Convergence de suites couplées circulantes

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 2$ et $\alpha \in ]0, 1]$ . On considère $n$ suites complexes $\theta^{1}, \theta^{2}, \dots, \theta^{n}$ définies par la donnée de leurs premiers termes $(\theta_{0}^{1}, \theta_{0}^{2}, \dots, \theta_{0}^{n}) \in \mathbb{C}^{n}$ et par la relation de récurrence suivante : $\forall i \in \{1, \dots, n\}, \forall k \in \mathbb{N}^*$ ,

\theta_{k}^{i} = \alpha \theta_{k-1}^{i} + (1-\alpha) \theta_{k-1}^{i+1}

en posant par convention la condition de bord cyclique

\theta_{k-1}^{n+1} = \theta_{k-1}^{1}

.

Démontrer que chacune des $n$ suites $(\theta_{k}^{i})_{k \geq 0}$ converge vers une limite finie lorsque $k$ tend vers $+\infty$ .

1.

Traduire le système de relations de récurrence sous une forme matricielle du type $X_k = M X_{k-1}$ , où $X_k$ est le vecteur colonne des $n$ valeurs à l'instant $k$ .

2.

Identifier la structure particulière de la matrice $M$ (matrice circulante).

3.

Déterminer les valeurs propres de $M$ et étudier leur module.

4.

Utiliser la diagonalisabilité de $M$ dans $\mathbb{C}$ pour exprimer $M^k$ et étudier sa limite.

Idées clés

•

Modélisation matricielle d'un système de suites récurrentes linéaires.

•

Utilisation des propriétés des matrices circulantes et de leurs valeurs propres.

•

Critère de convergence des puissances d'une matrice diagonalisable.

1. Modélisation matricielle.

Posons, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , le vecteur colonne $X_k = \begin{pmatrix} \theta_k^1 \vdots \theta_k^n \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^n$ .

D'après les relations de l'énoncé, nous avons $X_k = M X_{k-1}$ avec :

M = \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha & 0 & \dots & 0 0 & \alpha & 1-\alpha & \dots & 0 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & \dots & 0 & \alpha & 1-\alpha 1-\alpha & 0 & \dots & 0 & \alpha \end{pmatrix}

Par une récurrence immédiate, on obtient :

\boxed{X_k = M^k X_0}

2. Étude du spectre de $M$ .

La matrice $M$ est une matrice circulante. On sait que toute matrice circulante de la forme $C(a_0, a_1, \dots, a_{n-1})$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et que ses valeurs propres sont données par :

\lambda_j = \sum_{p=0}^{n-1} a_p (\omega^j)^p   \text{où}   \omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}   \text{et}   j \in \{0, \dots, n-1\}

Ici, nous avons $a_0 = \alpha$ , $a_1 = 1-\alpha$ et $a_p = 0$ pour $p \geq 2$ . Ainsi :

\forall j \in \{0, \dots, n-1\},   \lambda_j = \alpha + (1-\alpha) \omega^j

3. Analyse des modules des valeurs propres.

Étudions le module de chaque $\lambda_j$ . Par l'inégalité triangulaire :

|\lambda_j| = |\alpha + (1-\alpha) e^{\frac{2ij\pi}{n}}| \leq |\alpha| + |(1-\alpha)|

Comme $\alpha \in ]0, 1]$ , on a $\alpha > 0$ et $1-\alpha \geq 0$ , donc :

|\lambda_j| \leq \alpha + 1 - \alpha = 1

Le cas d'égalité $|\lambda_j| = 1$ dans l'inégalité triangulaire pour des nombres complexes non nuls $z_1, z_2$ (ici $\alpha$ et $(1-\alpha)\omega^j$ ) n'est réalisé que si ces nombres ont le même argument modulo $2\pi$ .

Premier cas : $\alpha = 1$ . Alors $M = I_n$ , $M^k = I_n$ converge vers $I_n$ , et les suites sont constantes (donc convergentes).

Second cas : $\alpha \in ]0, 1[$ . On a $1-\alpha > 0$ . Les arguments doivent vérifier $\arg(\alpha) \equiv \arg((1-\alpha)e^{\frac{2ij\pi}{n}}) [2\pi]$ . Comme $\alpha$ et $1-\alpha$ sont des réels strictement positifs, cela impose :

0 \equiv \frac{2j\pi}{n} [2\pi] \iff j = 0

Ainsi, on en déduit que :

\boxed{\lambda_0 = 1   \text{et}   \forall j \in \{1, \dots, n-1\}, \ |\lambda_j| < 1}

4. Convergence de $M^k$ .

La matrice $M$ étant diagonalisable dans $\mathbb{C}$ , il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que :

M = P \text{diag}(1, \lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}) P^{-1}

On en déduit l'expression de la puissance $k$ -ième :

M^k = P \text{diag}(1, \lambda_1^k, \dots, \lambda_{n-1}^k) P^{-1}

Comme pour tout $j \in \{1, \dots, n-1\}$ , $|\lambda_j| < 1$ , on a $\lim_{k \to +\infty} \lambda_j^k = 0$ . Par continuité du produit matriciel :

\lim_{k \to +\infty} M^k = P \text{diag}(1, 0, \dots, 0) P^{-1} = L

La suite de matrices $(M^k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice $L$ .

Conclusion.

Le vecteur $X_k = M^k X_0$ converge vers $L X_0$ . Chaque coordonnée de $X_k$ , qui correspond à la suite $(\theta_k^i)$ , est donc convergente.

Ne pas oublier de traiter séparément le cas $\alpha=1$ (bien que l'analyse du module fonctionne, il est plus rigoureux de noter que si $1-\alpha=0$ , l'argument de $(1-\alpha)\omega^j$ n'est pas défini). Il faut également bien justifier la diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ avant de passer à la limite sur les puissances.