Décomposition de Jordan-Dunford

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ . On suppose que le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ .

Montrer qu'il existe un unique couple d'endomorphismes $(d, n)$ $(d, n)$ tel que :
- $u = d + n$
- $d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent
- $d \circ n = n \circ d$
Montrer de plus que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On définit $\Theta : X \mapsto AX - XB$ . Montrer que si $A$ et $B$ sont diagonalisables, alors $\Theta$ est diagonalisable. Est-ce une condition nécessaire ?

1.

Pour l'existence, utiliser le lemme des noyaux sur les sous-espaces caractéristiques $C_\lambda = \ker(u-\lambda \text{id})^{m_\lambda}$ .

2.

Pour le caractère polynomial, utiliser le théorème des restes chinois sur les polynômes pour trouver $P$ tel que $P(X) \equiv \lambda_i \pmod{(X-\lambda_i)^{m_i}}$ .

3.

Pour la question 3, utiliser le résultat de l'exercice 1 en adaptant le signe de $B$ .

Idées clés

•

Sous-espaces caractéristiques et lemme des noyaux.

•

Interpolation de Lagrange-Hermite ou restes chinois.

•

Unicité par commutation et propriétés de $d$ et $n$ .

Résolution.

Existence. Comme $\chi_u$ est scindé, $E = \bigoplus_{i=1}^k C_{\lambda_i}$ où $C_{\lambda_i} = \ker(u-\lambda_i \text{id})^{m_i}$ . Soit $d$ l'unique endomorphisme dont la restriction à chaque $C_{\lambda_i}$ est l'homothétie $\lambda_i \text{id}_{C_{\lambda_i}}$ . $d$ est diagonalisable car $E$ est somme directe de ses sous-espaces propres. Posons $n = u - d$ . Pour tout $x \in C_{\lambda_i}$ : $(u-d)(x) = (u-\lambda_i \text{id})(x)$ Comme $(u-\lambda_i \text{id})^{m_i}$ s'annule sur $C_{\lambda_i}$ , $n^{m_i}$ s'annule sur $C_{\lambda_i}$ . En prenant $m = \max(m_i)$ , $n^m = 0$ sur $E$ , donc $n$ est nilpotent. Enfin, sur chaque $C_{\lambda_i}$ , $d$ est une homothétie, donc $d$ commute avec $u$ . Dès lors, $d$ commute avec $n = u-d$ .
Caractère polynomial. On cherche $P \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P(u) = d$ . D'après la définition de $d$ , cela revient à demander que pour tout $i$ et tout $x \in C_{\lambda_i}$ , $P(u)(x) = \lambda_i x$ . Ceci est réalisé si $P(X) \equiv \lambda_i \pmod{(X-\lambda_i)^{m_i}}$ pour tout $i$ . Comme les polynômes $(X-\lambda_i)^{m_i}$ sont deux à deux premiers entre eux, le théorème des restes chinois assure l'existence d'un tel polynôme $P$ . Alors $d = P(u)$ et $n = u - P(u) = (X-P)(u)$ , donc $d, n \in \mathbb{K}[u]$ .
Unicité. Supposons $u = d+n = d'+n'$ avec les conditions requises. Comme $d'$ et $n'$ commutent, ils commutent avec leur somme $u$ . Puisque $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ , ils commutent avec $d'$ et $n'$ . Alors $d-d' = n'-n$ . $d$ et $-d'$ sont diagonalisables et commutent, donc leur somme $d-d'$ est diagonalisable. $n'$ et $-n$ sont nilpotents et commutent, donc leur somme $n'-n$ est nilpotente. Le seul endomorphisme à la fois diagonalisable et nilpotent est l'endomorphisme nul. $\boxed{ d = d' \text{et} n = n' }$
Application aux opérateurs de matrices. L'application $\Theta$ est de la forme $L_A + R_{-B}$ . D'après l'exercice 1, si $A$ et $-B$ sont diagonalisables, alors $\Theta$ est diagonalisable. Or $-B$ est diagonalisable si et seulement si $B$ l'est. Sur $\mathbb{C}$ , la condition est nécessaire d'après l'étude de la question 2 de l'exercice 1 (car $B$ admet toujours des valeurs propres).

L'unicité de Dunford tombe si l'on oublie la condition de commutation $d \circ n = n \circ d$ .