Projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ dont le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ .

On note $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ les valeurs propres distinctes de $u$ , et $m_1, \dots, m_p$ leurs multiplicités respectives dans $\chi_u$ . Pour chaque $k \in \{1, \dots, p\}$ , on note $E^c_k = \ker((u - \lambda_k \text{id}_E)^{m_k})$ le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre $\lambda_k$ .

Démontrer que pour tout $k \in \{1, \dots, p\}$ , le projecteur sur $E^c_k$ parallèlement à la somme directe $\bigoplus_{j \neq k} E^c_j$ est un polynôme en $u$ .

1.

Utiliser le lemme des noyaux pour justifier la décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces caractéristiques.

2.

Pour une valeur propre $\lambda_k$ fixée, considérer les polynômes $P_k = (X - \lambda_k)^{m_k}$ et $Q_k = \prod_{j \neq k} (X - \lambda_j)^{m_j}$ .

3.

Appliquer le théorème de Bézout à ces deux polynômes qui sont premiers entre eux.

4.

Vérifier que l'un des termes de l'identité de Bézout appliquée à $u$ définit précisément le projecteur recherché.

Idées clés

•

Décomposition de l'espace par le lemme des noyaux.

•

Utilisation de l'identité de Bézout dans $\mathbb{K}[X]$ .

•

Lien entre projecteurs d'une somme directe et polynômes annulateurs.

Résolution.

Comme le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ , il s'écrit sous la forme :

\chi_u = (-1)^n \prod_{k=1}^p (X - \lambda_k)^{m_k}

D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $\chi_u$ est un polynôme annulateur de $u$ . En appliquant le lemme des noyaux à la décomposition de $\chi_u$ en facteurs irréductibles deux à deux premiers entre eux, on obtient la décomposition de $E$ en somme directe des sous-espaces caractéristiques :

E = \bigoplus_{k=1}^p \ker((u - \lambda_k \text{id}_E)^{m_k}) = \bigoplus_{k=1}^p E^c_k

Fixons un indice $k \in \{1, \dots, p\}$ . On définit les deux polynômes suivants :

P_k = (X - \lambda_k)^{m_k}   \text{et}   Q_k = \prod_{j \neq k} (X - \lambda_j)^{m_j}

Puisque les valeurs propres $\lambda_j$ sont distinctes, les polynômes $P_k$ et $Q_k$ n'ont aucune racine commune dans $\mathbb{K}$ . Ils sont donc premiers entre eux dans $\mathbb{K}[X]$ :

\text{pgcd}(P_k, Q_k) = 1

Par le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $U_k, V_k \in \mathbb{K}[X]$ tels que :

U_k P_k + V_k Q_k = 1

En substituant l'endomorphisme $u$ dans cette égalité de polynômes, on obtient :

U_k(u) \circ P_k(u) + V_k(u) \circ Q_k(u) = \text{id}_E

Posons $\pi_k = V_k(u) \circ Q_k(u)$ . Par construction, $\pi_k$ est un polynôme en $u$ . Montrons qu'il s'agit du projecteur recherché.

Soit $x \in E$ . D'après la décomposition de $E$ , il existe un unique $p$ -uplet $(x_1, \dots, x_p)$ avec $x_i \in E^c_i$ tel que $x = \sum_{i=1}^p x_i$ .

Si $i = k$ , alors $x_k \in \ker(P_k(u))$ . L'égalité de Bézout appliquée à $x_k$ donne :

\pi_k(x_k) = V_k(u) \circ Q_k(u)(x_k) = x_k - U_k(u) \circ \underbrace{P_k(u)(x_k)}_{=0} = x_k

Si $i \neq k$ , le polynôme $Q_k$ contient le facteur $(X - \lambda_i)^{m_i}$ . On peut donc écrire $Q_k = (X - \lambda_i)^{m_i} \cdot R(X)$ pour un certain $R \in \mathbb{K}[X]$ . Comme $x_i \in E^c_i = \ker((u - \lambda_i \text{id}_E)^{m_i})$ , on a :

\pi_k(x_i) = V_k(u) \circ R(u) \circ \underbrace{(u - \lambda_i \text{id}_E)^{m_i}(x_i)}_{=0} = 0

Par linéarité de $\pi_k$ , on en déduit :

\pi_k(x) = \sum_{i=1}^p \pi_k(x_i) = x_k

On a donc prouvé que $\pi_k$ agit comme l'identité sur $E^c_k$ et comme l'application nulle sur les autres sous-espaces caractéristiques $E^c_j$ ( $j \neq k$ ).

\boxed{ \pi_k \text{ est le projecteur sur } E^c_k \text{ parallèlement à } \bigoplus_{j \neq k} E^c_j }

Puisque $\pi_k = (V_k Q_k)(u)$ , il s'agit bien d'un élément de $\mathbb{K}[u]$ .

\boxed{ \pi_k \in \mathbb{K}[u] }

Ne pas confondre sous-espace propre $E_{\lambda}$ et sous-espace caractéristique $E^c_{\lambda}$ . Le projecteur sur le sous-espace propre n'est pas nécessairement un polynôme en $u$ si $u$ n'est pas diagonalisable. En revanche, le projecteur sur le sous-espace caractéristique l'est toujours (dès lors que le polynôme caractéristique est scindé).