Stabilité d'un système de points

On étudie trois suites de points $(A_{n})_{n \geq 0}$ , $(B_{n})_{n \geq 0}$ et $(C_{n})_{n \geq 0}$ dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^{3}$ . Ces suites sont définies par les relations de récurrence suivantes pour tout entier naturel $n$ :

$B_{n}$ est le milieu du segment $[A_{n}, A_{n+1}]$ ,
$C_{n}$ est le milieu du segment $[B_{n}, B_{n+1}]$ ,
$A_{n+1}$ est le milieu du segment $[C_{n}, C_{n+1}]$ .

Déterminer l'ensemble des triplets initiaux

(A_{0}, B_{0}, C_{0})

tels que les trois suites

(A_{n})_{n \geq 0}

,

(B_{n})_{n \geq 0}

et

(C_{n})_{n \geq 0}

soient bornées.

1.

Exprimer $A_{n+1}$ , $B_{n+1}$ et $C_{n+1}$ en fonction de $A_n, B_n, C_n$ pour obtenir un système linéaire.

2.

Introduire la matrice de transition $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ associée à ce système.

3.

Étudier les valeurs propres de $M$ et leurs modules pour déterminer la condition de bornitude des itérés.

4.

Identifier le sous-espace stable associé aux valeurs propres de module inférieur ou égal à $1$ .

Idées clés

•

Traduction matricielle d'un système de suites récurrentes couplées.

•

Étude du spectre d'une matrice : la bornitude de $M^n X_0$ dépend du module des valeurs propres.

•

Utilisation de la diagonalisabilité pour décomposer l'espace en sous-espaces stables.

1. Mise en équation du système.

Traduisons les relations de milieu en égalités vectorielles :

$B_n = \frac{1}{2}(A_n + A_{n+1}) \implies A_{n+1} = 2B_n - A_n$
$C_n = \frac{1}{2}(B_n + B_{n+1}) \implies B_{n+1} = 2C_n - B_n$
$A_{n+1} = \frac{1}{2}(C_n + C_{n+1}) \implies C_{n+1} = 2A_{n+1} - C_n$

En substituant la première relation dans la troisième, on obtient :

C_{n+1} = 2(2B_n - A_n) - C_n = -2A_n + 4B_n - C_n

Posons le vecteur $X_n = \begin{pmatrix} A_n B_n C_n \end{pmatrix} \in (\mathbb{R}^3)^3$ . Le système s'écrit $X_{n+1} = (M \otimes I_3) X_n$ avec :

M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 0 & -1 & 2 -2 & 4 & -1 \end{pmatrix}

2. Recherche des valeurs propres de $M$ .

Calculons le polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ :

\chi_M(X) = \begin{vmatrix} X+1 & -2 & 0 0 & X+1 & -2 2 & -4 & X+1 \end{vmatrix}

En développant selon la première ligne :

\chi_M(X) = (X+1) \left[ (X+1)^2 - 8 \right] - (-2) \left[ 0 - (-4) \right]

\chi_M(X) = (X+1)^3 - 8(X+1) + 8

Posons $a = X+1$ . L'équation devient $a^3 - 8a + 8 = 0$ . On remarque que $a = 2$ est une solution car $2^3 - 8(2) + 8 = 8 - 16 + 8 = 0$ . On peut donc factoriser par $(a-2)$ :

a^3 - 8a + 8 = (a-2)(a^2 + 2a - 4)

Les racines de $a^2 + 2a - 4$ sont $\frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$ . Les valeurs de $a$ sont donc $\{2, -1+\sqrt{5}, -1-\sqrt{5}\}$ . Comme $X = a-1$ , les valeurs propres de $M$ sont :

\lambda_1 = 1,   \lambda_2 = -2 + \sqrt{5},   \lambda_3 = -2 - \sqrt{5}

3. Analyse de la convergence et bornitude.

Observons les modules des valeurs propres :

$|\lambda_1| = 1$ .
$|\lambda_2| = \sqrt{5} - 2 \approx 0,236 < 1$ .
$|\lambda_3| = |-2 - \sqrt{5}| = 2 + \sqrt{5} \approx 4,236 > 1$ .

La matrice $M$ possède trois valeurs propres réelles distinctes, elle est donc diagonalisable sur $\mathbb{R}$ . Les suites $(A_n), (B_n), (C_n)$ sont bornées si et seulement si la composante de $X_0$ sur le sous-espace propre $E_{\lambda_3}$ est nulle.

Cela signifie que $X_0$ doit appartenir au sous-espace $E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2}$ .

4. Détermination de la condition géométrique.

Cherchons les vecteurs propres associés à $a=2$ (soit $\lambda=1$ ) et $a = -1+\sqrt{5}$ (soit $\lambda = \sqrt{5}-2$ ). Pour une valeur $a$ donnée, on résout $(M+I)V = aV \iff \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 -2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix}$ .

Le système est : $2y = ax \implies y = \frac{a}{2}x$ $2z = ay \implies z = \frac{a}{2}y = \frac{a^2}{4}x$

Pour $a=2$ , on a le vecteur $u_1 = \begin{pmatrix} 1 1 1 \end{pmatrix}$ . Pour $a=-1+\sqrt{5}$ , on a le vecteur $u_2 = \begin{pmatrix} 1 \frac{\sqrt{5}-1}{2} \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{pmatrix}$ .

Le vecteur initial $X_0$ doit être dans $\text{Vect}(u_1, u_2)$ pour chaque coordonnée dans $\mathbb{R}^3$ . L'équation du plan $\text{Vect}(u_1, u_2)$ dans $\mathbb{R}^3$ est de la forme $x + \alpha y + \beta z = 0$ . Par substitution : $1 + \alpha + \beta = 0$ $1 + \alpha \frac{\sqrt{5}-1}{2} + \beta \frac{3-\sqrt{5}}{2} = 0$

On trouve après résolution : $\alpha = -\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ et $\beta = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Ainsi, la condition est :

\boxed{ A_0 - \frac{3+\sqrt{5}}{2} B_0 + \frac{1+\sqrt{5}}{2} C_0 = \vec{0} }

Attention à ne pas oublier que les points sont dans $\mathbb{R}^3$ . La condition porte sur chaque coordonnée, ce qui se résume par une relation vectorielle sur les points initiaux.