Déterminant du commutant et décompositions stables

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{R}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme. On note $\mathcal{C}(u)$ le commutant de $u$ , c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes $v$ de $E$ tels que $u \circ v = v \circ u$ .

Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :

Il existe un endomorphisme $v \in \mathcal{C}(u)$ tel que $\det(v) = -1$ .
Il existe une décomposition $E = F \oplus G$ où $F$ et $G$ sont deux sous-espaces stables par $u$ , tels que l'un des deux soit de dimension impaire.

1.

Pour $(2) \implies (1)$ , on pourra considérer une symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ .

2.

Pour $(1) \implies (2)$ , on s'intéressera aux sous-espaces caractéristiques de $v$ (les noyaux $\ker(v - \lambda \text{Id})^k$ ) et à leur stabilité par $u$ .

3.

Rappel : le déterminant d'un endomorphisme est le produit de ses valeurs propres complexes comptées avec leur multiplicité. Pour un endomorphisme réel, les valeurs propres non réelles sont deux à deux conjuguées.

Idées clés

•

Construction d'un élément du commutant via une décomposition stable.

•

Stabilité des sous-espaces caractéristiques par tout endomorphisme qui commute.

•

Lien entre le signe du déterminant et la parité des dimensions des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres réelles négatives.

Démonstration de (2) $\implies$ (1).

Supposons qu'il existe $F$ et $G$ stables par $u$ tels que $E = F \oplus G$ avec, par exemple, $\dim F$ impaire.

On définit l'application $v$ par :

\forall (x_F, x_G) \in F \times G,   v(x_F + x_G) = -x_F + x_G

Déterminant de $v$ : En choisissant une base de $E$ adaptée à la décomposition $F \oplus G$ , la matrice de $v$ est diagonale par blocs : $\text{Mat}(v) = \begin{pmatrix} -I_{\dim F} & 0 0 & I_{\dim G} \end{pmatrix}$ Ainsi, $\det(v) = (-1)^{\dim F} \times (1)^{\dim G}$ . Comme $\dim F$ est impaire : $\boxed{\det(v) = -1}$
Commutation avec $u$ : Soit $x = x_F + x_G \in E$ . Par stabilité de $F$ et $G$ sous $u$ , on a $u(x_F) \in F$ et $u(x_G) \in G$ . $v(u(x)) = v(u(x_F) + u(x_G)) = -u(x_F) + u(x_G)$ D'autre part : $u(v(x)) = u(-x_F + x_G) = -u(x_F) + u(x_G)$ On en déduit que $v \circ u = u \circ v$ , donc $v \in \mathcal{C}(u)$ .

Démonstration de (1) $\implies$ (2).

Supposons qu'il existe $v \in \mathcal{C}(u)$ tel que $\det(v) = -1$ .

Considérons le polynôme caractéristique de $v$ sur $\mathbb{R}$ , noté $\chi_v$ . Puisque $\det(v) = (-1)^n \chi_v(0)$ , le produit des valeurs propres de $v$ (dans $\mathbb{C}$ , comptées avec multiplicité) est égal à $-1$ .

Les valeurs propres complexes non réelles de $v$ apparaissent par paires conjuguées $(\mu, \bar{\mu})$ . Le produit associé à chaque paire est $\mu \bar{\mu} = |\mu|^2 > 0$ . Pour que le produit total soit négatif, il est nécessaire que $v$ possède au moins une valeur propre réelle négative $\lambda < 0$ dont la multiplicité totale dans $\chi_v$ est impaire.

Soit $\lambda < 0$ une telle valeur propre. On considère le sous-espace caractéristique associé à $\lambda$ pour l'endomorphisme $v$ :

F = \ker(v - \lambda \text{Id}_E)^m

où

m

est la multiplicité de

\lambda

dans le polynôme minimal de

v

(ou simplement la dimension de l'espace pour être sûr de tout capturer). Par définition des sous-espaces caractéristiques en dimension finie, on sait que

\dim F

est la multiplicité de

\lambda

dans

\chi_v

, donc :

\boxed{\dim F \text{ est impaire}}

De plus, d'après le lemme des noyaux appliqué au polynôme caractéristique (ou minimal) de $v$ , il existe un sous-espace $G$ tel que :

E = F \oplus G

où

G

est la somme directe des autres sous-espaces caractéristiques de

v

.

Vérification de la stabilité :

Puisque $u$ et $v$ commutent, $u$ commute avec tout polynôme en $v$ . En particulier, $u$ commute avec $P(v) = (v - \lambda \text{Id}_E)^m$ .
Soit $x \in F$ . Alors $(v - \lambda \text{Id}_E)^m (u(x)) = u((v - \lambda \text{Id}_E)^m (x)) = u(0) = 0$ .
Donc $u(x) \in F$ , ce qui prouve que $F$ est stable par $u$ .
Par le même raisonnement, chaque sous-espace caractéristique de $v$ est stable par $u$ , donc leur somme directe $G$ est également stable par $u$ .

Nous avons donc construit une décomposition $E = F \oplus G$ en sous-espaces stables par $u$ avec $\dim F$ impaire.

Une erreur classique est de penser que (ii) impose que la dimension totale de $E$ soit impaire. C'est faux : si $\dim E = 4$ , on peut avoir $\dim F = 1$ et $\dim G = 3$ . Le déterminant de la symétrie sera bien $(-1)^1 = -1$ .