Appartenance à une algèbre monogène

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice supposée diagonalisable. On définit la matrice $B$ par la relation :

B = A^3 + A + I_n

Montrer que la matrice $A$ est un polynôme en la matrice $B$ , c'est-à-dire que $A \in \mathbb{R}[B]$ .
Ce résultat reste-t-il valable si l'on suppose désormais que $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser le fait qu'une matrice diagonalisable $A$ s'exprime comme un polynôme en $B = P(A)$ si et seulement si le polynôme $P$ est injectif sur le spectre de $A$ .

2.

Pour la question 2, chercher deux complexes distincts $\lambda_1$ et $\lambda_2$ tels que $\lambda_1^3 + \lambda_1 = \lambda_2^3 + \lambda_2$ . Construire ensuite une matrice diagonale simple.

Idées clés

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Structure des algèbres monogènes : $A \in \mathbb{K}[P(A)]$ ssi $P$ sépare les valeurs propres de $A$ .

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Lien entre diagonalisation et interpolation de Lagrange.

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Étude de la monotonie pour l'injectivité sur $\mathbb{R}$ .

1. Cas réel.

Posons le polynôme $P = X^3 + X + 1 \in \mathbb{R}[X]$ . On a ainsi $B = P(A)$ .

Puisque $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ , il existe une matrice inversible $M \in GL_n(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ telles que :

A = M D M^{-1}

Par conséquent, pour tout polynôme $Q$ , on a $Q(A) = M Q(D) M^{-1}$ . En particulier :

B = P(A) = M \cdot \text{diag}(P(\lambda_1), \dots, P(\lambda_n)) \cdot M^{-1}

Soit $Sp(A) = \{\mu_1, \dots, \mu_k\}$ l'ensemble des valeurs propres distinctes de $A$ . Pour montrer que $A \in \mathbb{R}[B]$ , il suffit de trouver un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $Q(B) = A$ . D'après la forme diagonale, cela revient à chercher $Q$ tel que :

\forall j \in \{1, \dots, k\},   Q(P(\mu_j)) = \mu_j

L'existence d'un tel polynôme $Q$ est garantie par l'interpolation de Lagrange si et seulement si les valeurs $P(\mu_j)$ sont deux à deux distinctes. Étudions la fonction $f : x \mapsto x^3 + x + 1$ sur $\mathbb{R}$ . Sa dérivée est :

\forall x \in \mathbb{R},   f'(x) = 3x^2 + 1

Comme $f'(x) > 0$ pour tout réel $x$ , la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Elle est donc injective. Ainsi, pour tous réels distincts $\mu_i$ et $\mu_j$ , on a $P(\mu_i) \neq P(\mu_j)$ .

En utilisant le polynôme d'interpolation de Lagrange $Q$ qui prend les valeurs $\mu_j$ aux points $P(\mu_j)$ , on obtient $Q(B) = A$ .

\boxed{ A \in \mathbb{R}[B] }

2. Cas complexe.

Sur $\mathbb{C}$ , le polynôme $P(X) = X^3 + X + 1$ n'est plus injectif. Cherchons deux valeurs distinctes ayant la même image. Par exemple, résolvons $P(z) = 1$ :

z^3 + z = 0 \iff z(z^2 + 1) = 0 \iff z \in \{0, i, -i\}

Considérons la matrice $A = \begin{pmatrix} i & 0 0 & -i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . $A$ est diagonalisable (elle est déjà diagonale) et ses valeurs propres sont distinctes. Calculons $B$ :

B = P(A) = \begin{pmatrix} P(i) & 0 0 & P(-i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2

Dans ce cas, l'ensemble des polynômes en $B$ est :

\mathbb{C}[B] = \mathbb{C}[I_2] = \{ \alpha I_2 \mid \alpha \in \mathbb{C} \}

Or, la matrice $A$ n'est pas une matrice scalaire (puisque $i \neq -i$ ). Donc :

\boxed{ A \notin \mathbb{C}[B] }

Le résultat ne subsiste donc pas en remplaçant $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ .

L'erreur classique consiste à croire que $A = P^{-1}(B)$ est toujours possible. Il faut impérativement que $P$ soit une injection de l'ensemble des valeurs propres de $A$ vers l'ensemble des valeurs propres de $B$ .