Finitude des classes de similitude

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme non constant. On considère l'ensemble $E$ défini par :

E = \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid P(M) = 0 \right\}

Montrer que $E$ est constitué d'un nombre fini de classes de similitude.

On rappelle que deux matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sont semblables si et seulement si :

\forall \lambda \in \mathbb{C}, \forall k \in \{1, \dots, n\},   \dim \ker(A - \lambda I_n)^k = \dim \ker(B - \lambda I_n)^k

1.

Commencer par restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles pour une matrice $M \in E$ .

2.

Utiliser le rappel de l'énoncé : une classe de similitude sur $\mathbb{C}$ est entièrement déterminée par les dimensions des noyaux itérés associés aux valeurs propres.

3.

Dénombrer le nombre de choix possibles pour ces dimensions.

Idées clés

•

Lien entre polynôme annulateur et spectre : $\text{Sp}(M) \subset \text{Racines}(P)$ .

•

Caractérisation de la similitude par les dimensions des noyaux itérés $\ker(M-\lambda I)^k$ .

•

Argument de finitude sur un produit cartésien d'ensembles finis.

Résolution.

Soit $M \in E$ . Par définition, $P(M) = 0$ . On sait que toute valeur propre $\lambda$ de $M$ est racine du polynôme annulateur $P$ .

Soit $\mathcal{R} = \{z_1, \dots, z_p\}$ l'ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ . Comme $P$ est non constant, cet ensemble est fini et non vide. On a :

\boxed{\text{Sp}(M) \subset \{z_1, \dots, z_p\}}

D'après le rappel de l'énoncé, la classe de similitude d'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est uniquement déterminée par la donnée des entiers :

d_{i,k}(M) = \dim \ker(M - z_i I_n)^k

pour tout

i \in \{1, \dots, p\}

et tout

k \in \{1, \dots, n\}

.

Remarquons que pour $\lambda \notin \text{Sp}(M)$ , on a $\dim \ker(M - \lambda I_n)^k = 0$ pour tout $k \ge 1$ . Ainsi, seules les racines de $P$ importent dans la caractérisation.

Pour chaque couple $(i, k) \in \{1, \dots, p\} \times \{1, \dots, n\}$ , l'entier $d_{i,k}(M)$ est un élément de l'ensemble fini :

\mathcal{J} = \{0, 1, 2, \dots, n\}

On peut donc définir une application $\Phi$ de l'ensemble des classes de similitude incluses dans $E$ vers l'ensemble des fonctions de $\{1, \dots, p\} \times \{1, \dots, n\}$ dans $\mathcal{J}$ :

\Phi : \mathcal{C}(M) \mapsto \left( (i,k) \to \dim \ker(M - z_i I_n)^k \right)

D'après le rappel, cette application est injective : si deux matrices de $E$ ont les mêmes images par $\Phi$ , elles sont semblables.

L'ensemble d'arrivée de $\Phi$ est l'ensemble des matrices de taille $p \times n$ à coefficients dans $\{0, \dots, n\}$ . Le cardinal de cet ensemble est :

\boxed{ \text{Card}(\text{Arrivée}) = (n+1)^{p \times n} }

Puisque cet ensemble est fini et que $\Phi$ injecte l'ensemble des classes de similitude de $E$ dedans, on en déduit que :

\boxed{ E \text{ est une réunion finie de classes de similitude.} }

Attention à ne pas croire que le polynôme minimal ou le polynôme caractéristique suffisent à caractériser une classe de similitude. Par exemple, dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ , les matrices $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $0$ ont le même spectre $\{0\}$ et le même polynôme caractéristique $X^2$ , mais ne sont pas semblables. Il faut bien considérer les dimensions des noyaux des puissances.