Trigonalisabilité sur un corps fini

Soit $\mathbb{K}$ un corps fini de cardinal $q$ et soit $n \in \mathbb{N}^*$ .

On considère une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Démontrer que la matrice $M$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ si et seulement si elle vérifie la relation :

\left(M^{q}-M\right)^{n}=0

1.

Rappeler que dans un corps fini $\mathbb{K}$ de cardinal $q$ , tous les éléments sont racines du polynôme $X^q - X$ .

2.

Pour le sens direct, utiliser le fait qu'une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé. Étudier alors la nature de la matrice $M^q - M$ .

3.

Pour le sens réciproque, exploiter l'existence d'un polynôme annulateur scindé pour conclure sur la nature du polynôme minimal.

Idées clés

•

Propriété fondamentale des corps finis : $x^q = x$ pour tout $x \in \mathbb{K}$ .

•

Lien entre trigonalisabilité et caractère scindé du polynôme caractéristique.

•

Une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est nulle est nilpotente.

Résolution.

Soit $\mathbb{K}$ un corps fini de cardinal $q$ . Un résultat classique de la théorie des corps affirme que le polynôme $X^q - X$ possède pour racines exactement tous les éléments de $\mathbb{K}$ .

Puisque $\text{card}(\mathbb{K}) = q$ , on a la factorisation suivante dans $\mathbb{K}[X]$ :

\boxed{X^q - X = \prod_{a \in \mathbb{K}} (X - a)}

Sens direct : $\implies$

Supposons que $M$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Par définition, il existe une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et une matrice triangulaire supérieure $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que :

M = P T P^{-1}

Les coefficients diagonaux de $T$ , notés $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ , sont les valeurs propres de $M$ . Comme $M$ est trigonalisable sur $\mathbb{K}$ , ces valeurs propres appartiennent toutes à $\mathbb{K}$ .

D'après le rappel ci-dessus, on a $\lambda_i^q - \lambda_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ .

Considérons la matrice $M^q - M$ . On a :

M^q - M = (P T P^{-1})^q - P T P^{-1} = P (T^q - T) P^{-1}

La matrice $T^q - T$ est encore triangulaire supérieure (car les matrices triangulaires supérieures forment une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ). Ses coefficients diagonaux sont :

\lambda_i^q - \lambda_i = 0,   \forall i \in \{1, \dots, n\}

Ainsi, $T^q - T$ est une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Un tel endomorphisme est strictement triangulaire, donc nilpotent d'indice au plus $n$ . On en déduit :

(T^q - T)^n = 0

Par similitude, il vient immédiatement :

\boxed{(M^q - M)^n = 0}

Sens réciproque : $\impliedby$

Supposons que $(M^q - M)^n = 0$ .

Cela signifie que le polynôme $P(X) = (X^q - X)^n$ est un polynôme annulateur de $M$ .

Utilisons la factorisation de $X^q - X$ vue précédemment :

P(X) = \left( \prod_{a \in \mathbb{K}} (X - a) \right)^n = \prod_{a \in \mathbb{K}} (X - a)^n

Le polynôme $P$ est clairement scindé sur $\mathbb{K}$ puisque toutes ses racines (les éléments de $\mathbb{K}$ ) appartiennent au corps de base.

Or, nous savons que le polynôme minimal $\mu_M$ divise tout polynôme annulateur de $M$ . Ainsi, $\mu_M$ divise $P$ .

Comme $P$ est scindé sur $\mathbb{K}$ , son diviseur $\mu_M$ est également scindé sur $\mathbb{K}$ .

D'après le critère de trigonalisabilité du cours, une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme minimal (ou de manière équivalente son polynôme caractéristique) est scindé sur le corps considéré.

On conclut donc :

\boxed{M \text{ est trigonalisable sur } \mathbb{K}}

Il ne faut pas confondre diagonalisabilité et trigonalisabilité. La condition $(M^q - M)^n = 0$ implique la trigonalisabilité. Pour la diagonalisabilité, il faudrait que le polynôme minimal soit à racines simples, ce qui correspondrait à $M^q - M = 0$ .