Similitude de matrices diagonales à coefficients rationnels

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice diagonale.

À quelle condition nécessaire et suffisante existe-t-il une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ telle que $D$ et $M$ soient semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ?
Répondre à la même question en remplaçant $\mathbb{Q}$ par $\mathbb{Z}$ .

1.

Rappeler qu'une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est semblable à une matrice diagonale $D$ si et seulement si elle est diagonalisable et possède le même polynôme caractéristique que $D$ .

2.

Pour la suffisance, utiliser la décomposition du polynôme caractéristique en facteurs irréductibles sur $\mathbb{Q}$ et considérer des matrices compagnons.

3.

Pour le cas entier, noter que le polynôme caractéristique d'une matrice à coefficients entiers est un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$ .

Idées clés

•

Invariance du polynôme caractéristique par similitude.

•

Caractérisation de la similitude pour les matrices diagonalisables.

•

Utilisation des matrices compagnons $C(P)$ dont le polynôme caractéristique est $P$ .

Résolution.

Cas de $\mathcal{M$ _n(\mathbb{Q}) $M_{n} (Q)$ .} Soit $P = \chi_D = \prod_{i=1}^n (X - \lambda_i) \in \mathbb{C}[X]$ le polynôme caractéristique de $D$ . Condition nécessaire : Supposons qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ telle que $M$ soit semblable à $D$ sur $\mathbb{C}$ . Alors $M$ et $D$ ont le même polynôme caractéristique. Or : $\chi_M(X) = \det(XI_n - M)$ Comme $M$ est à coefficients rationnels, le calcul du déterminant montre que $\chi_M \in \mathbb{Q}[X]$ . Par conséquent, une condition nécessaire est que $\chi_D \in \mathbb{Q}[X]$ . Condition suffisante : Supposons que $\chi_D \in \mathbb{Q}[X]$ . Notons $P = \chi_D$ . Décomposons $P$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb{Q}[X]$ : $P = \prod_{j=1}^r P_j$ où chaque $P_j \in \mathbb{Q}[X]$ est unitaire et irréductible sur $\mathbb{Q}$ . Puisque $D$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , son polynôme minimal $m_D$ est à racines simples dans $\mathbb{C}$ . Comme $m_D$ divise $P$ , les racines de chaque $P_j$ doivent être des racines de $m_D$ , donc elles sont simples. En caractéristique nulle, un polynôme irréductible est toujours à racines simples. Pour chaque $j \in \{1, \dots, r\}$ , notons $n_j = \deg(P_j)$ et $C(P_j) \in \mathcal{M}_{n_j}(\mathbb{Q})$ la matrice compagnon associée à $P_j$ . Le polynôme caractéristique de $C(P_j)$ est $P_j$ . Comme les racines de $P_j$ sont simples dans $\mathbb{C}$ , $C(P_j)$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ . Considérons la matrice diagonale par blocs : $M = \text{diag}(C(P_1), C(P_2), \dots, C(P_r)) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ Le polynôme caractéristique de $M$ est le produit des polynômes caractéristiques des blocs, soit $\prod P_j = \chi_D$ . De plus, $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ car chaque bloc l'est. Deux matrices diagonalisables ayant le même polynôme caractéristique sont semblables sur $\mathbb{C}$ . Ainsi $M \sim D$ . $\boxed{\text{La CNS est } \chi_D \in \mathbb{Q}[X]}$
Cas de $\mathcal{M$ _n(\mathbb{Z}) $M_{n} (Z)$ .} Le raisonnement est analogue. Si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , alors $\chi_M(X) = \det(XI_n - M)$ est un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$ . La condition nécessaire est donc $\chi_D \in \mathbb{Z}[X]$ . Réciproquement, si $\chi_D \in \mathbb{Z}[X]$ , on peut encore écrire $\chi_D = \prod_{j=1}^r P_j$ où les $P_j$ sont des polynômes unitaires de $\mathbb{Z}[X]$ , irréductibles dans $\mathbb{Q}[X]$ (par le lemme de Gauss). La matrice compagnon $C(P_j)$ d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est à coefficients entiers. En reprenant la matrice $M$ définie par blocs de matrices compagnons, on obtient $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ avec $M \sim D$ . $\boxed{\text{La CNS est } \chi_D \in \mathbb{Z}[X]}$

Ne pas oublier de justifier la diagonalisabilité de la matrice compagnon. Une matrice compagnon $C(P)$ n'est diagonalisable que si les racines de $P$ sont simples. Ici, l'irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ garantit la simplicité des racines dans $\mathbb{C}$ .