Convergence de l'opérateur de Bernstein

Résolution.

1. Linéarité et nature de l'image. La linéarité de $B$ découle immédiatement de la linéarité de la somme. Pour toute fonction $f \in E$, $B(f)$ est une combinaison linéaire des fonctions $x \mapsto x^k(1-x)^{p-k}$. Chacune de ces fonctions est un polynôme de degré $k + (p-k) = p$. Ainsi, $B(f)$ est un polynôme de degré au plus $p$. On a donc :
   $$\boxed{B(E) \subset \mathbb{R}_p[X]}$$

2. Stabilité de $\mathbb{R$_j[X].} Calculons $B(e_j)(x) = \sum_{k=0}^p \left(\frac{k}{p}\right)^j \binom{p}{k} x^k (1-x)^{p-k}$. On utilise l'identité classique : $k(k-1)\dots(k-i+1) \binom{p}{k} = p(p-1)\dots(p-i+1) \binom{p-i}{k-i}$. Le terme $(k/p)^j$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de la base de Newton :
   $$\frac{k^j}{p^j} = \sum_{i=0}^j c_i \frac{k(k-1)\dots(k-i+1)}{p^i}$$
   En injectant cela dans la somme, on obtient :
   $$B(e_j)(x) = \sum_{i=0}^j \gamma_i \sum_{k=i}^p \binom{p-i}{k-i} x^k (1-x)^{p-k}$$
   En posant $m = k-i$, la somme intérieure devient :
   $$x^i \sum_{m=0}^{p-i} \binom{p-i}{m} x^m (1-x)^{p-i-m} = x^i (x + 1 - x)^{p-i} = x^i$$
   Ainsi, $B(e_j)$ est une combinaison linéaire de $(1, x, \dots, x^j)$. On en conclut que $B(e_j) \in \mathbb{R}_j[X]$.
3. Valeurs propres de la restriction. Notons $u$ la restriction de $B$ à $\mathbb{R}_p[X]$. D'après la question précédente, la matrice de $u$ dans la base canonique $(e_0, e_1, \dots, e_p)$ est triangulaire supérieure. Les valeurs propres sont les coefficients diagonaux $\lambda_j$, qui correspondent au coefficient de $x^j$ dans $B(e_j)$. D'après le calcul précédent, le seul terme contribuant à $x^j$ est celui pour $i=j$ dans la décomposition de $k^j/p^j$. Le coefficient dominant de $\frac{k^j}{p^j}$ en tant que polynôme en $k$ est $\frac{1}{p^j}$. En utilisant $\frac{k(k-1)\dots(k-j+1)}{p^j} \binom{p}{k} = \frac{p(p-1)\dots(p-j+1)}{p^j} \binom{p-j}{k-j}$, le coefficient de $x^j$ est :
   $$\boxed{\lambda_j = \frac{p(p-1)\dots(p-j+1)}{p^j} = \frac{p!}{p^j(p-j)!}}$$
   On observe que :
   • $\lambda_0 = 1$ (correspondant à $e_0$)
   • $\lambda_1 = \frac{p}{p} = 1$ (correspondant à $e_1$)
   • $\forall j \in \{2, \dots, p\},   0 < \lambda_j < 1$.

4. Convergence et limite. Soit $f \in E$. Pour $n \geq 1$, $B^n(f) = u^{n-1}(B(f))$. Comme $B(f) \in \mathbb{R}_p[X]$, nous étudions la suite $u^n(P)$ pour $P \in \mathbb{R}_p[X]$. Soit $M$ la matrice de $u$ dans la base canonique. $M$ est de la forme :
   $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & *$$
   0 & 1 & *
   0 & 0 & T \end{pmatrix}
   où $T$ est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont les $\lambda_j \in [0, 1[$ pour $j \geq 2$. Ainsi, le rayon spectral de $T$ est strictement inférieur à 1, donc $T^n \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Cela prouve que $M^n$ converge vers une matrice $M_\infty$. Par conséquent, $B^n(f)$ converge vers un polynôme $L \in \mathbb{R}_p[X]$. Puisque $B^n(f) \to L$, par continuité de $B$ (en dimension finie sur $\mathbb{R}_p[X]$), on a $B(L) = L$. L'espace des points fixes de $u$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Comme $\lambda_0 = \lambda_1 = 1$ et $\lambda_j < 1$ pour $j \geq 2$, cet espace est de dimension 2. On vérifie aisément que $B(e_0) = e_0$ et $B(e_1) = e_1$. Donc :
   $$\ker(u - \text{id}) = \mathbb{R}_1[X]$$
   La limite $L$ est donc une fonction affine : $L(x) = ax + b$. Pour déterminer $a$ et $b$, on remarque que pour tout $g \in E$ :
   $$B(g)(0) = g(0) \binom{p}{0} 0^0 1^p = g(0)$$
   $$B(g)(1) = g(1) \binom{p}{p} 1^p 0^0 = g(1)$$
   Par récurrence, pour tout $n$, $B^n(f)(0) = f(0)$ et $B^n(f)(1) = f(1)$. En passant à la limite : $L(0) = f(0)$ et $L(1) = f(1)$. On en déduit $b = f(0)$ et $a+b = f(1)$, d'où $a = f(1) - f(0)$.
   $$\boxed{\forall x \in [0,1],   \lim_{n \to \infty} B^n(f)(x) = f(0) + x(f(1) - f(0))}$$