Dénombrement de classes de similitude

Soit $n$ un entier naturel non nul. On s'intéresse au nombre de classes de similitude de matrices $M \in \mathcal{M}_n(K)$ (où $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) satisfaisant certaines équations polynomiales.

Déterminer le nombre de classes de similitude de matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $M^2 = M$ .
On suppose que $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie $M^3 = M$ . Quel est le nombre de classes de similitude possibles ?
Déterminer le nombre de classes de similitude des matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $M^4 = M$ .
On considère l'équation $M^5 = M^2$ $M^{5} = M^{2}$ .
1. Donner le nombre de classes de similitude dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
2. Donner le nombre de classes de similitude dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

1.

Pour les questions 1, 2 et 3, observez que les polynômes annulateurs sont à racines simples dans $\mathbb{C}$ (et parfois dans $\mathbb{R}$ ). Rappelez-vous qu'une matrice est diagonalizable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

2.

Deux matrices diagonalisables sont semblables si et seulement si elles ont le même spectre avec les mêmes multiplicités pour chaque valeur propre.

3.

Pour la question 4, le polynôme $X^5-X^2 = X^2(X^3-1)$ possède une racine multiple ( $0$ ). Utilisez le lemme des noyaux pour décomposer l'espace. Sur le noyau de $M^2$ , la matrice induit un endomorphisme nilpotent $N$ tel que $N^2=0$ .

4.

Une matrice nilpotente $N$ telle que $N^2=0$ est caractérisée à similitude près par son rang $r$ . Justifiez que $0 \le 2r \le \dim(\ker(N^2))$ .

Idées clés

•

Une matrice est diagonalisable sur $K$ si elle annule un polynôme scindé à racines simples sur $K$ .

•

Pour les matrices diagonalisables, les classes de similitude sont déterminées par les multiplicités des valeurs propres.

•

Pour une composante nilpotente $N$ telle que $N^2=0$ , la classe de similitude est fixée par le rang de $N$ .

Résolution.

Cas $M^2 = M$ sur $\mathbb{R$ $R$ :} Le polynôme $P(X) = X^2 - X = X(X-1)$ est annulateur. Il est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . Ainsi, $M$ est une matrice de projecteur. Elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont incluses dans $\{0, 1\}$ . Une telle matrice est semblable à une matrice diagonale $\text{diag}(1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ . La classe de similitude est entièrement déterminée par le rang $r$ de la matrice (nombre de $1$ sur la diagonale). Comme $0 \le r \le n$ , il y a exactement : $\boxed{\text{Nombre de classes} = n+1}$
Cas $M^3 = M$ sur $\mathbb{R$ $R$ :} Le polynôme $P(X) = X^3 - X = X(X-1)(X+1)$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . $M$ est diagonalisable et $\text{Sp}(M) \subset \{0, 1, -1\}$ . La classe de similitude est déterminée par le triplet $(n_0, n_1, n_{-1})$ des multiplicités respectives de $0, 1$ et $-1$ . Ces entiers naturels doivent vérifier la contrainte : $n_0 + n_1 + n_{-1} = n$ . Le nombre de tels triplets est le nombre de combinaisons avec répétition de $n$ objets parmi $3$ , soit : $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2} = \boxed{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$
Cas $M^4 = M$ sur $\mathbb{R$ $R$ :} Ici $P(X) = X(X^3-1) = X(X-1)(X^2+X+1)$ . Sur $\mathbb{R}$ , le facteur $X^2+X+1$ est irréductible. Par le lemme des noyaux : $\mathbb{R}^n = \ker(M) \oplus \ker(M-I) \oplus \ker(M^2+M+I)$ Notons $n_0, n_1$ et $n_\omega$ les dimensions respectives de ces sous-espaces. Attention : $\dim \ker(M^2+M+I)$ doit être paire, car le polynôme caractéristique de la restriction de $M$ à ce sous-espace est une puissance de $X^2+X+1$ . Posons $n_\omega = 2k$ . On a $n_0 + n_1 + 2k = n$ . Sur $\ker(M^2+M+I)$ , la restriction de $M$ est semblable à une matrice de blocs $\begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Cette forme est unique pour une dimension fixée. Le nombre de classes est donc le nombre de couples $(n_0, n_1)$ possibles pour chaque valeur de $k \in \{0, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\}$ . Pour $k$ fixé, il y a $(n-2k+1)$ choix pour $n_0$ . Le total est : $\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (n - 2k + 1) = \boxed{(\lfloor n/2 \rfloor + 1)(\lceil n/2 \rceil + 1)}$
Cas $M^5 = M^2$ : Le polynôme est $P(X) = X^2(X-1)(X^2+X+1)$ $P (X) = X^{2} (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ .
1. Sur $\mathbb{C$ $C$ :} $\mathbb{C}^n = \ker(M^2) \oplus \ker(M-I) \oplus \ker(M-jI) \oplus \ker(M-j^2I)$ . Soient $n_0, n_1, n_j, n_{j^2}$ les dimensions respectives. Sur $E_1, E_j, E_{j^2}$ , la matrice est déterminée (homothéties). Sur $E_0 = \ker(M^2)$ , la restriction $N$ vérifie $N^2=0$ . Une matrice telle que $N^2=0$ est caractérisée par son rang $r$ , avec $2r \le n_0$ . Il y a donc $1 + \lfloor n_0/2 \rfloor$ classes pour un $n_0$ fixé. Le nombre total est : $\boxed{\sum_{n_0+n_1+n_j+n_{j^2}=n} \left( 1 + \left\lfloor \frac{n_0}{2} \right\rfloor \right)}$
2. Sur $\mathbb{R$ $R$ :} La décomposition devient $\mathbb{R}^n = \ker(M^2) \oplus \ker(M-I) \oplus \ker(M^2+M+I)$ . Avec $n_0, n_1$ et $2n_\omega$ les dimensions, le nombre de classes est : $\boxed{\sum_{n_0+n_1+2n_\omega=n} \left( 1 + \left\lfloor \frac{n_0}{2} \right\rfloor \right)}$

Pour $M^4=M$ sur $\mathbb{R}$ , ne pas oublier que la dimension du noyau du facteur irréductible $X^2+X+1$ est nécessairement paire. En effet, son polynôme caractéristique est $(X^2+X+1)^k$ .