Fibres du polynôme caractéristique

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps algébriquement clos. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ .

On considère l'ensemble $\mathcal{C}(P)$ des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dont le polynôme caractéristique est égal à $P$ .

Montrer que $\mathcal{C}(P)$ est une réunion finie de classes de similitude.
En notant $P = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{m_i}$ la décomposition de $P$ en facteurs irréductibles (où les $\lambda_i$ sont deux à deux distincts), déterminer le nombre exact de classes de similitude composant $\mathcal{C}(P)$ .

1.

Utiliser le lemme des noyaux pour se ramener à l'étude d'endomorphismes nilpotents sur les sous-espaces caractéristiques.

2.

Pour la question 1, rappeler qu'un endomorphisme nilpotent est caractérisé, à similitude près, par les dimensions de la suite de ses noyaux itérés $\ker(u^k)$ .

3.

Pour la question 2, établir un lien entre les classes de similitude d'un endomorphisme nilpotent de dimension $m$ et les partitions de l'entier $m$ .

Idées clés

•

Décomposition en sous-espaces caractéristiques (Lemme des noyaux).

•

Invariants de similitude des endomorphismes nilpotents (dimensions des noyaux itérés).

•

Combinatoire des partitions d'entiers.

1. Finitude du nombre de classes de similitude.

Soit $A \in \mathcal{C}(P)$ . Puisque $\mathbb{K}$ est algébriquement clos, le polynôme caractéristique de $A$ est scindé :

P = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{m_i}

D'après le lemme des noyaux appliqué au polynôme caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton), l'espace $E = \mathbb{K}^n$ se décompose en somme directe de sous-espaces caractéristiques :

E = \bigoplus_{i=1}^r N_i   \text{avec}   N_i = \ker(A - \lambda_i I)^{m_i}

Chaque $N_i$ est stable par $A$ et $\dim N_i = m_i$ . On pose $u = f_A$ l'endomorphisme associé. Soit $u_i$ la restriction de $u$ à $N_i$ . L'endomorphisme $v_i = u_i - \lambda_i \text{Id}_{N_i}$ est nilpotent sur $N_i$ .

Deux matrices de $\mathcal{C}(P)$ sont semblables si et seulement si leurs restrictions à chaque sous-espace caractéristique sont respectivement semblables. Le problème se ramène donc à montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de classes de similitude pour un endomorphisme nilpotent sur un espace de dimension fixée $m$ .

Or, un endomorphisme nilpotent $v$ sur un espace de dimension $m$ est caractérisé, à similitude près, par la suite des dimensions des noyaux itérés :

d_k(v) = \dim \ker(v^k)   \text{pour } k \in \{1, \dots, m\}

Comme il n'y a qu'un nombre fini de suites $(d_1, \dots, d_m)$ d'entiers possibles (car $0 \le d_k \le m$ ), il y a un nombre fini de classes de similitude de nilpotents.

\boxed{\mathcal{C}(P) \text{ est une réunion finie de classes de similitude.}}

2. Dénombrement des classes.

D'après le raisonnement précédent, le nombre de classes de similitude dans $\mathcal{C}(P)$ est le produit des nombres de classes de similitude des parties nilpotentes sur chaque $N_i$ . Soit $v$ un endomorphisme nilpotent sur un espace de dimension $m$ . D'après la théorie de la réduction des nilpotents, sa classe de similitude est déterminée par une famille de tailles de "blocs élémentaires" $(k_1, k_2, \dots, k_p)$ tels que :

\sum_{j=1}^p k_j = m   \text{et}   k_1 \ge k_2 \ge \dots \ge k_p \ge 1

Chaque $k_j$ correspond à la dimension d'un cycle (une base de Jordan locale). Ce problème revient exactement à dénombrer les partitions de l'entier $m$ . On note $p(m)$ le nombre de partitions de l'entier $m$ .

Pour chaque valeur propre $\lambda_i$ , il y a $p(m_i)$ choix possibles pour la structure de la partie nilpotente associée. Les choix sur chaque sous-espace caractéristique étant indépendants, le nombre total de classes de similitude est le produit des nombres de partitions.

\boxed{\text{Nombre de classes} = \prod_{i=1}^r p(m_i)}

Attention à ne pas confondre le nombre de classes de similitude avec le nombre de valeurs propres. Deux matrices peuvent avoir les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités (même polynôme caractéristique) sans être semblables (par exemple, une matrice diagonale et une matrice comportant un bloc nilpotent non nul).