Réduction des matrices 2x2 sans valeur propre réelle

Soit $M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ . On suppose que $M$ ne possède aucune valeur propre réelle.

Démontrer que $M$ est semblable à une unique matrice de la forme

\begin{pmatrix} a & -b b & a \end{pmatrix}   \text{avec}   (a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}

1.

Étudier le polynôme caractéristique de $M$ et ses racines dans $\mathbb{C}$ .

2.

Considérer un vecteur propre complexe $Z = X + iY$ associé à une valeur propre non réelle et décomposer ses parties réelle et imaginaire.

3.

Montrer que la famille $(Y, X)$ forme une base de $\mathbb{R}^2$ et écrire la matrice de l'endomorphisme dans cette base.

4.

Pour l'unicité, utiliser le fait que le polynôme caractéristique est invariant par similitude.

Idées clés

•

Lien entre valeurs propres complexes et réduction réelle.

•

Invariance du polynôme caractéristique par similitude.

•

Décomposition d'un vecteur propre complexe en vecteurs de $\mathbb{R}^2$ .

1. Existence de la forme réduite

Soit $\chi_M(X) = \det(XI_2 - M) = X^2 - \text{tr}(M)X + \det(M)$ le polynôme caractéristique de $M$ .

Par hypothèse, $M$ n'a pas de valeur propre réelle, donc le discriminant de ce trinôme du second degré est strictement négatif :

\Delta = \text{tr}(M)^2 - 4\det(M) < 0

Le polynôme $\chi_M$ admet donc deux racines complexes conjuguées distinctes, que l'on note $\lambda = a + ib$ et $\bar{\lambda} = a - ib$ .

Comme $\Delta < 0$ , on a $b \neq 0$ . Quitte à échanger $\lambda$ et $\bar{\lambda}$ , on peut supposer sans perte de généralité que $b > 0$ .

Soit $Z \in \mathbb{C}^2 \setminus \{0\}$ un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $\lambda = a + ib$ . On décompose $Z$ en ses parties réelle et imaginaire :

Z = X + iY   \text{avec}   (X, Y) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2

L'égalité $MZ = \lambda Z$ se traduit par :

M(X + iY) = (a + ib)(X + iY)

En développant le membre de droite, on obtient :

MX + iMY = (aX - bY) + i(bX + aY)

Par identification des parties réelles et imaginaires (puisque $M, X, Y, a, b$ sont réels), on dispose du système suivant :

\left\{ \begin{array}{l} MX = aX - bY MY = bX + aY \end{array} \right.

Montrons que la famille $(Y, X)$ est libre dans $\mathbb{R}^2$ .

Supposons par l'absurde que $(Y, X)$ soit liée. Comme $Z \neq 0$ , $X$ et $Y$ ne sont pas tous deux nuls.

Si $X = 0$ , alors $Z = iY$ , et l'équation $MX = aX - bY$ donne $0 = -bY$ , d'où $Y=0$ car $b \neq 0$ , ce qui est exclu.

Si $X \neq 0$ , il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $Y = cX$ . Alors $Z = (1 + ic)X$ . L'équation $MZ = \lambda Z$ devient $M(1+ic)X = \lambda(1+ic)X$ .

En simplifiant par $1+ic \neq 0$ , on obtient $MX = \lambda X$ . Ceci implique que $\lambda$ est une valeur propre réelle, ce qui contredit l'hypothèse.

Ainsi, $\mathcal{B} = (Y, X)$ est une base de $\mathbb{R}^2$ . Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé à $M$ est :

\boxed{ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} a & -b b & a \end{pmatrix} }

Ceci prouve que $M$ est semblable à une matrice de la forme souhaitée.

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2. Unicité de la forme réduite

Supposons que $M$ soit semblable à une matrice $C = \begin{pmatrix} a & -b b & a \end{pmatrix}$ avec $b > 0$ .

Le polynôme caractéristique de $C$ est :

\chi_C(X) = (X-a)^2 + b^2

Les racines de $\chi_C$ dans $\mathbb{C}$ sont exactement $a + ib$ et $a - ib$ .

Puisque deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, les valeurs $a$ et $b$ sont entièrement déterminées par le spectre de $M$ .

En effet, si $M$ est semblable à une autre matrice de même forme avec des paramètres $(a', b')$ , alors :

(X-a)^2 + b^2 = (X-a')^2 + (b')^2

En identifiant les parties réelles et imaginaires des racines (avec $b, b' > 0$ ), on obtient nécessairement :

\boxed{ a = a'   \text{et}   b = b' }

L'unicité est donc établie.

Une erreur fréquente est d'oublier de justifier que $X$ et $Y$ forment une famille libre. Sans cette étape, on ne peut pas affirmer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^2$ donnant la forme matricielle attendue.