Caractérisation de la similitude par les rangs

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A, B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Montrer que les matrices $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si, pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$ et pour tout entier $k \in \{1, \ldots, n\}$ , on a l'égalité suivante sur les rangs :

\text{rg}\left((A-\lambda I_n)^k\right) = \text{rg}\left((B-\lambda I_n)^k\right)

1.

Pour le sens direct, utiliser la définition de la similitude et la conservation du rang par multiplication par des matrices inversibles.

2.

Pour le sens réciproque, commencer par montrer que $A$ et $B$ ont le même spectre et les mêmes dimensions de sous-espaces caractéristiques.

3.

Utiliser le lemme des noyaux pour se ramener à l'étude d'endomorphismes nilpotents.

4.

Pour deux endomorphismes nilpotents $u$ et $v$ , montrer que la condition sur les rangs des puissances impose l'existence d'une base commune de "chaînes" (ou cycles), ce qui assure la similitude.

Idées clés

•

Invariance du rang par similitude.

•

Décomposition de Dunford ou réduction aux sous-espaces caractéristiques.

•

Structure des endomorphismes nilpotents (lien entre rangs des puissances et partitions de l'entier $n$ ).

1. Sens direct ( $\Rightarrow$ ).

Supposons que $A$ et $B$ sont semblables. Il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $B = PAP^{-1}$ .

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ et $k \in \{1, \dots, n\}$ . On a :

B - \lambda I_n = P(A - \lambda I_n)P^{-1}

Par récurrence immédiate, on en déduit :

(B - \lambda I_n)^k = P(A - \lambda I_n)^k P^{-1}

Comme la multiplication par une matrice inversible ne modifie pas le rang, on obtient :

\boxed{\text{rg}((B - \lambda I_n)^k) = \text{rg}((A - \lambda I_n)^k)}

2. Sens réciproque ( $\Leftarrow$ ).

Étape A : Égalité des spectres et des sous-espaces caractéristiques.

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ . Si $\lambda$ est valeur propre de $A$ , alors $\text{rg}(A - \lambda I_n) < n$ . L'hypothèse implique alors $\text{rg}(B - \lambda I_n) < n$ , donc $\lambda$ est aussi valeur propre de $B$ . Par symétrie, $Sp(A) = Sp(B)$ .

Notons $E_\lambda(A) = \ker(A-\lambda I_n)^n$ et $E_\lambda(B) = \ker(B-\lambda I_n)^n$ les sous-espaces caractéristiques. D'après le théorème du rang, la condition sur les rangs implique :

\dim \ker(A - \lambda I_n)^k = \dim \ker(B - \lambda I_n)^k

En particulier pour $k=n$ , on a $\dim E_\lambda(A) = \dim E_\lambda(B)$ . Comme $\mathbb{C}$ est algébriquement clos, la somme des dimensions des sous-espaces caractéristiques vaut $n$ .

Étape B : Réduction au cas nilpotent.

D'après le lemme des noyaux, l'espace $V = \mathbb{C}^n$ se décompose en :

V = \bigoplus_{\lambda \in Sp(A)} E_\lambda(A)   \text{et}   V = \bigoplus_{\lambda \in Sp(A)} E_\lambda(B)

Pour chaque $\lambda$ , la restriction $u_\lambda = (A - \lambda I_n)_{|E_\lambda(A)}$ est un endomorphisme nilpotent. De même, $v_\lambda = (B - \lambda I_n)_{|E_\lambda(B)}$ est nilpotent sur un espace de même dimension.

Si l'on montre que $u_\lambda$ et $v_\lambda$ sont semblables pour chaque $\lambda$ , alors $A$ et $B$ seront semblables (par blocs).

Étape C : Similitude des endomorphismes nilpotents.

Soit $u$ un endomorphisme nilpotent. Posons $d_k = \dim \ker(u^k)$ . La suite $(d_k)$ est déterminée par les rangs : $d_k = \dim E - \text{rg}(u^k)$ .

On définit $s_k = d_k - d_{k-1}$ (le nombre de vecteurs ajoutés au noyau à l'étape $k$ ). La suite $(s_k)$ est décroissante (propriété classique des noyaux itérés).

Le nombre de "blocs élémentaires" de taille exactement $j$ dans la structure de $u$ est donné par :

\boxed{n_j = s_j - s_{j+1} = -d_{j+1} + 2d_j - d_{j-1}}

Ce nombre $n_j$ ne dépend que des dimensions des noyaux des puissances de $u$ . Ainsi, si $u$ et $v$ vérifient $\text{rg}(u^k) = \text{rg}(v^k)$ pour tout $k$ , ils possèdent le même nombre de blocs de chaque taille.

Ils sont donc semblables à une même matrice (constituée de blocs de décalage). En recollant les blocs pour chaque $\lambda$ , on conclut que :

\boxed{A \sim B}

Attention : l'égalité des spectres et des dimensions des sous-espaces propres ( $\text{rg}(A-\lambda I)$ ) ne suffit pas à garantir la similitude. Il est impératif de vérifier l'égalité des rangs pour toutes les puissances $k$ jusqu'à $n$ .