Matrices congrues à l'identité et nilpotence

Soit $R \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ une matrice telle que $M = I_{n} + 3 R$ . On s'intéresse aux puissances de $M$ .

On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{N}^{*}$ $k \in N^{*}$ tel que $M^{k} = I_{n}$ $M^{k} = I_{n}$ .
1. Montrer que les valeurs propres de $R$ sont des nombres complexes de module strictement inférieur à $1$ .
2. Justifier que le polynôme caractéristique de $R$ est à coefficients entiers.
3. En déduire que $R$ est une matrice nilpotente.
En utilisant la diagonalisabilité de $M$ , démontrer que si $M^{k} = I_{n}$ , alors $R = 0$ .
Que peut-on dire du résultat si l'on remplace $3$ par $2$ dans la définition de $M$ ?

1.

La question 1(a) se traite par une analyse sur les racines de l'unité, similairement à l'exercice précédent.

2.

Pour 1(c), un polynôme dont toutes les racines ont un module $<1$ et dont les coefficients sont entiers est très contraint.

3.

Pour la question 3, chercher un contre-exemple simple en dimension 2 avec $M^2 = I_2$ .

Idées clés

•

Lien entre spectre de $M$ et spectre de $R$ .

•

Propriété des entiers : le seul entier de module strictement inférieur à $1$ est $0$ .

•

Lien entre nilpotence et diagonalisabilité.

Résolution.

Propriétés de $R$ .
1. Comme $M^k = I_n$ , les valeurs propres de $M$ sont dans $\mathbb{U}_k$ . Soit $\lambda$ une valeur propre de $R$ . Alors $\mu = 1 + 3\lambda$ est une valeur propre de $M$ . On a donc $|1 + 3\lambda| = 1$ . Posons $\mu = e^{i\theta}$ . Alors $3\lambda = e^{i\theta} - 1$ . Par l'inégalité triangulaire, $|3\lambda| \leq |e^{i\theta}| + |-1| = 2$ . Ainsi, $|\lambda| \leq \frac{2}{3}$ . On a donc bien : $\boxed{|\lambda| < 1}$
2. Le polynôme caractéristique $\chi_R$ est donné par $\det(XI_n - R)$ . Comme $R \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , le déterminant est une somme de produits de termes entiers. Par conséquent, les coefficients de $\chi_R$ sont des entiers : $\boxed{\chi_R \in \mathbb{Z}[X]}$
3. Notons $\chi_R(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$ . On sait que $a_0 = (-1)^n \prod \lambda_i$ . Puisque $|\lambda_i| < 1$ , on a $|a_0| < 1$ . Comme $a_0 \in \mathbb{Z}$ , on a nécessairement $a_0 = 0$ . De manière plus générale, les fonctions symétriques élémentaires des racines $\lambda_i$ sont les coefficients $a_j$ . Cependant, un argument plus simple consiste à dire que si $\chi_R \neq X^n$ , alors il existe un coefficient non nul de plus bas degré, qui est le produit des racines non nulles. Ce produit serait de module $<1$ et entier, ce qui est impossible. Donc $\chi_R(X) = X^n$ . Le spectre de $R$ est réduit à $\{0\}$ : $\boxed{R \text{ est nilpotente}}$
Conclusion sur $R$ . La matrice $M$ est annulée par $X^k - 1$ , qui est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ . $M$ est donc diagonalisable. Comme $R = \frac{1}{3}(M - I_n)$ , $R$ est également diagonalisable (car elle est un polynôme en $M$ ). Une matrice diagonalisable et nilpotente est nécessairement nulle. $\boxed{R = 0}$
Cas $m=2$ . Si $M = I_n + 2R$ , le résultat est faux. Prenons $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2$ . On a bien $M^2 = I_2$ . On cherche $R$ tel que $I_2 + 2R = -I_2$ , soit $2R = -2I_2$ , d'où $R = -I_2$ . Ici $R$ est une matrice entière non nulle. Remarque : La condition $m \geq 3$ est donc cruciale car pour $m=2$ , la valeur propre $\omega = -1$ de $M$ donne une valeur propre $\lambda = \frac{-1-1}{2} = -1$ pour $R$ , de module $1$ , ce qui bloque l'argument.

Ne pas oublier de justifier pourquoi $R$ est diagonalisable. Le fait que $M$ soit diagonalisable implique que n'importe quelle combinaison linéaire $aM + bI$ l'est aussi.