres.

2.

Étudier le module des valeurs propres trouvées.

3.

Utiliser la diagonalisabilité de $A$ sur $\mathbb{C}$ pour exprimer les coefficients de $A^n$ en fonction des puissances $n$ -ièmes des valeurs propres.

4.

Utiliser les propriétés du logarithme décimal pour estimer l'ordre de grandeur final.

Idées clés

•

Lien entre le rayon spectral $\rho(A)$ et la convergence de $A^n$ vers 0.

•

Expression de $A^n$ via le polynôme annulateur (ou diagonalisation).

•

Estimation numérique par passage au logarithme.

1. Recherche des valeurs propres de $A$

Calculons le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(X I_2 - A)$ .

On a :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-5 & -6,9 3 & X+4 \end{vmatrix} = (X-5)(X+4) - (-3)(6,9)

En développant, on obtient :

\chi_A(X) = X^2 - X - 20 + 20,7 = X^2 - X + 0,7

Cherchons les racines de ce polynôme. Le discriminant est :

\Delta = (-1)^2 - 4(1)(0,7) = 1 - 2,8 = -1,8

Le discriminant est strictement négatif, donc les valeurs propres sont complexes conjuguées :

\lambda = \frac{1 + i\sqrt{1,8}}{2}   \text{et}   \bar{\lambda} = \frac{1 - i\sqrt{1,8}}{2}

2. Calcul du module des valeurs propres

Calculons le carré du module de $\lambda$ :

|\lambda|^2 = \text{Re}(\lambda)^2 + \text{Im}(\lambda)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{1,8}}{2}\right)^2

|\lambda|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1,8}{4} = \frac{2,8}{4} = 0,7

On en déduit le module :

\boxed{|\lambda| = \sqrt{0,7} < 1}

3. Expression des coefficients de $A^n$

Puisque les deux valeurs propres sont distinctes dans $\mathbb{C}$ , la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .

Il existe donc une matrice inversible $P \in GL_2(\mathbb{C})$ telle que $A = P D P^{-1}$ avec $D = \text{diag}(\lambda, \bar{\lambda})$ .

Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

A^n = P \begin{pmatrix} \lambda^n & 0 0 & \bar{\lambda}^n \end{pmatrix} P^{-1}

Chaque coefficient $a_{ij}^{(n)}$ de $A^n$ est une combinaison linéaire des puissances $n$ -ièmes des valeurs propres :

a_{ij}^{(n)} = \alpha_{ij} \lambda^n + \beta_{ij} \bar{\lambda}^n

où les constantes $\alpha_{ij}$ et $\beta_{ij}$ ne dépendent que des coefficients de $P$ et $P^{-1}$ .

De manière plus précise, comme $A^n$ est une matrice réelle, on peut écrire $a_{ij}^{(n)} = 2 \text{Re}(\alpha_{ij} \lambda^n)$ , d'où :

|a_{ij}^{(n)}| \le 2 |\alpha_{ij}| \cdot |\lambda|^n

4. Majoration précise et estimation numérique

On sait que $|\lambda|^n = (\sqrt{0,7})^n = (0,7)^{n/2}$ . Pour $n = 1024$ , on a :

|\lambda|^{1024} = (0,7)^{512}

Passons au logarithme décimal pour évaluer cette quantité :

\log_{10}\left((0,7)^{512}\right) = 512 \log_{10}(0,7) = 512 (\log_{10}(7) - 1)

En utilisant l'approximation usuelle $\log_{10}(7) \approx 0,8451$ , on obtient :

\log_{10}\left((0,7)^{512}\right) \approx 512 (0,8451 - 1) = 512 (-0,1549) = -79,3088

Ainsi :

\boxed{|\lambda|^{1024} \approx 10^{-79,31}}

Les constantes devant $|\lambda|^n$ dans l'expression des coefficients (provenant de $P$ et $P^{-1}$ ) sont de l'ordre de l'unité. En effet, l'écart entre les valeurs propres $|\lambda - \bar{\lambda}| = \sqrt{1,8} \approx 1,34$ n'est pas "petit", ce qui garantit que les coefficients de $P^{-1}$ ne sont pas excessivement grands.

Plus rigoureusement, en utilisant $A^n = \frac{\lambda^n - \bar{\lambda}^n}{\lambda - \bar{\lambda}} A - \frac{\bar{\lambda}\lambda^n - \lambda\bar{\lambda}^n}{\lambda - \bar{\lambda}} I$ , on vérifie que les coefficients restent bien inférieurs à $10^{-78}$ .

Ne pas se précipiter sur un calcul de puissance par binôme de Newton si la matrice n'est pas décomposée sous la forme $D+N$ avec $N$ nilpotente. Ici, la diagonalisation sur $\mathbb{C}$ est la méthode la plus directe.